С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Нззовем попрежнему высоту трубы 26 и направим вдоль линни симметрии координатную ось Ол, а перпендикулярно к ней — ось Оу. Для описания движения воспользуемся уравнениями (!.46), в которых отбросим массовые силы и члены, содержащие производные по времени, Кроме того, для упрощения уравнений заменим в левых частях, как зто делалось ранее, о, величиною ()ь где ()з †. срелняя скорость во входном сечении, а оу — нулем. Тогда для рассматрнваемо1'о течения получим саелующт.ю систему приближенных уравнений ()о -,)з до„ и,—," (6.81) до, — '+ — з=-0 до дз л —.
у Лт л' л' 1'1 =- —, и -.= — '"- — -з о = — ' -(У„' 61,' Риоз (6.82) где р„ — пос~оянное давление во входном сечения. Тогда уравнения (6,81) примут вид: / ди дР ~, дги с)ги й1 — + — 1=.— „+ — „, (дх1 длт! длг,) -"' ' до дР Т дго дго й( — + — ) — — +— (ол1 ду, г) д г дуг' 1 1 ди, с)о — + — =О. дз1 ду1 1) См., например, Н, В.
Ко ч н н, 11. А. К и бель и Н. В. Розе, Теоретическая гидромеханикз, ч. 11, 1948, стр. 401. Эти уравнения по типу аналогичны системе уравнений, предложенных Озееном для решения задач о медленном движении тел в вязкой жидкости 1), Положим, палее, для сокращения выкладок, что во входном сечении профиль продольных скоростей прямолинеен, т. е. что при л= 0 1 =()а.— сопз1. Это попущение, как мы вплели, не окз1ывзет существенного влияния иа предельный режим течения. Кроме того, будем считать, что во входном сечении имеется еще некоторая попеРечнап скоРость о„з(У); пРи жом п)зим~и, что фУнкциЯ о т(У) дважды дифференцируема и вместе со своими произвохньы1и лоптсьает разложение в ряды Фурье.
Приступая к решенво задачи, введем в (6.81) безразиерные переменные: 260 елзвптик ткчгнпя вязкой жидкости в тгквлх (гл. к! Пнтегрировать получеину!о систему нулем, опять пользуясь метолами операционного исчйсления. Переходя здесь от оригиналов к их изо !- ражениям по переменному л, и принимая во внимание формулы (3.05) и (3.06], а так ке ураяиенне неразрывности, будем иметь: р(ч(и+Р] и +р и+(ц]. до (!)(р '+у')= "+р"о — р! +р — — ры 1 дл! ]„=; рп+о'=О, и"'+(р! — рйр!' — ро" — (р! — ртй.ц = рФ (у,), (6.83) где до ~ Ф(у ) — ~ — — (р' — рй) — р— (6.83') Введем теперь функцию (ч полагая: и= о!', о= — рь, (6.84) Тем самым будет уловлетворено последнее из полученных ранее ) равнений.
Положим, далее, что Ф(у!) вследствие симметрии начальньж условий в сечении л = 0 мозкет быть представлена радон Фурье !): св Ф (у,) = ~ Ь! жп Акуи »=1 Прп эхом коэффицие!пы Ь» булут содержать параметр р, но так, что при р = 0 каждый из коэффициентов Ь» будет величиною нонечной или нулем. Под!тления юо выражение Ф(уй в (6.83) и переходя зам от п и и к Ь, придем окончательно к следуюгцему дифференциальному уравнению' ( !! +(Орт — РЯ) ("+(Р4 — Рз(с) 6 = Р ~ Ь! 3!п»яз!, (6 8!) »-.-! ') дт зр лположення, что Ф(у) — функция нечетная, можно отказаться. Это, каь показали расчеты, несколько удлиняет выкладки, цо ие меняет конечно!о результата.
гдс штрихи означают производные ио у!. Продифференцнруем теперь первое из полученных уравнений по уп а второе умножим почленно на — р. Тогла, сложив зги равенства, мы искл!очим Р и прилем к уравнению 18) пзУ!ение течения о помощью ИРПБлиженных УР-ний 261 эг = С! э!! ну!+с, си пут+. сз э!и ру -)-с сох ру + Р ~~ ~В» э(и Асут, » —.— ! (6.86) гле в,= Ь Л»к! — (2рл — ля)дгиз + 01! — 1 1(7) ' !6.86') лг — 011 ),з Для определения постоянных интегрирования обрзтимся н гртиичиым условиям.
В силу симметрии течения будем иметь и'=0 и и=О при у! = 0; ироме того, нз стенке, принимзя во внимание ооознзчеиие (6 82) для и, будем иметь: и = 0 и и= — 1. В реэультзте,учнтывзя (6.84), придем к следующим условиям лля Ь: при у!=0 4=0, г!"=0; при у!=1 у!=О, Ь'= — 1, Удовлетворяя этим условиям, получим: з!пр, зпл С! — — — И!ИВ'+ 1), С! — — (..РВ'+ 1) —, Сз = С! = О, (6,87) д где со з=лсйпз)п р — рли лсоьр, В'= ~нр ~( — 1)»ЛВ» »=! Таким образом, чнзчение у! булет определено. Принимая теперь но вииизнпе (6.84), найлом иэ (6.86): и = С! л с1! лу! +С!8! соз йрт+ гр ~ lгВ» соз А 0 !, (6.881 — о= С!р зй лу,+С П э)п ру!+рз ~Ч~ ЛВ» жп»кут, »=! тле С, к Сз опрелеляютсн рзвенствзми (!'.87).
Мы огрзничим наше исслеловзние отыскзниеи предельного ре- жима, т. е, знзченнй о, н о„при л ю. Для этого, кзк слелует из (3.11), лостзточио положить в прззых частях (688) 0=0. с(лены, содержащие суммы, как видно из (6.86'), при этом сразу обратщся г нули. Рзскрывая эзтем получающиеся неопределенности, что проще всего слелзть, ззмеиив тригонометрические и гиперболические фун- киин сш!тветствующими рялзмн, з лз его зизчеиием пз(6,86'), получим: (г) =и. = — (! — 3 !), (о), =-о „.
=О. э=з— 1!Нтегрируя полученное урзвнеиие, легко нзйдем, что его общее ре- шение имеет вил 262 Развитие тячБнця ВязкОЙ н нцкостц В тРуБАх (гл. Т! Переходя в первом равенстве с помошью (6.82) к размерным величинзм, найден окончательно; =- —., (7 (1 — ~— ,г — — 0 игу' (6.89) (6.90) до, до — + — *-.= 0.
ду дл (6.90') й(ы ограничиваемся рассмотрением приближбниого уравнекии (6.90), дагошего уточнение решения, апрелеляемого уравнением вила (6.37), так кзк предыдущие расчеты показали, что рассмотрение более полной по сравнению с (6.37) системы (6.8!) привозит к таким же результатам. При этом в (6.90) 1св — некоторое среднее значение компоненты и, вводимое яля линеаризацин уравнения. Нас булет интересовать определение с помошью уравнений (6.90) предельного режима течения в трубе при условии, что в начальном сечении л= 0 и = (сэ Рецгенне этой задачи нахолится Такой же результат в случае произвольного симметричного профиля продольных сноростей в сечении л = 0 легко получается тем путем, который был применен в и.
3 лля круглой трубы. Таким образом, приходим к следуюгцему вывозу; предельный режим течения в плоской трубе, определяемый в резултлате интегрирования системы приближенных уравнений (6.81), будесп параболическим при любом симмеслрично.к профиле продзлэнмх и поперечных скоростей в начальном сечении. Аналогичное заключение можно, очевидно, слелать н зля течения в круглой трубе. Все подученные ло снх пор результаты, устанавлнззюшие, что предельный режим течения в трубе будет параболическим, опрелелялись пттем интегрирования систеи уравнений вила (6.37) или (6,81).
Особенность этих уравнений состоит з том, что в основном уравнении, которое служит для определения продольной скорости, отброшен с целью упрощения член, солержашнй поперечную коипоненту. Это отбрасывание, хотя и оправдываемое тем, что поперечная составляющая скоростгг мала по сравнению с продольной, будет все же вносить в получземые результаты некоторую погрешность. С целью уяснить, хотя бы и очейь приближенно, влияние этой погрешности на предельный режим течения, сохрзнии в основном уравнении все инерционные члены, заменив поперечную компоненту, так же, как н вролольнуго, некоторым ее средним значением, Будем опять лля опрелеленности рассматривать течение в плоской трубе высоты 2И.
Для изучения течения обратимся к приближенным уравнениям вида (6.37), в которых учтем частично обв стоящих слева инерционных члена. Для случзя плоской трубы соответствующие уравнения будут: дав дов 1 йР дзов . (е — в+Ре — '=-- — — + — „.', да ду р йл дул ' 9 161 нзучкник ткчкнпя с помощью пзинлижйнных уг-ний 260 би 1 ир вен "о — = — — — +"— о1У Р Ыз НУз' Интегрируя это уравнение, найдбм: 1 Нр и=Се" — — — У-) С„ Р)'о "з Для опрелелення постоянных С, н Са имеем условия: я'и при У=Π— =О, при У=И п=О, о(у удовлетворяя которым, получим г 1/~ 1 ер ( „)à — — «т( и= — — ( — ( е' — е' ~+(И вЂ” у) ). (6.91) Р)'о "л оо Для опрелеления величины — обратимся к условию постоянства кр пл расходз, которое заменит нам уравнение (6.90').
Это условие лает: а (Ро» = и с(у. Подставляя сюда значение и иэ (6.91) и вычисляя ннтегрзл, будем иметь: у' за 1 — — =(тоИ вЂ”,(е" — 1/ — — е" +- Р('олз 1 Ф(, / (го 2~ о Введем, наконец, для сокрашения записей обозначении: оо во (уо иа — =й, У вЂ” = 10, И (6.92] Тогда, исключая с помощью прелыдушего равенства велнчину— др 4л так же, как и в прелыдушем случае, путем отыскания изображения и, и опрелеленни о„ как значения и при р = О. Однако гораздо проше тот же самый результат может быть получен, если для отыскания о„применить к урзвненню (6.90) одну иэ теорем, показанных проф. А. Н.
Тихоновыи для уравнений типа уравнения теплопроводности. Согласно этой теореме, если репаение уравнения (630) имеет при л ао прелельное значение о = и, то и будет решением обыкновенного дифференциального еээ уравнения ' 64 нлзп!ю не течения вязкой жплеостп в тгуьлх )гл. т! нз (6,91) и испо>!ьзуя обозначения (6.92), найдем окончательно следуя>шее эпсшепне предельной скорости течения в плоской трубе: "> ) (Е' — а) — (Еиж — чп!) ) и =н=(гзо(з 1) ч „т) (6.93) С>апов) сменно решение спшемы (6.96) дает о„= О.
Предельный режим течения, оиределяемь>й формулой [6.93), >лличаегси от результатов, которые лазали прельшушие решения тем, что алесь значение о.л зависит от параметра з, пропорционального введенной выше средней скорости Ь;, и числу Рейнольдса )Т, Прн малых значения! и находки нз (6.93), разлагая соответствтюшпе покзэзтельные ф)нкции в ряды: = -;; (>„~ 1 — нт! --- — „. (1 — 99 +-33 ) + ... ~ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
