С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Появление этих вихрей вызывает изменение распреде ния скоростей во внешнем потоке; в результате вместо (5.16) получаетсн распределение скоростей того вида, которое для соотве!сгвующего частного случая лается эмпирической формулой (4.35!. Изменение распределения скоростей приводит в свою очерель к дальнейшему перемещению точки отрыва вперед до нового прелельного положения, определиемого углом и, = — 82 (см. ~ 1 1 или п. 2 ~ 1 2), Чтобы дать более ясную картину ростз толщины пограничного слоя с течением времени, были произведены соответствующие подсчйты по фор-, а муле (5.50) для момента на- ' !4 чального отрыва !! и лля момента с„ когла точка отрыва практически близка к пре- Г йод " фД дельной.
Картина изменения " ' " )"!!сф~~, толщины пограничного слоя на цилиндре в указанные !~лр' р! ныше моменты времени дана Йврмв на фиг. ЗЗ. Ллв! болыией на- ; !!ври глядности на фиг. 34 потри- '" -С:Фв'Ф' вм вм ничный слой для моментов !! и !а изображйн в увеличенном масштабе непосредственно на самом цилиндре. Обращает нз себя внимание сильный рост тол!цины пограничного слоя за точкой отрыва в момент 1, (грзницз слоя за точкой отрыва показана пунктиром), довольно ясно указывающий на образовзние нзчального вихря. 3.
Приближенные уравнения осесимметричного течения и их интегрирование. Изложенный выше метод легко распространяется нз случай обтекания тела вращения потоком, направленныч параллельно оси симмштрии тела. В случае неустанониви!егося течения движение в осесимметричном пограничном 220 накстхновгвшевся течение в погглничном слов (гл. и слое описывается урзвнениями (4.08) и (4.19"). Как и в предыдущем случае, у равнение (4.08) может быть представлено в виде (5.29). При этом шюлогично (4.?2) найдем, что У дг„дп до, ( ?дп„, Р' — — — — — — — ) атл (5.58) х ПГ ~ крх йт ~ 10т ! ?С к) о Пользуясь теми же лов щенпями, что и в п. 1, заменим уравнение (5.29) приближенным уравнением (5.30).
Прн вычислении тв, примем опять закон изменения о„ в виде (4.63], Одновременно, полаган, что перезнав часть обтекаемого тела является тупой, положим приолпженно ?? = )?ь(л). Тогда, подставляя значение т~ из (4.63) в (5.58), получим для ш„ выражение, отличзюигееся от (5.31) лишь тем, что коэффициент перед последней скоокой будет вместо — '. сохерхшть ~ — "+ — ~, 1О,' х '(1 а).
Подставляя найденное таким образом значение а в правуич часть (5.30) и двзнсды интегрируя, н. идем аизлогичнс (5.32) и (4.73): 12 (? х4 ' ' " 20) 1ь (,35 ~ 2~ 10 56,1 4 (,4 ь ип, 3" ~ ' ь,'„)~зб ' 80 аб?~ ' Отсюдз, используя условие и,=(? при и =-1, получим для опре еленин следующее уравнение в частных производных: гл — '-~- С/ — '+ ( 2 — ' Ь + лИ' + т -, ' = /, (5 60) ис пг (, Й,~ где значения и, и и Р— те же, что и и (5.34), Задаю сводится теперь к нахождению чзстиого решеши уравнения (5.60), удовлетворяющего условию "= — 0 прп (= О.
Определив соотвегствующее вырзжение „"((, т1, мы их (5.59) найдем распределения скоростей в пограничном слое и шдзча таким зораном будет решена до конца. Пзконец, используя условие (4.03), получим, что и в данном с ~?чае месго и вре;и отрыва будут определяться уравнением (.5.35). й 16) пгивлпжйнныв хглвнвния и пх интшжпговхипв 221 В частном случае течения, возннкзкнцего м|новенно из состояния покоя, уравнегше (5.60) примет впд: о( / Ро и — + (/ — + ( 2 — (/ — 'лУ'),"=1>, ш дх (, й'ч (5. 61) и соответствующая ему системз обыкновенных дифференциаль- ных уравнений будет: пч па и (/ а — (2 — (/-( — л(/' ~ б % (5.62) Инчегрпруя уравнении, дзваемые равенствами двух первых и двух последних очношений, получим: (5.63) Перейдам здесь опять к переменному р, определяшшиу равенством (5.38), и введем функцшо /', (Р) = ~ Яз (Р) (/" (,1/, (5.6)) (/= —;,- (/„э и.— Х (5.65) Тогда, повторяя все рассуждения, приведенные в п.
1, получим для " частное реп~ение, удовлетворяющее условика в=О прп /=О в зиле, совпадающем с (5.4!), с той лишь разницей, что всюду вместо функции Г будет стоять Гп Место отрыва будет в этом случае ошпь гн1ределячься уравнением (5.42). 4. Развитие пограничного слоя на шаре. В кзчесж,с примера рассмотрим задачу о развитии пограничного слоя нз шаре радиуса а, который в момент /= 0 мгновенно приобретает скорость (/а и дальше дни;кется с этой скоростью равномерно, поступательно и прямолинейно.
Одновременно бу'дем считать, что в момент / = О во внешнем потоке устанавливается потенциальное распределение скоростей и на внешней границе пограничного слоя во все время движения 222 неустАнОВПВшееся течьние В ИОГРАннчном слое [Гл ° у Кроме того, в нашем случае будет х Йь — Н 51П вЂ” . н (5.66) Введем опять переменное т, определяемое равенством (5.43). Тогда, заменяя в (5.63) (/ и )7В их значениями нз (5.65) и (5.66) и переходя к переменному т, мы после вычисления соответствующих интегрзлов получим: 2 лги 3 б, 1-[-т= Т+! 2 Ьа ~(1 — т') ' + — — Ф (т)=СЕ, 3(г, ! — '- "/ (5.67) где Ф,(т) = ) (1 — т') тг(т.
(5.68) Интеграл (5.68) можно тзк хге, как и (5.46), представить в виде ряда, аналогичного (5.47). Повторяя в точности те же выкладки, что и при получении формулы (5.41), найдем Окончательно следующее решение уравиешш (5.61), удовлетворяющее условию 5=0 при Т=О: 2 Ьа Ф, !Т! — Ф11!) (5.69) 3 ('А (1 — -"") где 7(т,)) также определяется формулой (5.51), в которой, однзко, будет: lг= — —, з и (5.
70) 2 л!а' Формула (5.69) вместе с (5. 59) п дает решение поставленной задачи. Так же, как и в предыдущем случае, при Т- сю это решение переходит в реп!ение соответствующей стационарной задачи. Положение места отрына определяется условием (5.42), которое в данном случае может быть также приведено к виду, аналогичному (5.55). Не производя вновь этих преобразований, найдем время начального отрыва пограничного слоя непосредственно пз уравнений (5,42) и (5.61).
$16] птивлижвнныз хгхз«ени» и их интсггиговхнив 222 Подставляя н (5.61) вмсто С7 и )тз их значения из (5.65) и (5.66), будем иметь: (и ~ + — (I~",' з)п — + 1 — п + 3 ) — ' ~ соь — ' = Ь, (5. 71) 2 а 1,2 а а Так же, как и у цилиндра, нзчзльный отрыв на шаре произойдет в задней критической точке.
Тогда, полагая в (5.71) х — =и, нзйдем следующее уравнение для определения закона а нарастания слоя в задней критической точке: (о.72) Проинтегрировзв зто уравнение п удовлетворив условию к=О при г = О, получим и. 1 -1- О, 492 — ~ и = е ' " " (5.73) а при атом в (5.73) подставлены значения ш, л и б из (5.34). Далее, нз условия отрыва (5.42), имея в виду, что 2=У'„ н подставляя сюда значение У' при — '=",т из (5,65), будем а иметь: (5.74) — '„—" "=6,2! +0,0976".
Исклкзчая из (5.74) ", с помощью (5.72) и ззменяя одновременно ч значением, определяемым формулой (5,73), получим для нахождеьия времени начального отрывз Г, уравнение кш — "г, и. е' а' 448 которое даат: (5.75) 7,= 0,31 —, Г.' Как и з случае шшиндра, знзчение го даваемое формулой (5.75), меньше того, которое определяется формулой (5.18). Прп дальнейшем движении шара точка отрыва быстро перемещается вверх, стремясь к предельному положешио, которое, как и в случае цилиндра, определяется углом 6, = 11Оо.
Проведенные подсчеты показывают, что угол отрыва будет' яь) ишсткновивгпееся твчгниз в поггхничиом слое (гл. ч отли шться от предельного значения () нз 1")а по истечении промежутка времени вн равного г, — 1,26 —. (5.76) Уа ' Закон нарастания толшины пограничного слоя определяется формулой (5,69). Соотвегствуюгпие подсчеты дзгот результаты, .аналоги шые тем, которые в случае пнлиндра представлены на фиг. 33 и 34.
В заклкхчсние отметим, что как в случае обтекания шара, так и в случае обтекания пилинлра все приведенные выше расчеты были проделзны также прн условно, по в уравне- нии (5.30) величина ш„определяется законом изменения скок г, рости: о„=(/в)п) — т,) . В обои~ случаях для величин Г„)з и 6, (или р,) были получены те же самые значении, что и и пп. 2 и 4. ГЛАВА У), РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ. й 17. Приближенные методы расчета течения в начальном участке трубы. 1. Понятие о начальном участке.
При ламинарном течении жидкости в круглой трубе движение нз достаточно большом расстоянии от входного сечения происходит по закону, полученному а п. 3 Э 5. Профиль скоростей в любом сечении трубы оказывается при этом параболическим п определяется формулой (2.23), з закон изменения лавления вдоль трубы дается формулой (2.24), Эти результаты хорошо подтверждзются как первоначальными опытами Гагенз и Пуззейля, тзк и экспериментами ряда Лругих исследователей. Однако вблизи входа в трубу картина течения окачывзется совсем иной.
Если считать вхол в трубу достаточно плзвныи, то жидкость, втекающзя в трубу, буде~ иметь первоначальное рзспрсделение скоростей, почти постоянное по всему поперечному сечению. Только у самих стенок трубы вследствие прплипания скорость жидкости будет обращаться в нуль. Затея, по мере улзлегюя от вхолного сечения, под влиянием сил вязкости будет происходить торможение слоев жидкости, ссе более и более удзленных от стенок, и в конце-концов установится режим течения, который описывзется формулами (2.23) и (2,24) и который мы в дальнсйи'ем будем называть парабол шеслилс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
