С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 34
Текст из файла (страница 34)
йе "Ег1(г1) + 1 — -е ь+ г 2 +: е — то -(- и (2т1з + 1) -'— 200 неустановившееся течвние в иогганичиом слОе [гл и Решение во втором приближении (5,12) даат возможность определить положение точки отрыва пограничного слоя, Приниман опять за условие отрыва (4.03), найдем, что в точке дох отрыва должно быть —."= 0 при т = О. Подставляя сюда дс знзчение ех из (5.12), получим уравнение (5.13) позволяющее определить в первом приближении момент, в который наступит отрыв в каждой данной точке контура, или место, в котором наступит отрыв в каждый данный момент. Из (5.13) видно, что отрыв имеет место только в той области, где ии Иl сСх — (О, и наступает прежде все~о там, где велпчина —— и'х получает наибольшее значение. Поозначая через г, время, по истечении которого происходит начальный отрыв, найдем из (5.13) 0 70ч (5,!4) их!п~п Пользуясь третьим приближением лля пх, прп котором выражение пх в форме ряда (5.04) сохраняет три первых члена разложения, можно получить более точное уравнение для определения условия отрыва в виде: 1 их ' ! ' ~йх) — = — 0,7122 — + (0,7271 ( —, + 0,059750 — „! .
(5.15) Нхз! 11з (5.15) следует, по начальный отрыв произойдет в точке, ну где — — имеет максимум лишь в том случае, если в злой и'х точке одновременно будет Сl= О. Рассмотрим в качестве примера случай обтекания к р у гл о г о ц и л и н д р з. При безотрывном обтекании будем иметь, как известно, следующий закон распределения скоростей на поверкности цилиндра: 77= 2С/з з!и — ' л ' где а — радиус цилиндра, а У,— скорость его поступательного движения.
$15) пгивлпжйнноя шюггюиовльия х лвняний движяшш 20? Начальный отрыв в данном случае н по первому п по второму' приближению будет получаться в задней критической точке. Подставляя значение 6Г из )5.16) в )5.14) и )5.15), найдем для !г в первом и втором приближении значения. )) '= 0,35 — "., гг '= — 0,32 — ", [5,! 7) 1, =- 0,39 —,, )5.! 8) бо гле и — радиус шара. ') Си, Ц'. Т о)1ю1е и, НаиИЬиси д. Ехрег!гиен!а1риузйп т. 1!г, ч, 1, 1931, стр.
274. г) См. Аэродинамика, т. Ш. Оборонгнз, 1939, стр. 120 — !22. Значение 1, во втором приближении примерно на 9",,ге меньше, чем в первом. гт!! Заметим, что величина — — не зсегла имеет нзибопьтее зналх ченис в задней критической точке. Так, для эллиптических шинках 3 дров, у которых — ) — 1а — большая полуось, З вЂ” малая) и которые ат расположены так, что нх малая ось направлена вдоль потока, отрыв начинается не в задней критической точке, а в некоторых двух точках, снмметричныт относительно малой оси.
С увеличением отнои шенка — точки начального отрыва прибюокюотся к копнам голышей ~> осн, а время П убывает '). !г!ы ограничилпсь здесь рассмотрением слу юя п.леско-пзраллельного течения. Распространение того з с метода на случай обтекания тел вращения было дано Вольтпе з). Идея расчета ос~зется при этом той же самой с той лишь разницей, что уравнение неразрывности вместо )4.08') должно быть взято в зиле (4.19"), Само решение, в котором т, представляется в виве ряда, аналогичного )5.04) с сохранением первых трах членов, нами воспроизводиться не будет по причине его зиа штельной сложности и громоздкости.
Соответствующий расчет даат в случае обтекзния шзрз картину развития пограничного слоя, аналогичную той, которая получается для круглого цилиндра. В юстности, начальный отрыв на шаре происходит также в задней критической точке по истечении промежутка времени 203 нвтстлновив1иенся твчРнпе В погглничное! слое 1!л.
У Картина нарастания толщины пограничного слоя на шаре получается аналогичной той, которая дана ни1ке (см. фи1. 33) лля случая обтекания цилинлра. Отметим в заключение, что решение задачи о развитии пограничного слоя, рассмотренное выше, пригодно лишь для доста1очно малого начального иериола движения и не позволяет, полагая Г со, осупгесчвпть предельный переход к соответству1ощсй стационарной за;шче.
2. Развитие пограничного слоя при равноускоренном движении. Рассмотрим теперь задачу о развитии плоско-параллельного пограничного слоя на ц:1линдрическом теле, которое начинает двигаться н 11аловязкой жидкости из состояния покоя равноускоренно. Полож1щ, что распределение скоростей нз грзнпце внешнего потенциального потока нам известно и представлено в виде: У(х, г) =11Р'(х). (5.1 О) — '+О "— '+о — '= — У'-1-РЮ вЂ” +э Ех (5 20) дг "дх У д1 ' дх днз Введем опять переменное тн определяемое равенством (5.01), и функцию токз ф(х, т1, (). Положим, что для мзлых значений ( эта функция может быть также представлена в виде ряда, аналогичного (5,03): ф = 2 РР Й ~1(тр1(т1) (+ 1à — рз (т1) (а+ 1 (5 2!) При этом в (5.21) величины А (х), А, (х) заменены пх знзчениямп пз (5.06), а (/ — выражением (5.19).
Иэ (5.21) с помощью (5.02) накопим: д (Р' т1 = (х'м1 г — 1- )с' — эт (з-(-. 11Х (5.22) о = — 2 И Р1 (™д э1(+ ~ )Р' — + ( — ) ~ е„.Р +...,. (5.22 ) Подставляя это значение в (4.08), получим в данном случае слепующее уравнение лвижения вязкой жидкости н пограничном слое: В 15 пгивлижвиноз интвггпговаиив ггавнвний движения 201 Подставляя эти значения в (5,20) и требуя, чтобы уравнение (5.20) удовлетворялось при любом г, получим для определения а (т1) слелующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений; и/," + 2ц~', — 4а', + 4 = О, 9з + 2Ц',+ 12Т~т= 4(р,' — р~'а~ — 1) 2 ~р~ = — 2г~а+: ге "+ (! + 2т1а) Ег( (и~). (5.24) Тогда, ограничиваясь в разложении (5.21) одним первым членом, получим лля о, в первом приближении значение: т~, = Юа' о (5,25) Расчет второго приближения оказываетсв уже лостаточно громозлким. Мы ограничимся предстзвлением графика определяемой при этом функиин Р )фиг.
32; там же показана и зависимость р,'(и), определяемая формулой <5.24)!. ((уу/ Второе приближение дает сле- 01 дующее уравнение, которому лол- (~г (т/ жны уловлятворять время и место отрыва пограничного слоя.' 2,34+ — га = О. (5.26) л'(г сУх Р Ла (а !б у Фиг. 32. Последукашее приближение, рассчитанное Блазиусом, лайт уравнение лля определения места и иремени отрыва в виде: 1+0,427 — и„. Га — ~0,026(~ ) +0,010%' — „,~1'=О. (5.27) 14 с. м. гваг Граничные условия для еь будут прн этом такие же, кзк для /а в (5 08); для Фа — такие же, как для /, и т.
д Интегрируя первое пз уравнений (5,23) и удовлетворяя соответствующим граничным условиям, найдем: 210 неустАнОВПВшееся течение н ПОГРАнпчном слое (Гл. Время начально~о отрыва опрелеляется из (5.26) или (5.27) так же, как и в случае, рассмотренном в п. 1 В частности, при обтекании круглого цилиндра радиуса а находим, что начальный отрыв происходит я задней критической точке.
Для времени (> нзчального отрыва получаем из 5.26) и (5.27) в первом и втором приближениях значения ( (5.28) г~> '= 1,02 1/г— г ~О где 11'„— ускорение поступательного движения цилиндра. Оо>ответственно путь, проходимый ш>линдром за время до возникновения начачьного отрыва, рзвен в первом и втором приближении 0,585а и 0,52а. Сравнивая эти величины с >емп, которые лают равенства (5.17), замечаеч, что при рзвноускоренном движении цилиндр успеет пройти до момента начала отрыва в задней критической точке расстояние примерно в 1,6 раза большее, чем в случае движения, начинающегося из состояния покоя мгновенно.
ф 16. Приближенные уравнения иеустановившегося течения жидкости в пограничном слое и их интегрирование. 1. Приближенные уравнении плоско-параллельного течения и их интегрирование. Изложенный выше приближднный расчет развития пограничного слоя со временем связан, как мы видели, с достаточно громоздкими вычислениями и дает решение, справедливое лишь для достаточно малых значений г. Значительно более простое решение можно получить, если заменить уравнение(4.08) приближенным уравнением,аналоп>чным тому, которое рзссмзтрпвалось в 6 13, и распространить изложенный тач метод решения на случай неустановиншегося течении. Определяемое таю>м путем приближенное решение обладает тем преимуществом, что дадт в конечном виде результат, годный для любого момента времени > и в пределе при >†со переходит в решение соответствующей стационарной задачи Перехоля к иолученшо приближенных уравнений движеш>я, заметим прежде всего, что уравнение (4.08) может быть пред- $ 16) пгпвлижвнныв углвнвнпя и нх интвггнговлнив 2!! ставлено в впле я —,' + У+ ш/' = тд„ (5.29) гле аналопшно (4.60') У дол дед до ( до о+о х д ло(у Ш "дх ду,) дх о (5.
29') Прн этом в (5.29) и всюду ниже точка означает частную производную по (, а штрих — частну!о производную по х. Введйм опять переменное г = †, где 3 в толщина пограу пичного слоя, и примем, искодя пз допущения, изложенного в начале ф 13, что уравнение (5.29) можно заменить прнблпжйнным урзвнением '"; = —" ( — (у — ии + ю„). дг! (5. 30) Входящее в (5.30) значение тд„попс штаем с помощью (5.29'), прпниман опять для о„значение (4.63), где ~олько теперь будет У=У(х, !). Тогда, замечая, что в рассматриваемом случае 3 = ;(х, () и, следовательно, у., — = — — — „о' = — г) —, дх о' о до гк иайдзог после соответству!ощпх полсчетов: о о тд„= 2 (3т! — т!о) — —,, 0(4 — 4о) —. + о + — „(134' — 3т'+го) — — Уо —,(6п' — Уг'+йо).
(5.31) 14о Подставляя найденное значение в„в (5.30), проинтегрируем это уравнение дважды по тп удовлетворяя одновременно условиям: — „=0 прп г!=1 и т~ =0 прп в=О. Тогда, вводя дч х одновременно величину .", определяемую равенством (4.45), найдЕм окончательно закон распределения скоростей в погра- 212 нягстлновпвшввся тячинни в погглничном слов (гл. я ничиом слое в виде ( + —. (пс ( — 'т — 3т'+ —; т1' — — '+,—. + !б (, 35 ' ' 2 1О 56,) +-;о Еl 1 —.т> — —,, + —,- т,' — — )1, (5,32) 32 ' (,33 2 30 ' бб ) Наконец, используя условие и„=-У при т~ — — 1, получим из (5.321 следующее уравнение н частных производных для определенна „" пли, что то же, е: гл-и+С вЂ” '+ (п0'+т — ) ~=А, (5.33) где в=2,33, л=5,64, 5=23,27.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
