А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (2000) (1160081), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Постройте примеры функций штрафа для задачи миними­зации с ограничениями типа равенств:/(ж)-+min,#(ж) = 0,i = 1,2,... ,rn.Глава 8Интегральные уравненияСреди типичных интегральных уравнений можно выделить инте­гральные уравнения Фредгольма второго рода. Для их прибли­женного решения применяется метод квадратур. Второй широкоиспользуемый класс методов решения интегральных уравнений —различные варианты проекционных методов.

Отдельно необходи­мо выделить интегральные уравнения с переменным пределамиинтегрирования — интегральные уравнения Вольтерра. Инте­гральные уравнения Фредгольма первого рода являются харак­терным примером некорректных задач, для численного решениякоторых используются методы регуляризации.8.1. Задачи для интегральных уравненийБудем рассматривать одномерные интегральные уравнения, решение ко­торых есть и(х), х е [а,Ь].

Линейное интегральное уравнение с постоян­ными пределами интегрирования (уравнение Фредгольма) записываетсяв видеьд(х)и(х)-Х[K(x,s)u(s)ds= f(x),х€[а,Ь],(8-1)агде K(x,s) — ядро интегрального уравнения, а д(х),}(х) — заданныефункции, а А заданный или неизвестный числовой параметр.Наибольшее внимание уделяется нахождению приближенного реше­ния интегрального уравнения Фредгольма второго рода:би(х)-А fK(x,s)u(s)dsапри заданном Л,= f(x),х£[а,Ъ](8.2)Глава 8. Интегральные уравнения102Основные обозначенияXi,К{х ,*) — ядро интегрального уравненияА — числовой параметр* = 1,2,...

,п — узлы квадратурной формулыа — параметр регуляризацииУк — приближенное решение на fc-ойитерации—линейно независимые¥>'(*), 1 = 1 , 2 . . . ,пкоординатные функцииПри / ( я ) = 0 уравнение (8.2) есть однородное уравнение Фредгольмаьи (х) - А I К (х, s) и (в) ds = 0,х G [а, Ъ],(8.3)которое всегда имеет тривиальное решение и(х) ~ 0.

Те значения параме­тра А, при которых уравнение (8.3) имеет ненулевое решение, называютсяхарактеристическими числами, а соответствующие ненулевые решенияуравнения — собственными функциями (1/А— собственные значения).Линейное интегральное уравнение Фредгольма первого рода имеетвидьJK(x,e)u(e)d8= f(x),хе[а,Ь],(8.4)ат. е.

в общей записи (8.1) д(х) = 0 и А = - 1 . Принципиальные трудностиприближенного решения этого уравнения порождены тем, что задачанахождения решения интегрального уравнения первого рода являетсянекорректно поставленной. Некорректность обусловлена, прежде всего,отсутствием устойчивости решения по отношению к малым возмущениямправой части уравнения (8.4).Отдельного рассмотрения заслуживают интегральные уравнения с пе­ременными пределами интегрирования. Интегральное уравнение Воль-8.2.

Методы решения интегральных уравнений103терра второго рода записывается в видеXи(х)-ХK(x,s)u(s)ds= f(x),x€[a,6].(8.5)аПо аналогии с (8.4), (8.5) для уравнения Вольтерра первого рода имеемX/ K(x,s)u(s)ds = f(x),x£[a,b].(8.6)aВ вычислительной практике рассматриваются и более общие зада­чи для интегральных уравнений, среди которых отметим прежде все­го многомерные интегральные уравнения. Большое внимание уделяетсяразработке численных методов для специальных классов интегральныхуравнений. Отметим, в частности, интегральные уравнения с разностнымядром К(х - s).8.2.

Методы решения интегральных уравненийВыделены основные классы методов приближенного решения интеграль­ных уравнений. Метод квадратур (механических квадратур) основан на за­мене интегралов конечными суммами с использованием квадратурныхформул. В проекционных методах приближенное решение ищется в видеразложения по системе известных линейно независимых функций. Отме­чаются особенности решения интегральных уравнений Вольтерра, краткообсуждаются методы решения интегральных уравнений первого рода.8.2.1.

Интегральные уравнения Фредгольма второго родаБудем рассматривать алгоритмы численного решения интегральных урав­нений (8.2), считая заданным параметр А. В основе метода квадратурлежит та или иная квадратурная формула. Пусть х\ < х2 < • • • < хп —узлы, ас*, t = l , 2 , . .

. , п — коэффициенты квадратурной формулы на от­резке интегрирования [а, 6]. При использовании квадратурной формулы?/ в(х) dx И 5 3 °i^xi)104Глава 8. Интегральные уравненияприближенное решение интефального уравнения (8.2) определим из си­стемы линейных алгебраических уравненийxпc KVi~ Yl i(Xi>si)y3=f(xihi=l,2,...,n,(8.7)i=«где j/j — приближенное решение в узле Xi, i= 1,2,..., п.В проекционных методах приближенное решение интефальногоуравнения (8.2) ищется в видепу(х) = ^2а<р{(х),(8.8)где <pi(x), i = 1,2,...,n — заданные линейно независимые функции,которые называются координатными.

Часто удобнее ориентироватьсяна несколько отличное от (8.8) представление приближенного решения:пУ (х) = / ( * ) + ] £ *¥>,-(*),(8.9)Метод проекционного типа характеризуется выбором координатныхфункций <Pi{x), i = 1,2,..., п и способом определения вектора неизвест­ных коэффициентов с = {с\, сг,..., с„}. Отметим некоторые возможностипо нахождению коэффициентов в представлениях (8.8), (8.9).При использовании представления (8.8) определим невязкупГ(х, С) = ^.пCi<Pi(x) - Л / К(Х, S) 5 3 Cj<Pj(s) ds -••='.f(x).J = 'В методе наименьших квадратов постоянные с,, г = 1,2,... ,п находятсяиз минимума квадрата нормы невязки в Ьг(а,Ь), т.е.j„.Ъ4*~*.«Г.Для определения a, i = 1,2,...,гаполучим систему линейных алгебраи­ческих уравненийпJ3ayc,-=b,-,гдеt=l,2,...,n,(8.10)8.2.

Методы решения интегральных уравнений6а6xи = / yPi( )-^бI K(x,s)<pi(s)ds) I<pj(x)-X / K(x,s)<pj(s)ds\aadx,a6*t=105ftf(x)(<fi(x)-\K(x,s)<pi{s)ds)dx,ai=l,2,...,n.aТем самым матрица системы (8.10) симметрична.В методе Галеркина коэффициенты с,, г = 1,2,...,п определяютсяиз условия ортогональности в L2(a,b) невязки г(х,с) функциям щ(х),г = 1,2,...,п:пr(x,c)ifi(x)dx,г = 1 , 2 , . . . , п.В этом случае имеем систему линейных уравнений (8.10), в которой6бx«О = / (<Pj( ) ~ А / K(x,s)tpj(s)аds)tpi(x)dx,аЬЬ{=f(x)<pi(x)dx,г = l,2,...,n.Отметим среди проекционных методов и метод коллокации.

В этомслучае на отрезке [а, 6] выбирается п точек коллокации ж,, г = 1,2,...,пи коэффициенты с*, г = 1,2,...,п в представлении (8.8) (или (8.9))выбираются так, что невязка обращалась в нуль в точках коллокации, т. е.г(х^,с) = 0,t=l,2,...,n.Для коэффициентов матрицы и правой части системы (8.10) при исполь­зовании представления (8.8) получимбо 0 = <р,(х{) - А /K(xi,s)tpj(s)ds,аЬ{ = /(х{),*=1,2,...,п.Для решения системы линейных алгебраических уравнений (8.10)применяются прямые или итерационные методы.106Глава 8. Интегральные уравнения8.2.2. Интегральные уравненияс переменными пределами интегрированияПри приближенном решении интегрального уравнения Вольтерра второгорода (8.5) используется как метод квадратур, так и проекционные методы.Для определенности, будем считать, что х\ = а, х„ = Ь.

Для точек Xj,i= 1,2,..., п из (8.5) получимu(xi)-\fK(xi,s)u(s)ds= f(xi),t=l,2,...,n.(8.11)aПринимая во внимание то, что интегрировать необходимо по отрезкупеременной длины, запишем используемую квадратурную формулу в виде7/*(*)&«£<£>*(*,•), «' = 2,3,..., п..;=•Применение к (8.11) дает систему линейных уравненийiИ - А Э Д 0 * (*<•*;)» = /<**)>»"=1,2,...,п.(8.12)Отличительная особенность системы уравнений (8.12) состоит в том, чтоматрица ее коэффициентов треугольная.

Это позволяет найти прибли­женное решение интегрального уравнения у\,Уг,-,Уп последовательнодруг за другом по рекуррентным формулам в предположении, что вседиагональные элементы матрицы ненулевые. Наиболее простые расчет­ные формулы при решении интефального уравнения Вольтерра второгорода мы получим при использовании квадратурной формулы трапеций.При численном решении интефального уравнения первого рода(8.6) можно ориентироваться на использование метода квадратур. Подоб­но (8.11) из (8.6) будем иметьу K(xt,«)«(«)dsа= f(Xi),« = l,2,...,n,8.2. Методы решения интегральных уравнений107что дает систему линейных алгебраических уравненийX ] сУк(ъ> *})У} = f(xi)>* = 1,2,..., п.j=iДля того чтобы решение этой системы существовало необходимо потре­бовать выполнение условия К(х, х) Ф 0.При численном решении интегральных уравнений часто полезнопровести предварительное преобразование исходной задачи.

Типичнымпримером является приведение интегрального уравнения Вольтерра пер­вого рода к интегральному уравнению второго рода. Будем считать, чтоядро и правая часть дифференцируемы и К(х,х) Ф 0. Тогда от уравне­ния (8.6) можно перейти к уравнению. .и ж1 dK(x,s)дК(х, s) , ч4j j _1 df_fu s ds+ / U7\я( ) = К(х,х) dx (*),J К(х,х)дхкоторое представляет собой интефальное уравнения Вольтерра второгорода.8.2.3. Интегральное уравнение Фредгольма первого родаИнтегральное уравнение (8.4) есть наиболее характерный пример не­корректно поставленной задачи. Некорректность обусловлена тем, чтопри малых возмущениях правой части /(х) не гарантируется малоговозмущения решения.Помимо (8.4) рассмотрим уравнение с возмущенной правой частьюьj K(x,s)u(s)ds= f(x),хе[о,Ь].(8.13)Ядро К(х,з) есть вещественная непрерывная функция двух аргументов,a f(x),f(x) e L2(a,b), причем||/(х) - /(х)|| ^ 6,Глава 8.

Характеристики

Список файлов книги