С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 39
Текст из файла (страница 39)
2). 4. Расчет начального участка в плоской трубе. Расчет начзльного ушсткз в плоской трубе с помощью методов теории пограничного слоя был ниереые произведен акад. Л. С, Лейбензоном з). Рассмотрим течение в начальном участке 6 См. ~ною у з) из стр. 233. Аналогичный расчет зля плоской трубы был ранее ирои)везбн Шлихтингом (11. Я с Ь1! с И ! ! и Гь Еейзспг. !аг зпсетг. Гйайь ипи л1есь., т. 14, !934).
з) Л. С. Лейбензон, руководство по нефтеиромысловой механике, ч. 1, Гидравлика. ГНТ1!, !931, стр. 33. 6 17) пгиялиженные ° >гголы РАсчьтх 239 плоской трубы ширины (> и высоты 2А и будем иопрежнему исхолить из изложенной выше схемы рззлеленпя потока нз ядро течения и погрзничный слой, Обозно пш скорость во входном сечении Уо, скорость в ялре течения (>, з в погрзничном слое о,, причем будем опять полагать, что о, определяется формулой (6.2\). В конке начального учзсткз ре.ким течения переходит в параболический, определяемый формулой (2 14), При этом буде« -= »>, а (l= †„ Со и формула (0.21), тзк кзк при принятых оГ>о;нзчениях х= й — у действительно примет вил (2.14).
Перейдем к изложению расчета, дзнного акад, Л. С. Лейбензоном. Из условия постоянство рзсходл в любом сечении будем иметь: Р= 2(>й» (ро — 7>) = 7>1»о (Уз — (уо), й>=2(> ~ 1» (~ — *) >Уз=4(>й ~ —, г»з, о о й>',) =2Р(> ~(7» — 3) бм+ ~ о.а(х — й0о) о =~~И ~й — (7~ — — 'и-" — '1. 15 л)' Заменяя здесь >' значением 16.32) и подставляя все эти величины в (6.24), мы, взяв от обеих частей равенства производные по г, получим г>кончательно следу>ощее дифференцизльное уравнение: »я 191 ц йз) Ц' — =Л9 — 16 о+ 7 з(', (.> ~Я ти (6.33) 2Г)о(>7>=2(Л> (й — 6)+29 ) о,>тх. о Заменяя здесь величину о, ее значением из (6.21) и вычисляя интеграл, найлем окончательно: —, =3 (1 — —,",)) .
(6.32) Применим теперь теорему о коли >естве движения, вырзжземую урзвнением (6.24). В лзнном случае будет: 24О глзвитпа течения вязкой жидкости в >ггьлх 1г». щ где 16.34) !!нтегрируя уравнение 16.33) и удовлетворяя условию ЕГ= Ега при з == О, нзйдсм следую>иую зависимость между Е> и — — 9 — — Ч вЂ” — 1,6!и — — 2) . (6.35) 3 !' и иа и лп )о >, и„ег ' е> Отск>да, с поиощью (6.32) можно найти закон нарастания толщины погрзничного слоя, а используя уравнение Бернулли, определить закон изменения давления в из юльном участке плоской трубы.
3 Полагая в правой части 16.35) ЕГ= — — Е>а, получим для длины нзчзльюпо участка Е в плоской трубе значение Е = 0,103 Лгт. (6.36) Таким образом, все характеристики течения в начальном участке плоской труб>ы оказывая>тся найденными. Уточненный расчет пограничного слоя в начальном участке плоской трубы связан, как и в слу же круглой трубы, с довольно гро>к>здкимп вычислениями 1см. первую сноску на стр.
238). Лля >плыл г этот расчет производится с помощью численного метода, изложенного в й 11, а дате>> решение распространяется на ббльшие значения г по методу Буссинеа<а. 11олучаемые графики изменения скорости те'>ения в начальном участке носят качественно тот же характер, что и для круглой труг>ы. й 18.
Изучение развития течения жидкости в трубе с помощью приближенных уравнений движения. 1, Развитие линейного профиля око,остей в круглой .трубе. Приближенные методы расчета течения в начальном участке, изложенные в предыдущем параграфе, име>от ту особенность, что при построении каждого нз них приходится делзть наперад некоторые предположения о характере течения. Тзк, в методе Буссинеска наперед полагается, что течение должно в пределе перейти в параболическое; в методах теории пограничного слоя наперед предполагается, что течение в начальном участке раз еляется на потенциальное в ядре э 18) изрчение течения с помощькз приглижйнньж УР-ний 241 течения и на пограничный слой. При этом, кзк и следует ожидать, решение, лзваемое первым методом, хорошо соглзсуется с опытными данными нз достзточном удалении от входного сечения и лает знзчптельные неточности близ входя в трубу.
Наоборот, метод, основзнный нз теории пограничного слоя, дайт хорошее согласие с опытом в сечениях, близких к начальному, и приводит к значительным расхождениям с опытом на большом удалении от входа. Уточнение расчетз погрзннчного слоя в начальном участке трубы с помощью численных методов приволит к очень громоздким рзсчетам и ио существу не меняет результзтз. Ниже излагается другой метод решения задачи о рззвитии течения в круглой трубе, основзнный нз использовании приближенных урзвнений движения вязкой жилкостп, в которых, подобно тому, кзк это делалось в параграфах 13, 14 и 16, производится чзстичный учет как членов, ззвисяншх от вязкости, так и инерционных членов. Чтобы упростить выкладки, рассмотрим внзчзле задачу о развитии линейного профиля скоростей, которая являлзсь предметом исследовзния и н прельшущем параграфе.
Пусть опять в круглой неогрзниченной в одном иапрзвлснии трубе радиуса Я происходит лзхшнзрное течение вязкой жидкости, причвм во входном сечении жидкость имеет всюду постояннучо скорость ст . Выберем ту же систему цилиндрических координат, что н в и. 2 8 17, и воспользуемся урзвнениями движения (6.05), в которых уже произведен частичный учйт вязких членов, тзк кзк отброшена вторая произволнзя от пт по г, Произведем дальнейшее упрощение уравнения (6.05).
Прежде всего, считая п,(<пы положим в левой чзсти урзвнения и, = О. Кроме того, допустим, что в коэффициенте при дскб — * можно приближенно принять и, = (7, где (7 — некоторая д харзктерная для каждого сечения скорость, В рзссхшгривзе. мом случае естественно положить (7=(ум так кзк (уз является олновременно средней по расходу скоростькз в любом сечении, Тогдз уравнения (6.05) примут вил: (6.37) др, ! д (грр — ' + — — '-=О. дз г дг 18 С, М. тарг елзвнтив твчвнпя вязкой жидкости в таянах (гл. ш 742 Прп этом в (6.37) принято во внимание условие (6.05").
Введем новые переменные, полагая г У=й (6.38) У вЂ” Уо =, иог где Р, — давление во входном сечении, Тогда уравнения (6.37) примут вид: ди 1 д(уо) дх у ду —.+ — — = о, (6.39') где гс дается формулой (6.09). Из условий прилипания жидкости к стенкам трубы, принимая одновременно во внимание симметрию течения, получим для рассматриваемой задачи следующие граничные условия: при х=О и=О, Р=О; (6.40) при х уО н у=1 и= — 1, и=О; ( при х ь 0 и 1 = 0 и = О.
6. 40' (6.39) дгй 1 дй дуо у ду — + — — — р)си = росР, Ри+ — =О, 1 «(у3) у ду (6.41) (6.41') где р — комплексный параметр преобразования. При этом, так как преобразование от постоянной величины равно ей самой, граничные условия для л и о сохраня~ нид (6.40'). Уравнение (6.41), взятое без правой части, имеет, как известно, своимп линейно независимыми решениями цилиндрические функции от мнимого аргумента 1о (лу) и Ко(лу). Ча- Решение системы уравнений (6.39) при условиях (6.40) будем строить, используя методы операционного исчисления, основные сведения о котором были даны в 9 7. Для этого перейдем в (6.39) от оригиналов и, тг я Р к их изображениям ио переменному х. Тогда, принимая во внимание условия (6.40) и формулы (3.05'), (3.06') и (3.07'), получим: 18) изхчвнив течения с поносные пеиилижйнных ие-ний 243 стное же решение неоднородного уравнения равно, как легко видеть, — Р.
Тогда общее решение уравнения (6.41) будет. и =С!,(пу)+С,Кя (пу) — Р, причем р и и связаны зависимостью р(7 =л', (6.45) (6 42) ' Так как К,(0» = оо, а скорость течения на оси трубы должна быть конечна, то следует положить С,=О. Определяя теперь С, из условия (6.40') для и, найдем окончательно: (6.43) Для определения Р умножим обе части уравнения (6.41') на у гг'у и проинтегрируем по у в прелелах от 0 до 1. Тогда, принимая во внимание условия (6.40') для о, получим: 1 ( ау ггу= О. (6.44» Подставляя в (6.44) значение и пз (6.43) и вычисляя интеграл, нийдам: и = (Р— 1) — — Р=О. 2 - !г(п) (я(п) Но так как 11 (л) = !я (л) (я (л) и то окончательно, принимая во внимание (6.42), получим.
1 Э'р(е) ( О» (6.46) р'вй 1, (р"зй» Г. ф» Зная теперь нзобра кения и и Р, перейдем к определеш1ю их оригиналов и н Р. Из (6.46) видно, что Р представляет собою дробную функцшо вида (3.16), удовлетворяющую условиям (3.17) и имеющую в точке р=О простой полюс. В последнем легко убедиться с помощью приведенных ниже рядов (6,49). Следовательно, оригинал Р будет даваться формулой (3.22). Обозначим через ря (й=1,2,...) последовательные корни уравнения д (х)=0'), где Яя — функция, связанная с 1 '» Все эти корни являются дейстаительиыии н простыми. Значения их можно найти в кинге: Г.
Н. Ватсон, Теорня бесселевых функций, ч. В, изл. иностр. лиг„1040, стр. !О!. 244 влввитив течения валкой н пакости в твхвхх (гл, т равенством 1, (х) = — Лх (гх). Тогда легко видеть, что полюсы функции Р или, что то же, нули функции /г(р) лежат в точках, где )лл — — — у (1=1, 2,...), )л (6.47) Найдем выражения, нходяшие н формулу (3.22). Прежде всего имеем; /, (р,) = — 21, (ф'у,Я). 7(елее, так как 2 ! (х) =1, (х) —: 1, (х), (6.48) то будет: у.'(р„) =„-"„1)'я )а()'й)) ь — м =-.' 1,(У~д).
Отсюда, принимая во внимание (6.47), полушш; )т га) (),г) сл) Наконец, польз>ясь разложениями: с4Г а"" (,")"" л! + 11(л+ 1)1 + 21 (л -(-2)1 + ' ' (л = О, 1, 2,... ), (6.49) найдалц иереллножая и дечя почлснно соответствующие ряды: где Е (р) — регулярная часть ряда. Отседа, сравнивая с (3.20), находим; 71 лг (х) = — ) — + — х) .
13 (т Подставляя теперь полученные выше значения ул(рл), (а„Яр„) н х, в (3.22) и используя равенство (6.47), будем иметь: Р= — ' — х+ —, — 4 ~~~~~ —., а н ~ . (6.36) ~ й 3 18] изтчкипк тьчкнин с помощью пгиклижкнных тг-инй 245 Переходя здесь с помощью (6.38) к размерным величинам, найдем окончательно следующий закон распределении лавлений вдоль оси трубы.
со Как — — — — — 4'~' — в и и (6.51) е Легко проверить, что в (6.51) при к =0 будем иметь п=п, таи как') ! ! (6 бч) г 12' что совпадает с выра!пением (2.24). Таким образом, решение (6.51) дает распределение лавлений вдоль оси трубы, совпадающее в пределе при г оо с распределением, соответствующим параболическому режиму течения. Перейдем теперь к определению закона распределения скоростей в трубе. Имея выражение (6.50), можно определять и из (6.43) с помощью формулы (3.09), Однако при атом выражение и будет дано двойным рядом, что усло книг последующие числеш!ые расчеты, Поэтому найдем л непосредственно из (6,43) тем же путйм, каким было определено Р Пользуись соотношениями (6.45) и (6.46), представим выражение (6.43) в виде. (бд53) где )к()' Р!т! ! /! !Р) 1, !)г вй! /к(В! ' Тогда, очевнлно, будет: (6.54) и= — м — Р. (6.55) !! См.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
