А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (2000) (1160081), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Задана Коши для дифференциальных уравнений128где/\'д(ц) =\-ц2**3+ -ц --р.4+ ^ /* •Метод устойчив, если выполнено \q\ ^ 1. Это неравенство (см. рис. 9.1)справедливо прир, = Лт ^ 2,78.1,5Г91234Рис. 9.1. График функции q(p)Упражнение 9.4. Постройте трехслойный метод решения задачи Коши (9.3),(9.4) с использованием квадратурной формулы Симпсона.Решение. Интегрирование уравнения (9.3) по t от <„_| до <„+| дает«п+| - к -11 [tч—27— = ^У/(^)^На правой части использование формулы Симпсона дает'•-I±ff(t,v)dt == g(/(*» + i,«" + I ) + 4/(«„ii") + / ( t - i , « " " 1 ) ) +<?(t 4 ).1299.3. УпражненияЭто приводит нас к методуУ +"~/= g(/(<„ + i,y n + l ) + 4 / ( t . , y " ) + /(tn-.,y""')),который имеет четвертый порядок аппроксимации.Упражнение 9.5.
Приведите общую схему построения т-шагового методаТира и исследуйте погрешность аппроксимации.Решение. В данном классе методов в уравненииdu-^(tn+\) =,f{tn+i,u(tn+i))используются аппроксимации производной с помощью направленныхразностных производных. Для m-шагового метода аппроксимации строятся по узлам tn+,~', г = О,1,... ,га, т.е. используется метод1mi=0Для определения коэффициентов a,, i = 0 , 1 , . . . , т можно применятьметод неопределенных коэффициентов, когда используются разложенияфункций уп+>~\ г = 0, \,...,тв ряд Тейлора в точке t = tn+\.
Болееконструктивным представляется подход с использованием формул численного дифференцирования, построенными с привлечением обычныхинтерполяционных формул.По точкам (<n+i-i,2/"+1_'), » = 0 , 1 , . . . ,тп построим интерполяционный полином Lm(t) степени т и используем для численного решенияуравнения (9.3) схему^ ( * п + , ) = /(<п + 1 ,2Г')При использовании интерполяционной формулы Ньютона получим• М О = y(tn+\) + (t-tn+{)y(tn+utn)++ (t- tn+l)(t - t„)y(tn+ut„,*„_,)где y(t„+l,tn),y(tn+\,t„,t„-\),...щего порядка. Тем самым+ ... ,— разделенные разности соответствуюdL/m"~й~(*п+1) = У('п+|А) + (*п+1 ~tn)y(tn+u*„,*„_,) + ... .Глава 9.
Задана Коши для дифференциальных уравнений130Например, при т = 2 получимf<W,>-£<*r'-V + r')при использовании равномерной сетки с шагом т.Упражнение 9.6. Для задачи Коши(9.19)«<0) = «°, £<0) = *°используются методы Штермера, когдауп+] - 2у" + у""' _= Ё Ь */(*-+»--'»" +1 "0»=о(9-20)Укажите возможность построения таких схем на основе построения специальных квадратурных формул для правой части уравнения (9.19).Решение. Домножим уравнение (9.19) на финитную функцию¥>(') = {11I £ l'n-li*n+l]iТо,*^[<»-|Л+|].Непосредственные выкладки дают2*"'/Л2<p(t)dt = yn+i-2yn+ yn-\поэтому для уравнения (9.19) имеет место равенствоu »+i- 2 u " + w n-1f f(t,v)<p(t)dt.(9.21)<.Формулы типа (9.20) мы можем получить на основе использования тех илииных (интерполяционных и экстраполяционных) квадратурных формулдля правой части (9.21).9.4.
Задачи1319.4. ЗадачиЗадача 9.1. Покажите, что в классе двухстадийных явных методов Рунге—Кутта (9.18) нет методов третьего порядка аппроксимации.Задача 9.2. На примере системы двух обыкновенных уравнений рассмотрите особенности построения методов Рунге—Кутта для систем.Задача 9.3. Получите оценки погрешности при использовании метода Рунге—Кутта для приближенного решения задачи Коши (9.3), (9.4)при условии, что функция f(t, и) удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу.Задача 9.4. Рассмотрите метод Рунге—Кутта3-\/363 + Viъ*6143-2л/3123 + 2v^12141212связав его с квадратурной формулой Гаусса.Задача 9.5.
Постройте трехстадийный явный метод Рунге—Кутта (s = 3(9.6), (9.7)) при с, = 0.Задача 9.6. Методом неопределенных коэффициентов постройте явнуюдвухшаговую схему третьего порядка аппроксимации.Задача 9.7. Получите схемы Адамса (9.14), (9.15) и исследуйте погрешность аппроксимации.Задача 9.8. Покажите, что наивысший достижимый порядок аппроксимации неявных многошаговых методов (9.10) равен 2т, а явных —2т- 1.Глава 9. Задача Коши для дифференциальных уравнений132Задача 9.9. Сформулируйте условия сходимости многошагового метода(9.10) при решении задачи (9.3), (9.4), когда функция /(<, и) удовлетворяетусловию Липшица по второму аргументу.Задача 9.10. Получите условия устойчивости неявной схемы Адамса третьего порядка точностиi / n + 1 _ iin1Задача 9.11. Докажите, что среди явных многошаговых методов (6о = 0в (9.10)) нет А -устойчивых.Задача 9.12.
Докажите, что среди неявных многошаговых методов (9.10)нет ^-устойчивых методов, имеющих порядок аппроксимации вышевторого.Задача 9.13. Получите условия ^(а)-устойчивости метода Гира25у" +| - 48у" + 36у"-' - 16У"'2 + З г Г 3 _ tU_n+nп+=/(<„ьУ').+12ткоторый имеет четвертый порядок точностиЗадача 9.14. На примере модельной задачи Коши для уравнения~ = X(t)uпокажите, что результаты по устойчивости, установленные для задачис постоянными коэффициентами, не всегда верны для задач с переменными коэффициентами.Задача 9.15. Исследуйте схему Штермераyn+i-2yn+ yn^Iдля приближенного решения задачи Коши для уравнения (9.19).9.4.
Задачи133Задача 9.16. Рассмотрите схему Рунге—Куттатvn+i - vnто1= - (к, + 2к2 + 2fc3 + fc4),6где*i=f(tn,yn,vn),+ ^,yn +k2 = f(tn^vn,vn+l-k^j,*з = /(*„ + T-,yn + T-vn + T-kuvn + ^ k 2 ) ,+ T,yn + Tvn + ^k2,v" + kXh = f(tnдля решения задачи Коши для уравнения второго порядкаd2u(du\«(0) = «0, f(0) = *°.Глава 10Краевые задачидля обыкновенныхдифференциальных уравненийНаиболее важным классом краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений являются задачи для уравнения второгопорядка. Отмечены основные подходы к построению дискретныханалогов краевых задач с различными граничными условиями.Рассмотрены вопросы сходимости приближенного решения к точному и вычислительной реализации на основе использованияпрямых методов линейной алгебры.
Помимо уравнений второго порядка кратко обсуждаются краевые задачи для модельногообыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка. Основное внимание уделяется разностным методам приближенного решения краевых задач.10.1. Краевые задачиВ качестве базового рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядкаd (du\- — ( f c ( x ) — ) +9(z)« = / ( * ) , 0 < х < 1(10.1)ax \ax Jс переменными коэффициентамиk(x) > к > 0, q(x) > 0.Для однозначного определения неизвестной функции и(х) уравнение (10.1) дополняется двумя фаничными условиями на концах отрез-10.1.
Краевые задачи135Основные обозначенияи = и(х), х € [0,1] — неизвестная функция0 = XQ,X\,... ,Хц = 1 — узлы сеткиЛ — шаг равномерной сеткиш — множество внутренних узловди> — множество граничных узловЯ — гильбертово пространствосеточных функций(•, •) — скалярное произведение в Я|| • || — норма в Яух = {у(я + h) - y(x))/h — правая разностная производнаяв точке хуш = (у(х) - у(х - h))/h — левая разностная производнаяв точке х= \(Ух + Ш) -центральная разностнаяпроизводная в точке хУхх = (Ух - Ух)/Ь — вторая разностная производнаяв точке хПка [0,1]. Задаваться может функция и(х) (фаничное условие первогоduрода), поток w(x) = -к(х)-—(х) (фаничное условие второго рода) илиахже их линейная комбинация (фаничное условие третьего рода):tt(0) = /i,,и(1) = ю ,- f c ( 0 ) £ ( 0 ) = /ib-k(0)(10.2)fc(l)^(0du— (0) + <rM0) = in,UX= /*2,duк(1) — (1) + а2и(1)=ц2.(Ю.З)(10.4)CLXЭллиптические уравнения второго порядка, прототипом которых является уравнение (10.1), используются при моделирование многих физикомеханических процессов.136Глава 10.
Краевые задачи для дифференциальных уравненийВ задачах с разрывными коэффициентами (контакт двух сред) формулируются дополнительные условия. Простейшие из них (условие идеального контакта) для уравнения (10.1) связывается с непрерывностьюрешения и потока в точке контакта ж = х*:к{х),Их)] = 0,Kduтх= 0,х = х*,где использованы обозначения[g(x)]=g(x +0)-g(x-0).Отдельного рассмотрения заслуживают задачи с несамосопряженнымоператором, когда, например,du \dud ([к(х)—)+v(x) — +q(x)udx Jdxdx \= f(x),0<x<l.(10.5)Уравнение конвекции-диффузии (10.5) является модельным при исследовании процессов в механике сплошной среды.При описании деформаций пластин и оболочек, задач гидродинамики математические модели включают эллиптические уравнения четвертого порядка.
Их рассмотрение необходимо начать с краевой задачидля обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка.Простейшим такой задачей является задача для уравнения,4^ ( х ) = /(х),0<х<*.(10.6)В этом случае задаются по два граничных условиях на концах отрезка.Например, уравнение (10.6) дополняется условиями первого рода:u(Q) = fiuu(l) = fi2,(10.7)dudu-— (0) = iv,, - ( 0 = ^2(Ю.8)axaxПри формулировке других типов краевых задач для уравнения (10.6)в граничных точках могут участвовать вторая и третья производные.13710.2. Численные методы решения краевых задач10.2.
Численные методы решения краевых задачПри построении вычислительных алгоритмов для приближенного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравненийосновное внимание уделяется вопросам аппроксимации уравнений, краевых условий и условий сопряжения для задач с разрывными коэффициентами. Проводится исследование точности приближенного решенияв различных нормах, обсуждаются особенности прямых методов решениясеточных уравнений для рассматриваемого класса задач.10.2.1. Аппроксимация краевых задачОбозначим через ш равномерную, для простоты, сетку с шагом h на интервале [0, /]:ш = {х | х = Xi = ih,t = 0 , 1 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
