А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (2000) (1160081), страница 16
Текст из файла (страница 16)
. ,N,Nh = l},причем ш — множество внутренних узлов, а дш — множество граничныхузлов.Будем использовать безындексные обозначения, когда « = «,- =и(ж,). Для левой разностной производной имеемWi-u,_iU1^-lTdu,=чh d2u,iXi)Tx„,<-2^{Xi)+0{h)-Тем самым левая разностная производная и г аппроксимирует первуюduпроизводную — с первым порядком (погрешность аппроксимации 0(h)dxв каждом внутреннем узле) при и(х) € С(2)(П). Аналогично для правойразностной производной получими,+ | - и ,duhd2u,Л/ ,2чДля трехточечного шаблона (узлы ж,_|,х^,ас<+| ) можно использоватьцентральную разностную производную:_ u, + | - U j _ ,duh2 d\J«S = — £ — = -<«,) + у -£*<*) + 0(h ),138Глава 10.
Краевые задачи для дифференциальных уравненийduкоторая аппроксимирует производную — со вторым порядком при и(х) €ахС (3) (П).2duДля второй производной —j1 получимdxих - щщ+\ - 2«, + м,_1иXXft2Этот разностный оператор аппроксимирует в узле х = ajj вторую производную со вторым порядком при и(х) € С^ (0,1).Для внутренних узлов сетки аппроксимируем дифференциальныйоператорCu=--^(k(x)~)+q(x)u,dx)xe(0,I)(10.9)с достаточно гладкими коэффициентами и решением разностным операторомLy=-(ayi)x+ cy, хеш.(10.10)Для аппроксимации со вторым порядком необходимо выбрать коэффициенты разностного оператора так, чтобыai+[ ~ aidkftdx, 2(10.11)= *(*,-) + О (Л 2 ),(10.12)(Xi) +Л0(h2),Ci = q{Zi) + 0{h2).(10.13)В соответствии с (10.13) положим, например, с* = д(х<), а условиям (10.11), (10.12) удовлетворяют, в частности, следующие формулыдля определения а,:<Ч = *»-1/2 = H*i - 0,5ft),Jkj_i -f- ki\fc,_iЛ, У10.2.
Численные методы решения краевых задач139Метод формальной замены дифференциальных операторов разностными может использоваться и при аппроксимации граничных условий.Для построения разностных схем в задачах с разрывными коэффициентами необходимо ориентироваться на использование интегро-интерполяционного метода (метода баланса).При построении разностных схем естественно исходить из законов сохранения (балансов) для отдельных ячеек разностной сетки.В уравнении (10.1) выделим контрольные объемы в виде отрезковж,-_1/2 < х < х,+\/2, где ж,_|/2 = (г - l/2)ft. Интегрирование уравнения (10.1) по контрольному объему даетZ.+1/2gi+i/2-Ф-1/2+ / q(x)u(x)dx=Z|-l/2Jf(x)dx.«1-1/2Для получения разностного уравнения из этого балансного соотношения необходимо использовать те или иные восполнения сеточныхфункций.
Само решение будем искать в целых узлах (у(х), х = ж<), а потоки — в полуцелых (q(x), x = a;,+i/2)- Это приводит нас к разностномууравнениюЬу = (р, хеш,(10.14)в котором оператор L определен согласно (10.10) с коэффициентами-1-шCidx(10.15)- iI / f W*i-l/2Правая часть уравнения (10.14) есть*i+l/2Vt =h J^d x'*|-|/2Аналогично проводятся аппроксимации уравнения (10.1) и на неравномерных сетках.140Глава 10. Краевые задачи для дифференциальных уравненийПостроение дискретных аналогов краевых задач для уравнения (10.1)может осуществляться на основе метода конечных элементов.
Используя простейшие кусочно-линейные элементы, представим приближенноерешение в видеN-IхУ( )= ЛyiWt(10.16)№'1=1где пробные функции Wi(x) имеют вид( о,X v, *C(— | j(а; - ж,-,)h(xi+i - х)hti»i(x) = <X{—\ <z X ^z X^X% < X ^1 о,X >Xj+uXi+\.Коэффициенты разложения в методе Галеркина определяются из системы линейных уравнений, которую мы получаем после умноженияисходного уравнения (10.1) на функцию Wi(x) и интегрирования по всейобласти. С учетом финитности пробных функций получим*•+!/dy dv>i*.+1*•+!fГk(x)———dx + I q(x)y(x)v)i(x) dx = /x,_if(x)wi(x)dx.г,-iI,_IПодстановка представления приближенного решения (10.16) приводитк трехточечному разностному уравнению (10.14), в которомX,X,а,; = - I k(x)dx - - / q(x)(x - ж,_|)(х, - x)dx,\ ( ''°*= h?\ J Ч^Х~ Xi~^dx+*'/ я(х)(хмщ1 = 1л J ^х^х ~ Xi~^dx+1X-1Hx^Xi+l\-x)dx\,-x)dx\-14110.2.
Численные методы решения краевых задачНаиболее просто аппроксимируются граничные условия (10.2):Уо = / ^ ь2/лг = /*2-(10-17)Для аппроксимации граничных условий второго и третьего рода со вторым порядком в граничных узлах х = хо = Онх = хн = 1 привлекаетсяуравнение (10.1) — аппроксимация на решениях задачи. В случае уравнения (10.1) краевые условия (10.4) аппроксимируются разностнымисоотношениями/h \h-а\Ух,\+ ( <г, + ~qo J2/o = /*i + ^fo,}h \ЛaNVxJI + [<Г2 + ^qNjVN = /*2 + 2 flfК подобным аппроксимациям мы приходим при использовании интегроинтерполяционного метода и при построении схем конечных элементов.10.2.2.
Сходимость разностных схемИсследование сходимости приближенного решения к точному при численном решении краевых задач базируется на основе априорных оценокв сеточном гильбертовом пространстве. При исследовании сходимостив равномерной норме привлекается принцип максимума и разностнаяфункция Грина.На множестве внутренних узлов w и на сеткеш+= {x\x = Xi = ih,i=l,2,...,N,Nh = l}определим скалярные произведения(y,w)+ = Y2y(x)w(x)hx€w+В сеточных гильбертовых пространствах Я и Н+ норму введем соотношениемЫ\ = (У,УУ'\\\У\\+=+\1/2Ы+)142Глава 10. Краевые задачи для дифференциальных уравненийРассмотрим разностное уравнение (10.14) при однородных краевыхусловиях первого рода:Уо = 0,yN = 0.(10.18)Для любых сеточных функций, обращающихся в нуль на дш, вернонеравенство (разностное неравенство Фридрихса)||»||ЧМо(||у«|Г) 2 ,М0 = ^.(10.19)С учетом этого на множестве сеточных функций, удовлетворяющих(10.18), разностный оператор L, определяемый согласно (10.10), являетсясамосопряженным и положительно определенным:L = L*>~E.(10.20)М0Для исследования точности разностной схемы (10.14), (10.17) рассмотрим задачу для погрешности приближенного решенияz(x) = у(х) - и(х),х е ш.Для погрешности приближенного решения задачи (10.1), (10.2) получим разностную задачуLz — ip(x),хеш,z0 = 0, zN = 0,где "ф(х) — погрешность аппроксимации:•ф(х) = <р(х) - Lu,хеш.В случае достаточно гладких коэффициентов и решения для погрешностиаппроксимации получим•ф(х) = 0(h2),хеш.Для погрешности рассматриваемой разностной схемы справедливааприорная оценкам-'/2М0ЫГ<=НН.1+ „10.2.
Численные методы решения краевых задач143которая обеспечивает сходимость разностного решения к точному решению дифференциальной задачи со вторым порядком.При рассмотрении одномерных задач конвекции-диффузии мы ориентируемся на использовании трехточечных разностных схем, которыезапишем для внутренних узлов в виде- ада_, + ут - Д и + | =ч>иi=l,2,...,N-l.(10.21)Для граничных узлов считаем выполненными условия (10.18).Будем рассматривать разностные схемы (10.18), (10.21), в которыха<>0,Д>0,7<>0,i=\,2,...,N-l.Сформулируем критерий монотонности разностной схемы, т. е.
сформулируем условия, при которых разностная схема удовлетворяет разностному принципу максимума.Пусть в разностной схеме (10.18), (10.21) у?, ^ 0 для всех » = 1,2,...,N - 1 (или же щ < 0 для i = 1,2,...,N - 1). Тогда при выполненииусловийЪ>сц + ри» = 1,2JV— 1(10.22)имеет место у,\ ^ 0, i = 1,2,..., N - 1 (jfi < 0, » = 1,2,..., N - 1).Для разностных схем (10.18), (10.21), для которых выполнены условия монотонности (10.22), доказывается сходимость в равномерной норме. Исследование базируется на применении соответствующих теоремсравнения и построении мажорантных функций.Пусть для разностной схемы (10.18), (10.21) выполнены условия(10.22) иад(х)— решение задачи-a,w,_| + 7,го, - Д«;, + | = фиw0 = 0,Тогда приШ^фиг = 1,2,...,N - 1,wN = 0.» = 1,2,...,JV-1справедлива оценка|j/iKw„%= 1,2,...
,JV - 1.Функция w(x) называется мажорантной функцией для решения задачи (10.18), (10.21). Если удается построить мажоранту, то это значит,что получена априорная оценка для решения задачи в Ь^ш):||»(«)L <||«(«) L,00.23)144Глава 10. Краевые задачи для дифференциальных уравненийгде на множестве сеточных функций, обращающихся в нуль на ди>,Ых)\\оо = ™™\у(хЯНа основе рассмотрения задачи для погрешности с использованием оценки (10.23) устанавливается сходимость исследуемой разностной схемы.10.2.3. Другие задачиСреди более общих, чем (10.1), (10.4) краевых задач отметим задачи дляуравнения (10.5). Простейшая центральноразностная аппроксимация члена с первой производной дает разностное уравнение- (аУг)х + 1>У°Х + <% = V,хеш,(10.24)где, например, b, — v(x,). Разностная схема (10.17), (10.24) аппроксимирует краевую задачу (10.2), (10.5) со вторым порядком.
Ее основнойнедостаток связан с тем, что эта схема монотонна только при достаточномалых шагах сетки ft.Безусловно монотонные разностные схемы для уравнения (10.5) можно построить при использовании для конвективного слагаемого аппроксимаций первого порядка направленными разностями. Вместо (10.24)рассмотрим разностное уравнение- (Щх)х + Ь+ух + Ь~ух + су = (р, х€ш,(10.25)гдеЬ(х) = Ъ+(х)+Ь-(х),Ъ+(х)=1-(Ъ(х) + \Ъ(х)\)>0,Ь-(х)=1-{Ь(х)-Щх)\)<0.К сожалению, схема (10.17), (10.25) имеет только первый порядок аппроксимации.При разностной аппроксимации краевой задачи для обыкновенногодифференциального уравнения четвертого порядка (10.8)—(10.11) удобно10.2. Численные методы решения краевых задач145использовать расширенную сетку с дополнительными (фиктивными) узлами £_! = -ft, xN+i = l+h.
Тогда дифференциальному уравнению (10.8)можно сопоставить разностное уравнениеУхххх = <Р(х),(10.26)ХЕШ.Аппроксимация краевых условий (10.9) и (10.10) дает2/0 = ^ 1 ,(10.27)УЛГ = /*2,-2/1 - J / - 12/JV+IУя-\(10.28)"ь= v2.2ft"2ftПри вычислительной реализации значения в фиктивных и граничныхузлах находятся из (10.27), (10.28) непосредственно, а для определенияприближенного решения в узлах х е ш из (10.26) получим пятидиагональную систему линейных алгебраических уравнений.10.2.4. Решение сеточных уравненийДля нахождения приближенного решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения необходимо решить соответствующую систему линейных алгебраических уравнений. Для нахожденияразностного решения используются традиционные прямые методы линейной алгебры.
Излагаемый метод прогонки (алгоритм Томаса), какхорошо известно, является классическим методом Гаусса для матрицспециальной ленточной структуры.Для примера рассмотрим разностное трехточечное уравнение (10.21)с однородными условиями (10.18). В подобном виде записываются и разностные схемы для задачи с краевыми условиями третьего рода (нарасширенной сетке с у-\ = 0 , ум+\ — I + ft. В матричном виде рассматриваемая разностная задача имеет видАу = <р,х£ш,гдеА=ъ-faо0-а37з1N-\.146Глава 10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
