А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (2000) (1160081), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Интегральные уравнения108при использовании обозначенийь\\Ф)\\- у («>«).(«>») = /u{x)v(x)dx.При 6 -> 0 норма пофешности решения ||й(а:) - и(а;)|| не стремитьсяк нулю.Определим линейный интефальный операторьАу = I K(x,s)y(s)ds,x£[a,b].(8.14)аЗадачу с неточной правой частью (8.13) запишем в виде операторногоуравнения первого родаAu = f.(8.15)В методе регуляризации Тихонова приближенное решение задачи (8.15) находится из минимума сглаживающего функционала:J а (у) -+ min,у € Ь2 (о, Ъ),(8.16)гдеJa(y) = \\Ay-f\\2+ a\\y\\2,а а > 0 — параметр регуляризации.Обозначим решение задачи (8.16) через уа. Оно может быть найденокак решение уравнения Эйлера для вариационной задачи (8.16)ауа + А*Ауа = A*f,гдеоА*у=I K(s,x)y(s)ds,х€[а,Ъ].Тем самым приходим к интефальному уравнению Фредгольмаьауа + I G(x, s)ya(s) ds = V(x),x G [a,b]8.3.
Упражнения109с симметричным ядромъG{x,s) =IK{t,x)K(t,s)dtи правой частьюо#r)= JK(s,x)f(s)ds.Принципиальный момент в методе регуляризации связан с выборомпараметра регуляризации а, его согласованием с погрешностью входныхданных. При использовании принципа невязки параметр регуляризациивыбирается из условия\\Aya-f\\ = 6.При таком выборе а = а(6) норма погрешности \\уа - и|| —> 0 при 6 —• 0,т.е.
приближенное решение стремится к точному решению задачи.8.3. УпражненияРассмотрены иллюстративные примеры по построению и исследованию вычислительных алгоритмов приближенного решения интегральныхуравнений первого и второго рода.Упражнение 8.1. Получите условия сходимости метода простой итерацииьк+,и (х) = Х IK(x,s)uk(s)+ f(x),k = 0,\,...(8.17)апри, например, и0 = f(x) для приближенного решения интегрального уравнения (8.2).Решение. Будем рассматривать сходимость итерационного процесса (8.17)в L2(a,b). Для погрешности из (8.2), (8.17) имеемuk+i(x)-u(x)= \ J K(x,s)(uk(s)-u(s))ds,fc= 0,l,... .Глава 8. Интегральные уравнения110Пусть существует ограниченная постояннаяь ь1/2Х = ( / JК\х,$)йзйх^а,атогда с учетом неравенства»k( I K(x,s)(u (s)ъ2- u(s)) ds\ъ2< IK (x,s)dsaaf (uk(s) - u{s))2dsaполучим||t»*+l (x) - u(x) || ^ Ax||«* (*) - u(x) ||.(8.18)Поэтому для сходимости итерационного метода (8.17) достаточно, чтобыЛ<1.XПри таких офаничениях из (8.18) стандартным образом следует оценкадля числа итераций, необходимых для достижения искомой относительной точности приближенного решения.Упражнение 8.2.
Рассмотрите алгоритм решения интегрального уравнения (8.2) с вырожденным ядромпI=Iгде ip,(x),<pi(s), i = 1,2,..., п — системы линейно независимых функций.Решение. Подстановка (8.19) в (8.2) даети (х) - А ] Г ft (х) / ъ (s) u (s) ds = f (x).<='(8.20);Используя обозначения<Pi(s)u(s)ds = a,i = l,2,...,n,aполучим следующее представление для решения интефального уравненияФредгольма второго рода с ядром (8.19):8.3. Упражнения111и(х) = f(x) + А ^2а^(х).(8.21)«=iДля коэффициентов q, t = l , 2 , . .
. , n из (8.20) получим с учетом линейной независимости функций ip(x), г = 1,2,...,п систему линейныхалгебраических уравненийпс, - A ^ C j / ipj(s)<Pi(s)ds = / y>j(s)/(s) ds.После нахождения коэффициентов с*, i = 1,2,... ,п в качестве решенияинтегрального уравнения берется (8.21).Упражнение 8.3. В методе квадратур находится приближенное решениев точках х,, г = 1,2,...,п. Рассмотрите возможности восполнения приближенного решения на все точки отрезка [а, Ь] при приближенном решенииинтегрального уравнения (8.2).Решение. Простейший подход связан с применением общих интерполяционных формул.
Если в методе квадратур используется квадратурнаяформула интерполяционного типа, то та же интерполяционная формулаиспользуется и для восполнения. Например, естественно ориентироватьсяна применение кусочно-линейной интерполяции, когда по заданным щ,i = 1,2,..., п строится функция Y(x), такая чтоvt\Х'+1~Х.X — XiY(x) = ~——г У> + - — — to+u1€(яв,-,х <+ ,], t = l , 2 , . . .
, n - l .Для восполнения решений интегрального уравнения можно применять интерполяционные формулы специального типа. Применяя для интегрального члена интегрального уравнения квадратурную формулу, длявсех точек отрезка [а, 6] получимпу(х) = A Y^ CjK(x, Sj)yj + /(as), j = 1,2,..., п.j=tТакая интерполирующая функция более точно учитывает и передаетспецифику решаемой задачи.112Глава 8. Интегральные уравненияУпражнение 8.4. Получите интегральное уравнение для определения производной порядка т заданной функции f(x).Решение.
Без ограничения общности можем считать, что/(0) = 0,dkf^ F ( 0 ) = 0,fc=l,2,...,m-l.Для первой производной имееми поэтомуXхu(s)ds = f{x).оДля производной тп-ого порядка имеем1J ( г о - 1)!(х-вГ-у*) л = /(«).оСправедливость такого представления устанавливается методом математической индукции. Тем самым мы имеем интегральное уравнениеВольтерра первого рода.Упражнение 8.5. Приведите расчетные формулы метода квадратур при использовании формулы трапеций для приближенного решении интегральногоуравнения Вольтерра второго рода (8.5).Решение. Для узлова = Х| < Х2 < • •• < х„ = bпри использовании квадратурной формулы трапеций из (8.11) получимгде использовались обозначенияKij = K(Xi, Sj),hi = x{ - a:,.,.1138.3. УпражненияОтсюда с учетом2/i = / ( s i )получим рекуррентные формулы для последовательного определения приближенного решения«-I2/(i.) + кгКцу{ + J2(b + Ы+])Кцу,для всех i = 2 , 3 , .
. . , п. Эти формулы можно использовать при Kahi Ф 2.Упражнение 8.6. Пусть норма точного решения операторного уравненияAu = f(8.22)с оператором А = А* > 0 в Li(a, b) ограничена в Н^-г, т. е.\А~хч\^М = const.(8.23)При решении задачи с приближенной правой частью fg такой, чтоIIл - / I N *.<8-24)используется алгоритм упрощенной регуляризацииaya + Aya = f6.(8.25)Покажите сходимость приближенного решения к точному при выборе параметра регуляризации а(ё) — i/6/M.Решение. Необходимо установить уа —> и при 6 —• 0. Обозначим через Ад., ipk, к = 1,2,... — собственные значения и собственные функцииоператора А соответственно, причем А* > 0, к = 1,2,... Для точногорешения задачи имеем представление— г — ¥>*•t=iХкАналогичное представление для приближенного решения получимиз (8.25):114Глава 8.
Интегральные уравненияПусть у —решение регуляризованной задачи с точной правой частью, т.е.ау + Ау = /.(8.26)Принимая во внимание| | » а - « | М | » » - у | | + ||у-«||.(8.27)рассмотрим отдельно близость уа к у и у к и. Равенство Парсеваляс учетом представления решения задач (8.25), (8.26) и оценки (8.24) дает||||2V> ( / « - f><Pk)2 6Аналогично с учетом априорных ограничений (8.23) получимПодстановка в (8.27) дает оценкуии *\\Уа - и < - + аМ.ииаМинимум правой части достигается при выборе параметра регуляризацииа(6) = у/6/М, причем\\уа-и\\^2у/ШИ ПОЭТОМУ \\уа — ш|| —• 0 ПрИ 6 - + 0 .8.4.
ЗадачиЗадача 8.1. Получите оценку погрешности метода квадратур Симпсонапри решении интегрального уравнения Фредгольма второго рода в равномерной норме.8.4. Задачи115Задача 8.2. Рассматривается задача нахождения характеристических чисел (собственных значений) интегральных уравнений, т.
е.и(х) = А / К(х, s)u(s) ds.Ядро интегрального уравнения симметрично и положительно определено, т. е.K(x,s) = K(s,x),ь ь/ / К(х, s)u(x)u(s) dxds>0,аV«(a;) £ 0.аВ методе Келлога по заданной функции ш°(х) строятся функцииь]„*+•/{х)=[ K(x,s)wk(s)ds,fc= 0,l,....Покажите, что для наименьшего характеристического числа имеют местоприближенные формулыV-'ll^1 ~1II HI 1^1Задача 8.3. Определим fc-oe итерированное ядро с помощью рекуррентных соотношенийKt(x,s) = K{x,s),ьKt(x,s) = JK(x,t)Kk-](t,s)dt,aЧислоAk = JKk(x,x)dxfc= 2,3,....116Глава 8. Интегральные уравненияназывается fc-ым следом ядра K{x,s). Покажите,что при достаточнобольших к для наименьшего характеристического числа справедливоприближенное выражение (метод следов)|А,|-'Л2кАгк+\Задача 8.4. Рассмотрите алгоритм решения интефального уравненияФредгольма второго рода (8.2) на основе аппроксимации приближенного решения кубическим сплайном.Задача 8.5.
Рассмотрите возможности аппроксимации ядра вырожденным ядромK(x,s)Ъ^М^А8)на основе разложения в ряд Тейлора по одной и двум переменными построения интерполяционного полинома для функции одной и двухпеременных.Задача 8.6. Получите оценку пофешности в Li(a,b) приближенногорешения интефального уравнения Фредгольма второго рода при заменеядра вырожденным.Задача 8.7. Исследуйте сходимость метода простой итерации (8.7) в равномерной норме (в С[а, Ь]).Задача 8.8.
Получите условия сходимости итерационного метода (8.17)для приближенного решения интефального уравнения (8.2), ядро которого имеет слабую особенность:K(x,s) =(a:';\х — s 7| G ( * , « ) | ^ A f = const,0<7<1-Задача 8.9. Для приближенного решения интефального уравнения Фредгольма второго рода (8.2) используйте итерационный метод аналогичныйметоду Зейделя для решения систем линейных алгебраических уравнений.Установите условия сходимости такого метода.8.4.
Задачи117Задача 8.10. Рассмотрите итерационный метод Ньютона для приближенного решения нелинейного интегрального уравнения (уравнения Урысона)ьи(х) - I K(x,s,u(s)) ds = /(х), x€[a,b].Задача 8.11. Постройте алгоритм приближенного решения интегральногоуравнения Вольтерра первого рода (8.6) методом квадратур и рассмотритеусловия его применимости.Задача 8.12. Постройте иллюстративный пример показывающий неустойчивость решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода (8.4) к малым (в Ьг(а,Ъ)) возмущениям правой части.Задача 8.13. Примените метод регуляризации Тихонова для решенияинтегрального уравнения Вольтерра первого рода (8.6).Задача 8.14. Получите уравнение Эйлера в методе регуляризации Тихонова (8.16) для решения задачи (8.14), (8.15) при условии, что сглаживающийфункционал имеет видUy) = \\Ay-f\\2 + a(\\y\\2 + qdx >Задача 8.15. Пусть в (8.4) ядро K(x,s) симметрично и положительноопределено.
Покажите, что итерационный методи + (х) — и 1х\ Гi-ii-i + / K(x,s)uk(s)ds = f(x)aсходится при0 < т <2А,,где Ai — наименьшее характеристическое число.Задача 8.16. Покажите, что в условиях предыдущей задачи при решенииинтегрального уравнения (8.4) с неточной правой частью можно согласовать критерий останова (число итераций) с погрешностью правой части 6для того, чтобы получить приближенное решение, сходящееся при 6 —» 0к точному.Глава 9Задача Кошидля обыкновенныхдифференциальных уравненийВ вычислительной практике часто приходится иметь дело с задачами с начальными данными для системы дифференциальныхуравнений. Для приближенного решения таких задач традиционно широко используются методы Рунге—Кутта, связанные с вычислением правой части системы уравнений в некоторых промежуточных точках.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
