А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (2000) (1160081), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Используя априорную оценку для схемы переменных направленийпри точном задании начальных условий получим(Е+Т-А^г^\\^^{Ш+ т\)-*=оТем самым схема переменных направлений сходится со скоростью0(т2 + \h\2) в соответствующей норме.202Глава 12. Нестационарные задачи математической физики12.4. ЗадачиЗадача 12.1. Докажите, что для оператора С = С* > 0 при т > 0неравенства1И1 = 1И-тС||<р,ттэквивалентны.Задача 12.2. Покажите, что условие (12.20) необходимо и достаточнодля устойчивости разностной схемы (12.13), (12.14) в Яд, еслиА = А" > 0,В = В* > 0.Задача 12.3. Методом энергетических неравенств докажите оценку устойчивости по начальным данным и правой части (12.25) для разностнойсхемы (12.10), (12.11), когда А = А* > 0, а для оператора В справедливонеравенство (12.24).Задача 12.4.
Пусть операторы А к В удовлетворяют условиямВ ^ еЕ + 0,5тА,А = А* > 0,где е — любое положительное число. Тогда для разностной схемы (12.10),(12.11) верна априорная оценка\\уП+1и\Ы\>Т£ЪУк\\2"•*=оЗадача 12.5. Запишите трехслойную схему (12.26) с самосопряженнымиоператорами А, В и R в виде двухслойной векторной схемыуп+1 _ упВт+АУ П = Ф",п=1,2,...20312.4.
Задачис самосопряженным оператором А при определении вектораYn = {\(yn+yn-\yn-y"-'}Задача 12.6. Покажите, что условиято- 1В + --—riOO,2g+\IR>-A>0,4g>\достаточны для ^-устойчивости трехслойной схемы (12.28) с самосопряженными операторами А, В и R.Задача 12.7. Пусть А = А* > 0, R = R* > 0 в разностной схеме (12.26),(12.27). Докажите, что приВ ^ еЕ,1R > -А,4е = constдля разностного решения верна априорная оценка (12.35).Задача 12.8. Аппроксимируйте краевые условия третьего рода (12.4) причисленном решении задачи Коши для параболического уравнения (12.1).Задача 12.9. Постройте монотонную разностную схему второго порядкаточности для решения задачи (12.1)—(12.3).Задача 12.10.
Интегро-интерполяционным методом постройте разностную схему в случае, когда коэффициент к(х) имеет разрыв первого родав точке i = i ' 6 ш/, и на разрыве имеют место условия сопряженияu ( z * + 0 , t ) - u ( z * - 0 , t ) = 0,дидик—(x'+Q,t)-k—(х*-<М)= 0.Задача 12.11. На основе принципа максимума сформулируйте условияустойчивости схемы с весами (12.40), (12.41) при численном решениизадачи (12.1)-(12.3).204Глава 12. Нестационарные задачи математической физикиЗадача 12.12. Докажите, что условиеА*+(а--JTA'A^Oнеобходимо и достаточно для устойчивости схемы с весами (12.40) ,(12.41)с несамосопряженным оператором А > 0 по начальным данным (у>" = 0,п = 0,1,...) в пространстве НА-л, т.
е. для выполнения оценки||V +, NHV||, n = o,i,....Задача 12.13. Исследуйте погрешность аппроксимации и условия устойчивости трехслойной разностной схемы с весамиГ+' + А{о1Уп+1 + (1 - <г, - а2)уп + cry""') = <р\~/п= 1,2,... ,для задачи (12.1)—(12.3).Задача 12.14. Рассмотрите двухпараметрический класс схем с весамиУ1У-+Ут2n+l+A(aiy+(l-ai-a2)yn+ayn-1)=v \n=l,2,...,для уравнения (12.5).
Сформулируйте условия устойчивости и получитеоценки устойчивости по начальным данным и правой части.Задача 12.15. Исследуйте точность разностной схемы Дугласа—Рэкфорда+ Ак 'у = <р„,V А- 'уnwт+lУ.П+1/2У.+J4<V+,-yn) = 0тпри расщеплении (12.44), (12.45) для решения задачи (12.7)—(12.9).Задача 12.16. Рассмотрите проблему аппроксимации фаничных условийпри использовании схемы переменных направлений при численном решении задачи Коши для уравнения (12.7) с неоднородными граничнымиусловиями первого рода.12.4.
Задачи205Задача 12.17. Рассмотрим двухслойную разностную схему, которая имеетканонический вид2/"+1 ~ У"„В2 - + V = ¥>", t„£u>T,тгде оператор А имеет аддитивное представление (12.44) с постояннымиоператорами А^ ^ 0, а = 1,2. Факторизованная схема соответствуетвыбору оператора В в видеВ = B\Bi,гдеВа = Е + атА{а\а =1,2.Докажите, что при а > 0,5 схема безусловно устойчива и для решенияимеет место априорная оценка||В 2 у" + 1 |Н||Б 2 /|| + ^ф*||.1=0Задача 12.18. Исследуйте точность в Ь2(шн) локально-одномерной схемы(12.44), (12.45), (12.48) для задачи (12.7)—(12.9) на основе использованияпредставления для погрешности (12.49).Задача 12.19.
Получите априорные оценки устойчивости для локальноодномерной схемы с представлением правой части в виде (12.49) в равномерной норме (в Loofah))- Исследуйте сходимость в Ь^ш^) локальноодномерной схемы (12.44), (12.45), (12.48) для задачи (12.7)—(12.9).Задача 12.20. Для задачи (12.7)—(12.9) рассмотрите схему аддитивноусредненную локально-одномерную схему—+ А~ '{(тауаа=1,2,,+ (1 - аа)у ) = <ра,п = 0,1,...,2а=1Сформулируйте условия устойчивости и получите априорную оценкус расщепленными правыми частями (12.49).Литература[1] Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.:Наука, 1987.[2J Бахвалов Н.С., Лапин А. В., Чижонков Е.
В. Численные методы в задачах иупражнениях. М.: Высшая школа, 2000.[3] Березин И. С , Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Наука, 1966, т. Г,Физматгиз, 1962, т. 2.[4] Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука,1980.[5) Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука, 1987.[6] Гавурин М. К.
Лекции по методам вычислений. М.: Наука, 1971.[7] Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977.[8] Дробышевич В. И., Дымников В. П., Ривин Г. С. Задачи по вычислительнойматематике. М.: Наука, 1980.[9] Завьялов Ю. С , Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций.М.: Наука, 1980.(10] Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.[11] Коллатц Л., Альбрехт Ю.
Задачи по прикладной математике. М.: Мир, 1978.[ 12] Коновалов А. Н. Введение в вычислительные методы линейной алгебры. Новосибирск: Наука, 1993.[13] Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Вычислительные методы.М.: Наука, 1976, т. 1; 1977, т. 2.[14] Ляшко И.И., Макаров В.Л., Скоробогатько А. А. Методы вычислений. Киев:Высшая школа, 1977.[15] Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.[16] Марчук Г. И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988.[17] Марчук Г.
И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.:Наука, 1981.[18] Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальныхуравнений. М.: Наука, 1986.Литература207[19] Ортега Дж., Рейнбоддт В. Итерационные методы решения нелинейных системуравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975.[20] Сборник от задачи по числены методи. София: Наука и изкуство, 1986.[21] Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1997.[22] Самарский А. А.
Теория разностных схем. М.: Наука, 1989.[23] Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976.[24] Самарский А. А., Вабишевич П. Н. Аддитивные схемы для задач математической физики. М.: Наука, 1999.[25] Самарский А. А., Вабишевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. М.: Эдиториал УРСС, 1999.[26] Самарский А. А., Гулин А.
В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука,1973.[27] Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989.[28] Самарский А. А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.:Наука, 1978.[29] Сборник задач по методам вычислений. М.: Физматлит, 1994.[30] Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1979.[31] Стренг Г., Фикс Дж.
Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1980.[32] Сухарев А. Г., Тимохов А. В., Федоров В. В. Курс методов оптимизации. М.:Наука, 1986.[33] Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.:Наука, 1979.[34] Фаддеев Д. К., Фаддеева В. П. Вычислительные методы линейной алгебры. М.:Физматгиз, 1963.[35] Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
