А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (2000) (1160081), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Второй большой класс методов составляютмногошаговые методы, когда в вычислениях участвуют три и более расчетных слоев. Отдельно выделяются задачи, для которыхрешение имеет разномаштабные гармоники (жесткие системыобыкновенных дифференциальных уравнений).9.1. Задачи с начальными условиямидля систем обыкновенныхдифференциальных уравненийРассматривается задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравненийdu.
(t)-^-=f,(t,uuu2,...,um),и,(0) = u°,, i=t>0,\,2,...,m.(9.1)(9.2)9.2. Численные методы решения задачи Коши119Основные обозначенияи -= {«1, «2, ...,ит} -f = {/. / 2 • ••> Jm) ШТ = {tч = пт, п = 0,1,...}- т>0-уп = yitn) - -вектор неизвестныхвектор правых частейравномерная сетка по tшаг сеткиприближенное решениепри t = t„С использованием векторных обозначений задачу (9.1), (9.2) можемзаписать как задачу Коши для одного уравнения:du(i)-±L = /(*,«),О 0,u(0) = u°.(9.3)(9.4)В задаче Коши по известному решению в точке t = 0 необходимонайти из уравнения (9.4) решение при других t.9.2. Численные методы решения задачи КошиОтмечаются классические методы Рунге—Кутта и многошаговые методырешения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальныхуравнений, обсуждается специфика численного решения жестких систем.9.2.1.
Методы Рунге—КуттаПри построении численных алгоритмов будем считать, что решениеэтой дифференциальной задачи существует, оно единственно и обладаетнеобходимыми свойствами гладкости.При численном решении задачи (9.3), (9.4) будем использоватьравномерную, для простоты, сетку по переменной t с шагом т > 0:uT = {t„ = nT, n = 0,l,...}.Глава 9. Задача Коши для дифференциальных уравнений120Приближенное решение задачи (9.3), (9.4) в точке t = t„ обозначим уп.Метод сходится в точке tn, если \уп - u(t„)\ —• 0 при г —> 0.
Методимеет р-ый порядок точности, если \уп -u(t„)\ = 0(тр), р > 0 при т —• 0.Простейшая разностная схема для приближенного решения задачи (9.3), (9.4) естьy"+T"y"=g/(<n+i,y"+')+(t-g)/(«..У")." = 0,1,....(9.5)При <т = 0 имеем явный метод Эйлера и в этом случае разностная схемааппроксимирует уравнение (9.4) с первым порядком.Симметричная схема (о- = 0,5 в (9.5)) имеет второй порядок аппроксимации.
Эта схема относится к классу неявных — для определенияприближенного решения на новом слое необходимо решать нелинейнуюзадачу. Явные схемы второго и более высокого порядка аппроксимацииудобно строить, ориентируясь на метод предиктор-корректор. На этапепредиктора (предсказания) используется явная схемаУп+1—Уп...чта на этапе корректора (уточнения) — схема~^= 5(/(<n+by"+')+/0n,J/n)),п = 0,1,....В одношаговых методах Рунге— Кутта идеи предиктора-корректорареализуются наиболее полно. Этот метод записывается в общем видет=1>*Й(9.6)гдеki = f(tn+ CiT,yn + T^2aijkXi=I,2,...,e.(9.7)Формула (9.6) основана на s вычислениях функции / и называется sстадийной.
Если a,j = 0 при j ^ i имеем явный метод Рунге—Кутта.Если a,j = 0 при j > i и о„ Ф 0, то к{ определяется неявно из уравненияk, = flt„+CiT, у" +т^2a kij j + Ta«ki) •О таком методе Рунге—Кутта говорят как о диагонально-неявном.9.2. Численные методы решения задачи Коши121Параметры Ь,-,с,,о,_, определяют вариант метода Рунге—Кутта. Используется следующее представление метода (таблица Бутчера):С\аи«12• •«IsС2«21022• •0.1s««1а,2• •O.SSЬ|h• •ъ,(9.8)Ъ*с,Одним из наиболее распространенных является явный метод Рунге—Кутта четвертого порядка:fc,=/(*n,2/n),k2 = f(tn + T-,yn +b = f(tn + \,yn + т у ) ,T^j1кЛ = f(tn +т,уп+ тк3),-— = -(fc, + 2fc2 + 2*з + кА).тоВ компактном представлении (9.8) этого метода имеемЬ*01—21—21012000001)01— 020 116130130016Применяя метод Рунге—Кутта (9.6), (9.7) к решению задачи Кошидля уравненияdu(t)= №,dtполучимJ/"+1t>Q,-y" = ^ ; r b 1 / ( ( n + c r ) .Глава 9.
Задача Коши для дифференциальных уравнений122Правую часть можно рассматривать как квадратурную формулу для правойчасти равенстваИсследование устойчивости используемых разностных схем при решении задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений проводится чаще всего на модельном одномерном уравненииdv.lt)где А — комплексное число. Для конкретного численного метода рассматривается множество всех точек комплексной плоскости ц = тХ,для которых имеет место устойчивость. Для явного метода Эйлера областьустойчивости представляет круг единичного радиуса с центром в точке(-1,0). Метод называется Л-устойчивым, если область его устойчивостисодержит полуплоскость Re р.
< 0. При Re A < 0 устойчиво решение уравнения (9.9) и поэтому для этой задачи условие ^-устойчивости означаетабсолютную устойчивость (устойчивость при всех т > 0).9.2.2. Многошаговые методыВ методах Рунге—Кутта в вычислениях участвуют значения приближенного решения только в двух соседних узлах у11 и j / n + l — один шагпо переменной t. Линейный m-шаговый разностный метод записываетсяв виде,m-^a,3,i=0mn+,-i= X;b.7('»+.-.,yn+,"<).n = m-l,m....(9.10)i=0Вариант численного метода определяется заданием коэффициентов а„Ь,,i = 0, l , .
. . , m , причем ао Ф 0. Для начала расчетов по рекуррентнойформуле (9.10) необходимо задать то начальных значений j/°, у 1 , . . . , ут~'.Различные варианты многошаговых методов (методы Ддамса) решения задачи с начальными условиями для систем обыкновенных дифференциальных уравнений могут быть получены на основе использования9.2. Численные методы решения задачи Коши123квадратурных формул для правой части равенстваt. + ie(*„+i)-«(*n) = J /(*,») Л.(9.11)иДля получения неявного многошагового метода используем для подынтегральной функции интерполяционную формулу по значениям функцииГ + , = /(<п + ьУ п + , ),Г,.--,Г + , - т ,т.е.—= ^bif(tn+^iy+l-i).<=о^7(9.12)Для интерполяционного метода Адамса (9.12) наивысший порядок аппроксимации равен т + 1.Для построения явных многошаговых методов можно использовать процедуру экстраполяции подынтегральной функции в правой части (9.11).
В этом случае приближение осуществляется по значениям/",/""'.•••,/ n + 1 _ m и поэтомуп+1 _ n! LJ LTJ"= £*k/(«- + i-i,y ,+| - 1 )-(9-13)1=1Для экстраполяционного метода Адамса (9.13) погрешность аппроксимации имеет m-ый порядок.Примерами методов Адамса (9.12), (9.13) при т = 3 являютсяУ"~уП = у4 (9/ П+1 + 19/" - 5/""' + Гг),П+1 _П1= п( 2 3 / П _ 16/"~' + 5^"~2)Т(9.14)( 9 - 15 )соответственно.На основе методов Адамса строятся и схемы предиктор-корректор.На этапе предиктора используется явный метод Адамса, на этапе корректора — аналог неявного метода Адамса. Например, при использовании методов третьего порядка аппроксимации в соответствии с (9.15)для предсказания решения положимУ-!LТ' (23/--16/-Ч5/"- 2 ).\1Глава 9.
Задача Коши для дифференциальных уравнений124Для уточнения решения (см. (9.14)) используется схема„п+1г„,п) + l9fn - 5f= ТЛУ^^У24'+ / )•Аналогично строятся и другие классы многошаговых методов.9.2.3. Жесткие системыобыкновенных дифференциальных уравненийПри численном решении задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (9.1), (9.2) могут возникнуть дополнительныетрудности, порожденные жесткостью системы.
Локальные особенностиповедения решения в точке и = w передаются линейной системойПусть A,(i), г = 1,2,...,т — собственные числа матрицыA(t)={aij(t)},aij(t)=^-(t,w)-Система уравнений (9.1) является жесткой, если числоmax |ReAj(i)|S(t) = ' « " 'min |ReA,(t)|велико. Это означает, что в решении присутствуют составляющие с сильноразличающимися масштабами изменения по переменной t.Для численного решения жестких задач используются вычислительные алгоритмы, которые имеют повышенный запас устойчивости. Необходимо ориентироваться на использование Л-устойчивых или А(а)-устойчивых методов.Метод называется А-устойчивым, если при решении задачи Кошидля уравнения (9.9) область его устойчивости содержит угол|arg(-p)| < a ,/х = Ат.9.3.
Упражнения125Среди ^-устойчивых методов можно выделить чисто неявные многошаговые методы (методы Гира), когда^«..зГ-^/^зГ1).т,=оВ частности, при т — 3 имеем схемуllt/n+1-18j/"+9yn-1-2ty"-2= /(<n + „J/ n + 1 ),6ткоторая имеет третий порядок аппроксимации.9.3. УпражненияВ приведенных ниже примерах основное внимание уделено построениючисленных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и исследованию свойств аппроксимации и устойчивости.Упражнение 9.1. Покажите возможность построения метода приближенного решения задачи Коши (9.3), (9.4) на основе разложения решения в рядТейлора.Решение.
Будем считать, что решение задачи (9.3), (9.4) при т = 1и правая часть достаточно гладкие функции своих аргументов. Разлагаяu(t) при t = t„, получимduu(t„+l) = u(tn) + (t n+ i - tn) — (<„) +at2^ (<n + |-<») <*V, . ^ (tn + l -<n) 3+-^1У+3Jd\^r(*») + ----Для нахождения производных решения используется уравнение (9.3), такчто, например,du£ю=£#.•>+£м/м.Глава 9. Задача Коши для дифференциальных уравнений126d2f•>2d2udf+ ^(«,«)/ (*,«) + ^(*,«)^(«).Офаничиваясь несколькими первыми членами разложения для приближенного решения задачи (9.3), (9.4) получимз/ п + | - v"-т= f(tn,yn),уп+'-у"...n = 0,l,...,„>tn+\-tn(dfn0/„\— - — = /(*«,» ) + —2—\Ш™ У '+au^*'v W",v 4'n = 0,l,....Для получения производных правой части по переменным t и и можноиспользовать современные компьютерные системы аналитических вычислений.Упражнение 9.2. Постройте явный метод Рунге—Кутта при s = 2 и дополнительном ограничении С\ = 0.Решение.
В силу общего представления (9.6), (9.7) в рассматриваемомслучае имеем^-=6,fc,+62fc2,(9-16)тk,=f(tn,yn),k2 = f(tn + C2T,yn+a2,Tk,).(9.17)Параметры метода 021,61,62,02 найдем из условия, чтобы пофешностьаппроксимации имела наибольший порядок.Для пофешности аппроксимации из (9.16), (9.17) получимu»+i_nui>n =+ 6i/(<„,it n ) + b7f(tn + c2r,u" +a»Tf(t„,un)).TРазложение в ряд Тейлора даетw"+1 -u"du,чTdVч— 7 — =«(*•) + 1 tf(*»), ,.+ 0(r)'П/(*п + С2Т,И" + а2|Т/(<„,« )) == /(*„,и") + с2т ^ ( < „ , и") + в 2 1 г / ( ^ , « П ) ^ ( « п , и " ) + 0(т2).9.3. Упражнения^ ^127На решениях уравнения (9.3)и поэтому% =- ^п) + (Ь1+Ь2);Цп>ип) ++ т(ь2а2] - I ) /(Ли») ^ (<„,«")++ r^ 2 C2-0^(t„,« n ) + O(r2).Следовательно, метод (9.16), (9.17) имеет первый порядок аппроксимации, если 6i + Ь2 = 1.
При1102121 = Х '*2С2 = Zимеем однопараметрическое семейство методов Рунге—Кутта второгопорядка аппроксимацииУ~У" =(l-a)f(tn,un)+ of(tn + CT,un+cTf(tn,un)),(9.18)тгде Ъ2 = 1 - Ь\ — о, сг = а 2 | = с, причем с<т = 0,5.В классе (9.18) наиболее известными методами являются методыс а = 1 и а — 0,5."Упражнение 9.3. Получите условия устойчивости явного метода Рунге—Кутта четвертого порядка точностиVn+i -у"1— = -(fc, + 2fc2 + 2fc3 + kA),то*!=/(<•,»"),*2 = /(*» + ^ , У" + Г у ) .*3 = /(*« + ^ У +Т^ \fc« = /(*» +Т,У" +Tk3).Решение. Для модельного уравнения с правой частью f(t,u)имеемyn+l = q(n)yn,А« = АТ,= -A«Глава 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
