С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Полстлвляя в (4,82') знзченпя и„ и, тй и В из (4,84) и (4,86). придем после вычисления интегралов к урзвнениям: 194 Установившееся течения е погглничном слОе [гл. 1ч Такил~ образои, залача оказывается решйнной до конца. Определим теперь момент снл трения, действующих иа лиск. Учитывая трение с обеих сторон диска и принимая во внимание (4.84), будем иметь для величины М выражение я А4=4п)е ~ гав с( =пцй~ ~ й 1 . (4.88) о ,и 9прК а 1,80)7 1, р,,„,т (4.88') зв Введем в рассмотрение безразмерный коэффициент момента сил трения, определяемый равенством: См,= ", (4.89) г™оьм Тогда будем иметь: 1,80 с„,=(,8о 1г А.
ма ь'й (4.90) где 02ЫО К=в т (4.91) — параметр Рейнольдса для рассматриваемого движения, Упоминавшееся выше приближенное решение Кармана, получение которого связано с более длинными расчетами, дает Смг )Угт = 1,84, что практически совпадает с (4.90). Весьма трудоемкое уточненное решение Кокрена, требующее численного интегрирования системы нелинейных уравнений и состав- леши таблип вводимых при этом функций, даат С г(~ гс = 1,935. Результат, определяемый формулой (4.90), отличается от Уточнйнного Решениа всего на 7а/а.
СРавнение с экспеРимептои (фиг. 31) показывает, что определяемое теоретическим расчетом значение С является несколько преуменьшенным '). Это, повидимому, объясняется тем, что теоретическое решение не учитывает влияния концевого эффекта. ') ооответству1ощне эксперименты ирсжзволнлись Кемифом. О.
К е ~и р 1, Чог!г. аиа б. ОеЬ. б. Н)т(го- ипй Аегобупашйц 1924, гтр.! бй. ПодставлЯЯ сюда значение Ут из (4.86), а зател~ значение а, ич (4.87), - ." в 141 погганпчный слой на вгащающамся диска 198 Следует име~ь в виду, что все полученные результаты будут справедливы только для ламинарного режима, т. е., как видно из фиг. 31, приблизительно для К -- !О'. При гс м 10а пограничный слой у краев диска ста- г45 новится турбулентным.
В заключение отме- — (55 тим, что полученное м решение может быть (65 уточнено следующим образом. Обратимся ко 175 второму пз полных урзвненпй движения (1.47), йу хв ряг»м М Уй которое служит для ! ',. ° ь (6! 16 ум определения в,. Отбро- -(55 9 Тура рвем сим в прзвой части этого уравнения все члены, содернгащие производные от пм по г г или отношение о к -655 г, как малые по сравнению с произволной ,65 по г; в левой асти запеним величины и„ и, .»15 и о» темп пх значения'- 46 46 46 Ы %6 60 64 ми, которые определя- (рд Р к1тся формулами (4.84), Фиг. 31, (4.86) и (4.87) предыдущего решеши.
При этом все компоненты скорости считаются функциями»,. В результате придйм к уравнению ч 4 — „—,; =0,348» — (Зг, — 6»1+ 4»1 — »,), 6;"и д» где ащ — новое, подлежащее определению значение толщины пограничного слоя. Интегрируя пол)ченное уравнение и удовлетворяя первому и последнему пз условий (4.83) для о,„ найдем: = ыаг — 0,01816 » — ' 8а»г (9»г — !ба~+ 18»,' — бгг +»г). !96 ястлнопиншееся течение В погелш!чиом слое (гл гя Удовлетворягт теперь условию о„=О ири лг = 1, получим: :, = З,т) 1тгг- —. г ме Г!олстлвляя нлйденные зилчеиия и„и гш в формулу (4,88), определим величину М и окончательно будем иметгм ! с!! С мт (4.()2) Этот, в конечном счете весьма просто получаемый результат гж:шчвется от точного решения всего на 1,3"( .
2. Сопротивление тонкого диска, вращающегося в цилиндрическом кожухе. Рессыотрим теперь задачу о вращении тонкого диске, злклгочйнниго н цилиндрический кожух. При этом зазор ме;лду крэщш щыкл и боковыми стенками кожуха будем иоллглть мллым и иринимлть радиус диска );г рввньщ рэдиусу кожуха; толпи!иой лиа,и тпкмсе булем пренебрегать. Прострпнстно между стенками кожухе и писком считлем злполнениым тшловязкой срелой (возлухом). При вращении лиска этл среди будет, с одной стороны, вг!влекл!ься во врпщятельное движение, л с другой стороны, тормозиться крышками кожуха.
Будем в лпльнейшем рассматривать слу шй, когда рэсстояшш» от плоскости лиска ло клждой из крышек кожуха велико по срзвненинэ с .голи)иной пгзгрлничногг! слоя (-=- —, » ! — = В этом слу !пе, когда движение установится, Г(е Г)е,' образуется лве погряничных слоя: один нз лиске, а другой н,! крышке кожухи. Г1ри этом среда, находящаяся мелгду назвзнными слоями, будет грагцаться как тверлое тело с некоторой нш!ерйд неизвестной угловой скоростью и!, меньц!ей, чем угловля скорость диска со,и 'Гакля кертина движения среды меягду сл»ями вштверждвется э .сиерпментпльно ').
В результлте нлд погрлничными слоями нв лиске и крьиикс кожуха ~ябрлзуется внешний поток с распределением скоростей. Гl, = О, сl.= О, Еl ы,г. (4.Ы) !) Р. 5г» и ! ~ т-Г) г и питб Лей.спг, !иг вийем, Млг!ь ниц Мес»., т. 1б, )и 4, !вами, с ~р. !9!. Г'ешеиие рлссметригиемой эпллтчи, п!теллижеиное 1!!ГмьцовьГ!иииоиым, иетг1жепо в цптиривиниий гыше книге Л. Г. Лойцнн кш Х стр. 22! — 22б. ф 14) иоггхнпч»ый сл<н! нз ведшдгошемся диске 197 Так как во внешнем потоке вязкостьш среды можно пренебречь, то закон изменеши! давлении в атом потоке получим, полагая в первом из уравнений (1,47) я=О и заменяя одновременно компоненты скоростей величинами (4.93). Тогда будет; др у2 — = р — я = грг<о!. (4.94) Такой же закон изменения гралиента давления в радиальном направлении будет, следовательно, и в каждом из пограничных слоев.
Начнем с расчета пограничного слоя на диске. Для решения задзчи воспользуемся опять приближенными уравнениями (4.82) и будем искать их решения в виде (4.84). Тогда, принимая во вши!ание зависимость (4.94), получим из (4.82) для определения г!(г) уравнение Яю) = — А + — =-.—: А,. (4.95) Остальные два уравнения сохранят тот же внд, что н в (4.85), При етом А! В н 8е буду.г опять постояннымн. Характер граничных условий отличается в данном случае от (4.83) лишь тем, что при я=8!! будет о =<е,г (вместо — ! и„ == О). В результате, интегрируя уравнения (4.95) и ппс.чедние два в системе (4,85) и удпвлетв )ряя всем названным граничным условиям, найдем вместо (4.86): 1 !! = —;,— А!01 (е! — д!), Л = !ве — ((ов — м!) (2а! — г!), уз — — —.
А!еа (Зя! — 2я!), В = —- 6 з~~ (4.96) 40 (А,!; — ы!) = А! г;,— — ', (3(оп+ 4!е„!н! -'-8ы,). 60 (~ — ы!) я = — (3!е„+ 2е!, ) А,8~. Подставтяя нсе зтн значен!и в равенства (4.82'), получим длн определения А, и 8 уравнения; 193 устлновиашееса ть'!ение В ПОГРАничнох! слОе (гл. и! Решая эту систему, найдем! 2 (3!ОО+ 4!аа!а! — 7!О1) (Зва+ 2в!) 2 А,— 15 ч О~О+ в1 4-0 2 (!)ва+в!)(во — в!' 2 (Зва+4воа» 7в1) (Зва+2в!12 (4.9?) Для момента сил трения, действующих на одну из плоскостей диска, получим, подставляя в (4.88) величину ?2 из (4.98), значение; — МО = ир?с (4.98) О аа Решение для пограничного слоя на крышке кожуха можно найти из полученных результатов сразу, если положить в них ма =О, Тогда, обозначая толщину пограничного слоя на крышке через Зп а модул момента действующих на нее сил трения через М,, получим из (4.98) и (4.97): М! = Н(айа — „', 81 = — ' —,, (4,89) О1 14 в 1 Во всех найденных выражениях остаегся пока неопрелелйнным значение в1.
Для определения этой величины воспользуемся тем соображением, что при установившемся режиме 1 моменты — МО и М, должны быть численно равны, как мо- 2 менты сил действия и противодействия. В результате приходим к равенству; !ОО В1 В1 6Π— О=(г, в! получим для определения (О уравнение; (3(22+ 4Ф 7) (3(2+ 2)2 (Д ! )О 28 (9й+ 1) Решая это уравнение графически, найдехп 72 =- — Π— 1 91. вг Заменяя здесь ФО и Ф1 их значениями из (4.97) и (4.99) и вводя обозначение (4.
100) $14) поггхничный слой нх вехщхющгмся диска 1зз Подставляя найденное значение го, в (4.97), пол>чим: 3е=2,50 1/ —, (4. 1О1) "а после чего формула (4.98) дает для момента сил трении, действующих на обе стороны диска, значение Мо=! 20 0'у )хрмаз Наконец, для козффициента С, определяемого равенством (4.89), будем иметь'. 1,20 См, =,'.:. й Сравнивая полученный результат с (4.90), приходим к выводу, что наличае кожуха уменыиает момент сил трения примерно на одну треть. Этого уменьшения и следовало ожидать в случае, когда над диском образуется слой среды, вращающийся в ту же сторону, что и диск, Количественно формула (4,102) будет, очевидно, давать преуменьшенное значение С, примерно в той же мере, как и в предыдущей задаче.
Уточнение результата путем подстановки найденного решения в правую часть полного уравнения даЕт более точное значение См )' ГС =1,26. Упомянутое выше приближернйое решение Шульца-Грюнова, связанное с чрезвычайно громоздкими расчетами, приводит к результату С уф~ )х =1,33, хорошо совпадающему с данными экспериментов автора. Однако как результат интегрирования соответствующих уравнений движения зту величину С следует считать несколько преувеличенной, так как приближенное решение Шульца-Грюнова при ы, = 0 (случай, рассмотренный в п.1) дает значение С )Ггс = 1,99 вместо уточнвнпосо результата С,„г)~ )х =1,935. Изложенное решение, являясь несравненно более простым, приводит, кзк видим, к практически вполне удовлетворительным результатам. По данным о пытов зти результаты будут пригодны для значений 10' == (С ) 1Ог,х При больших значениях (х теченве иа краях диска становится турбулентным, при меньших )с возникает взаимодействие пограничных слоев иа диске и кожухе 200 установившееся течение в пОГРАничнОм слОе 1гл ° ж и вращающееся как твердое телЪ ядро среды между слоями перестает существовать.
Так как в упомянутых опытах было И 3 — то можно заклянчить, что схема, на которой по- УГ "0' строено изложенное решение, имеет место приблизительно И 20 при — Р : илп, как зто следует пз 14.101), когда просвет уя И между диском и крышкой кожуха превосходит толщину пограничного слоя на диске примерно в 8 раз. При меньших значениях И отдельных пограничных слоев на диске я крышке не будет, и решение следует строиттм применяя уравнения дви.кения вязкой жидкости ко всему объему среды, заключенной в кожухе, ГЛАВА У. НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОИ ЖИДКОСТИ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
