С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Р. О. Кузьмин, Бесселевы функции. ОНТИ, !935, стр, 1!2. Из показанного следует, что ряд в правой части (6,51) равномерно сходится. Наконец, из формулы (6.51) находим 248 тьзвития твчвнпв вязкой жидкости в ттэвьх Лля решения задачи остается определить и. Из (6.54) следует, что т также является дробной функцией вида (3.16), удовлетворяющей условиям (3.17) и имеющей простой полюс в точке р=О. При этом полюсы функции р совпадают с полюсами функции Р, т. е. лежат в точках, определяемых равенствами (6А7). Слеловательно, значение р будет лаваться формулой (3.22), Принимая во внимание форъгулы (6.47) и (6Л8), а также то, что 1,(гх) = бе(х), получим: Ь; т1(Рь) = )е(14ьу) Ра/ (Рь) = 4 )о(Еа) Наконец, используя (6.49), найдем, деля и перемножая соответствуюнцне рялы: и ! /, 2 8 Х 1 — —, + ~ 2уя — + — ' х ) — + (.(р), э =17р (, з (е откуда 2 8 е1 = 2ут — — + — х.
8 й Заменяя теперь все входящие в (3.22) величины найденными выше значениями и используя равенство <6.47), получим: т Ь и=2уз — —,+ — х — 4т — е "У е ' (6.56) 8 ч 1 ~е() Ю и Подставляя это выражение и, а также определяемую формулой (6.50) величину Р в (6.55) и переходя с помощью (6.38) к размерным величинам, вайдам окончательно следующий закон распределения скоростей в трубе: () ), Можно показать, что з (6.57) действительно выполняется условие о,= С/„при я=О; тем самым будет доказана и равномерная сходимость ряда (6.57). Однако чы не приводим здесь соответствующих выкладок, так как этот результат будет получен как частный случай из более общего доказательствз, данного в конце п. 3.
Заметим, наконец, что при з оо формула (6.57) переходит в (2.23). Таким образом, мы уоеждаемся, что закон 8 18) изтчзнии тнчнипя с помошьго пнивлижйнных кг-иий 847 распределения скоростей и давлений в трубе, определяемый формулами (6.51) и (6.57), действительно дайт в пределе при х - со параболический режим течения. Чтобы нагляднее представить картину развития течеши в трубе, на фнг. 39 показаны профили скоростей в разлп шых 0 007 о04 000 о(0 000 оуа ой ав Фяг.
39. сечениях, вычисленные по формуле (6.57). Качественно картина течения полностью совпадает с той, которая была получена экспериментально Никурадзе. Сравнение количественных г Ц Я 7.0 0 (0 (О 0 0Ы 00я 000 000 000 00 0н 06 РД Фнг. 40. результатов удобнее произвести с помогдшо графиков, изображенных на фиг. 40. Как видим, полученные кривые дакии достаточно хорошее совпадение с данными эксперимента на всей длине начального участка. Сопоставление расчетных кривых, показанных на фпг. 40, с расчетными крпвыни, данными зля Развитие течения вязкой ж!!дкосж! В тРуБАх (гл.
ч! на фиг. 3,т, 36 и 38, показывает, что формула (6.57) дает для всего начального участка в !юлом картину распределения скоростей, более близкую к данным эксперимента, чем это аа!от расчбты, изложенные в й 17. Определим я заключение с помощью формулы (6.57) длину начального участка. Г1олагая в (6,57) с=О и сохрзняя в стоящей справа сумме одно лишь первое слагаемое, так как величины Раа РастУт очень быстРо, полУчим дла осевой скоРости следующее приближенное вырзжение: ! ~оба)~ l ' где !м —— 5,136. Требун, по принягому ранее условию, чтобы при второе слагаемое в фигурной скобке равнялось 0,01, найдем отсюда для длины начального участка значение У.
= О, 16 тт ге. (6.58) для определенна степени точности пролеланио!о расчвта заметил!, по первое из отброшенных в (б.5?) слагаемых ирн «=Ебулет равно 0,000083. Очеаилно, зтнн слагаемым можно вполнепренебречь, поскольку в вырам<еннн о,з второе слагаемое в Фигурной скобке равно 0,01. Формула (6.58) дзет величину Л, довольно близкую к эксперпментзльной.
Из (6.58), в частности, следует, что при гс = 1000 дтиьп !шчально!о участка равна 80 диаметрам трубы. С уменьшением К длина начального участка убывает. 2. Развитие линейного профиля скоростей в плоской трубе. Приближенные уравнения, зналоп!чные тем, которые рассматривались в п. 1, могут быть составлены и прои!мегри- рованы п дли случая течения в плоской трубе, т. е. между двумя неограниченными в одном направлении параллельными плоскостями. Пусть расстояние между рассматриваемыми илоскостямп равно 23, Тогда, если поместить начало отсчета в пентре входного сечении и направить ось Оя вдоль трубы, а ось ОР перпендикулярно плоскостям, то для определения закона распределения скоростей и давлений в плоской трубе можно !8] изучение течения с ПОМОЩЬЮ пРИБЛИЖЕННых уР-Нпй 249. получить следу!ощие формулы '): '(и „ ! ' 2~ ', Ни и=! Ти (6 59) ! У=', ~1=,';') 2~'.
еГЗ Р Ро= Р('о ~ (о о~ (о!! где ч — последовательные корни >равнения !й х=х. Из (6.59) видно, что прн г Оо это решение лает парзболическнй реоким течения, определяемый формулаиш (2.14) и (2.15). Повторяя те же рассуждения, что и при получении формулы (6.57), найлем из (6.58) для длины начального учасгка в плоской трубе значение 5 — 0,18 АК, (6.60) где )т даатся равенством (6.34).
Величина, определяемая формулой (6.60), оказывается примерно на 80о(о больше той, которую дабт (6.36!. Отсутс~вие экспериментальных данных не позволяет установить, какое пз эы!х значений ближе к истинному, однако сравнение соответствующих решений для круглой трубы даат основание считать формулу (6,60) более верной. 3. Развитие произвольного профиля скоростей в круглой трубе. Решение зсшачи о развитии линейного профиля скоростей в круглой трубе, рассмотренное в п, 1, легко обобщается на счучай произвольного профиля Рассмотрим опять течение в круглой трубе радиуса К и пололшм, что поступающая в трубу хгндкость имеет во входном сечении е=0 некоторый напербд ззданный произвольный г осесимметрнчный профиль скоростей (У(иб, где ! = —.
Допустим далее, что функция ~/(у) может быть разложена в ряд !) Решение втой аааачв, вполне ана !Оп!чное решению лля нруглой труби!, нами не приводится. Ниже, в 8 20, формулы (6.59) буауг получены предельным переходом нэ решения задачи о течение а плоском диффузоре. 230 РАВВитие течения ВязкОЙ жидкости В тРувах (гл.у! Фурье-Бесселя и что зто разложение имеет вид: и(!) = и„ф(у), (6.61) ф (у) = 1+ ч, Ь, (дв (а„у) — дг (а„)), (6.61') где а„— последовательные корни уравнения 3,(х]=О, а (>„— постоянные коэффициенты разложения ').
Что касается величины и„то она при выборе ф(у) в виде (6.61') будет равна средней по расходу скорости во входном сечении трубы. Лействп тельно, расход во входном сечении равен: ! !.! =2игсгио ~ ф (у) уду. (>одставляя сюда ф из (6.61') и вычисляя интеграл, получим: Е2 =п(сгие, откуда О и„= —,= и,. яйм Тогда уравнение (6.37) примет нид: дги 1 ди (ди дР ~ дуг у ду ~дх дх / — + — — =- А>1 — + — 1 — Р(у), (6.63) где Р (у) — — + — — — — ~чР Ь„аг Ло (а.у) (6.63 ) дг4 1 д(> Уравнение же (6.37') преобразуется попрежнему в (6.30').
Легко убедиться, что граничные условия в рассматриваемой задаче сохранят вид (6.40) и (6,40'), кроме условия (6.40') для и, которое теперь будет; ирн х)О н у=О и= — ы!(1)= — ф,. (6.64) !) Значения а„можно найти, как указывалось, в цитированных нз стр. 101 таблицах Л. А. Л>остерника и др. По поводу же определения коэффициентов Ь„см. Р. О.
К у а ь и и н, стр. 126. Для нахождения закона течения в трубе обратимся опвть к уравнениям (6.37) и введем новые переменные, которые Все, кроме и, будут иметь значения (6.38), а и будет: и ! — Вр (у) (6.62) ио 3 18) изхчянпв твчянпя с помощью пгнвлижянных хг-иий 2Ы При этом, как видно из (6.61'), Ф1=1 ~3.3х(а,) Р Таким образом, рассматриваемая задача сводится к интегрированию системы уравнений (6.63) и (6.39') при граничных условиях (6.40) и (6.64).
Лля решения ед опять воспользуемся методами операционного исчисления. Так как расчдты здесь во многом аналогичны тем, которые встречались в п. 1, то в некоторых случаях промежуточные выкладки будем опускать, Переходя в (6.63) от оригиналов к их изображениям пах, получим уравнение й1л у Иу — "+ — —" — рйи=рйР— Р(у) (6.63) общее решение которого будет: и =С,1,(пу)+СхКа(лу)+ и„ (6.66) где и имеет значение (6,42). Частное решение и, будем искать в виде: и, = ~чР А„3, (а„у) + В, где А, н В в подлежащие определению постоянные коэффициенты.
Подставляя это значение и, в (6.66) и заменяя там одновременно Г(н) выражением (6.63'), будем нметгс ~с'., — (а„'+ пх) А„Ла (алУ) — Р й В =РйР+ ~ лаЛ„(аУ). т Отсюда, приравнивая соответствующие коэффициенты в левой и правой части, найдвм: а яч А„= — „" ', В= — Р. а; -(-па В результате общее решение (6.66) примет впд: Ь.,я; и=С 1 (у)+С К ( у) — 1„х ' ' 3а(а,Зу) — Р.
252 Развитие те'и:ния вязкой жидкости В тРуБАх (гл. \Г1 Так как скорость на оси трубы конечна, то в полученном выражении следует положить Са = О, Определяя теперь зиа1ение С, с помощшо условия (6.64), найдем окончательно. 1 (лу) - ч-ч ад и=(Р ф ) а ' Р У „За(п„у) ° (6,67) (а(н) а--)-иа Перейдем к определеи1ио Р. Второе из уравнений нашен системы после перехода от оригиналов к изображениям примет вид (6.41') и ириведйт опять к соотношению (6.44). Подставляя в (6.44) значсш1е и из (6.67) и вычисляи интеграл, получим: :(Р— ф1) — ' — Р— 2 Ра .," — ',)1(а,)=О и 1 1„(л) а", -1-па Принимая теперь во внимание равенство (6.45), а также то, и что: Л1 (и.,) = )1(п), так как Оа(а,) = О, найдем окончаа, тельно, заменяя л значением (6.42): з ат " 7'~я 11 ПУдй) 11 (у'"ВВ ) „а'„-'-(-ря ™ или Р— Ра+ ч~Р Р, (6.68') где смысл введйнных в (6.68') ооозначеннй очевиден.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
