С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Т ать си с, Гидро- и аэромеханиза, т. П, ОНТИ, 1935, стр. 35. По зп<м же данным построены экспериментальные кривые нз фнлрах <<б,;53 н 40. !) См. книгу ,Современное состояние п<лроаэродннамики вязкой и<илкостн:, т. 1. Изд. иностр. лиг., 1948, стр. 341. йЗЗ- 171 пепвлщкйнныв методы глсчйтх „м, — 3 — ' новки одного только члена с~е пп ф (:) пз первого приближения в те слагаемые, содержащие произведения ы и ее производных, которые были отброшены в (6.07) при получении уравнения (6.08). Значения коэффициентов с, и с в полученНом решении также определялись из условпя мииимумз интеграла (6.1 7). Однако при этом за то начальное сечение, где дано <оа, принималось ие г = О, а г =0,0025(7(х, в позором гг(7 йп ОЯ ч,(ь ЬЬ ча ль а Оу паз Озь йаа ам огг ам зуь ФИГ.
Зб. распределение скоростей было предварительно вычислено по методам теории пограничного слоя (см. ниже п. 3). В результате всех этих уточнений получилось решение, дающее досгзточно хорошее совпадение с экспериментом при значениях г ) О,ОЗЙ(х. Соответствующие расчетные (пунктирные) и экспериментальные (сплошные) кривые показаны на фиг, Зб'. При значениях ак. 0,0377(ч расчеты, по указанию авторов, дают заведомо неточные результаты, и данные о них авторами не ириволятся. Однако и этот уточненный расчет при г.=- О 4гс, г=О 677 и г= — О 977 дает для значений г =- О 0877(х значительные отклонения от экспериментальных кривых, объясняемые, как уже отмечалось, тем, что при сохрзнении 234 глзвнтпа течения вязкой жидкости в тггвлх (гл, щ х хат о =У(г) (2 —,— — „71, г о У)' (6.21) в (6.16) только лвух членов, условия в изчальноч сечении уловлетзоряются весьмз приближенно Вопрос о длине начального участка авторами расчетов не рассматривался.
Олнако характер кривых, показанных на фнг.36, н приведснные авторами данные об изменении давления вдоль оси, указывают, что значение 7. в этом приближении будет меньше того, которое лзется формулой (6.20). 3. Рзсчйт начального участка в круглой трубе с по.мо|пью мчтоячэ теорчл пограничного слоя. Расчет течения в начальном участке трубы можно произвести, используя идеи и методы теории пограничного Ж слоя.
Пусть опять во входном сей чении круглой трубы радиуса )с скорость всюду постоянна и равна и Уе 1)скола из картины течения, данной в п. 1, положим, что з кажлом последующем сечении — — 9 трубы скорость жидких частиц, д достаточно удаленных от стенок, остзется также постоянной (ядро А '' течения), а в примыкающем к стенФпг. З7. кам трубы пограничном слое ско- рость постепенно падает до нули (фнг. 37). Прп этом, по мере улзления от входного сечения, толщинаядра течеиияВ7) убывает, а толщина пограничного слоя 3 возрастает до тех пор, пока пограничный слой не заполнит вщп трубу. Сечение, в котором это происхолит, т.
е. то сечение, где окажется 3 = Й, и определяет конец начального участка. Переходя на основе изложенного к расчету течения в начальном участке, будем полагать, что: 1) скорость 0 ялрз течения в каждом данном сечении трубы постоянна; по мере удаления от входного сечения величинз с) вследствие постоянства расхода возрастает от значения У, в сечении г = 0 ло значения 2(У, в конце начального участка !таким образом У= У(г)]; 2) профиль скоростей в пограничном слое является параболическим и изменяется по законт 1 т) ПРИЕЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЛСЧЕТА 2ЗЕ где х — расстояние, измеренное от стенки трубы вдоль радиуса; 3) трение в ядре течения практически Отсутствует, и для течения в нем справедливо уравнение Бернулли; при атом в кзждом данном сечении давление в пограничном слое совпадает с давлением в ядре течения, Заметим, что тзк как х = )с — г, то при 3 =.
Р и (У(е) = 2УЕ формула (6.21) переходит в (2.23), определяющую парзболический режим течения. Лля определения закона течения во входном участке воспользуемся условием постоянства расхода н теоремой об изменении количества движен1пи Умножзя обе части (6.21) на 2иЯ вЂ” м)гас и интегрируя от 0 до 3, найдем, что расход через данное сечение погрз- /4 5 пичного слоя равен пУ~ — )сз — — 31~1. расход же в ядре те. (3 б !' чеиня будет п(УЯ вЂ” 3)'.
Тогда, ввиду постоянства рзсходз в любом сечении, будем иметь: азу(а=и Рао — ~ 31+(К вЂ” 3)з~ . (6.22 13 6 Отсюда находили )с -'-='-' — 1Г6 Ь вЂ” 2 (6.231 Применяя теперь теорему об изменении количества движения к массе жидкости, протекающей за секунду между входным сечением н сечением, определяемым координатой е, получим: Щ=Р— )р', (6. 24) (тзт Р = и)с (Рч — Р) = птс Р ч (6.25) Кроме того, принимая во внимание (6.2!), будем иметь: я 2 %'= 2пй ~р. ( — '~ пе = 4пй)е ~ —, 14е. (6.26) х=а е где Р— сила давления, а )гт — сила трения, действующие на выделенный объйм.
Используя уравнение Бернулли, найдем, что (см. условие 3) ЬГ)= яр [(7тг — а)гЦг+ ( 2(й — ж) п,г//с — 7тггЦа] = 14 а 4 аг) 15 гс 15/]и/ — ий/'г (Цг ! 1 + 1 Ца) (6.27) Подстав!им теперь величины, определяемые формулами (6.25), (6.26) и (6.27), в урзвнение (6.24), заменив прелварптельно всюду величину 3 ее значением из (6.23). Продифференцировав затем обе части полученного таким образом равенства по а, придем после очевидных преобразований к уравнению: ! /4 Е/а Н']/ !/а . 1' гдЦ (6 а 2, г~ .
(628) (~а тле (х имеет то же значение, что и в (6.09). Введем для сокращен!ш записей обозначение (6 о3) Тогда, интегрируя уравнение (6.28) и удовлетворяя условию Ц=Ц, или /=-0 прп я=0, получим ): (6.30) где 1 ! Г53 22 у (Х) = — „~ — 1 — =21п (1 + 7) — — (4+ 2)( — 2/г)г— 16 /4 — йгт] —., 37)г 2 / . 2! — ! . 1 !, 26] — — — — —: агссйп . — + агсз]п —,/! '! Изложенное решение принадлежит Л.
Шиллеру (см, Л. !11и ллер, Течение жнлкостей в трубах, ОНТИ, 1936). Заметим, что ириэеленпое в этой ккиге уравнение (45) солержит опечатки, повторенные в некоторых лругйх изданиях. Выражение 7'(Х), несколько более простое, чем то, которое получил Л. Шиллер, взято из кнвги аСовременное состоюше гидроаэродинамнкн вязкой жидкости», т, 1 236 глзвггтня течения вязкой жидьост«в тгквлх (гл.
ч 1 Наконец, для секундного изменения !голичестаа движения, входящего в уравнение (6.24), получим, 237 ПРПБЛПЖЕННЫС МЕТОДЫ РЛС!ЕТА 3 17( Определяемый формулами (6,30) и (6,21) закон изменения скорости вдоль оси трубы ирп разных аначениях г показан на фиг. 33. Сравнение с изображенными там же экспериментальныьш кривыми показывает, что изложенный метод данг хорошее сониадение с зкспериментом лишь для значений а . — 0,05 Й(т и притом для области течения, близкой к осп трубы. По мере же приближения к стенкам, особенно при еу гт)( .— ВРВ т — (<77 — йа )::< <)В !В В,ВВ г ВУВ В,В В2В йй и а,аг ВВВ В<6 ййГ ай Вй ам Фнг. 88. г) 0,5 <<1, отклонение от экспериментальных крпных становится всй более значительным дан<с при достаточно малых значениях г.
Эги отклонения объясняютс<1, очевидно, тем, что даваемый формулой (6.21) профиль скоростей в пограничном слое не вполне удовлетворительно описывает истинное распределение скоростей вблизи стенок трубы. Найдем теперь определяемую изложенным решением длину начального участка Е. Для зтого положим в правой ысп! <6.30) Ег= 2Ц или у = 1. То!да !юлучич Е = Е( г<((1! илн (6.3!) Е =-0,115 !ТЯ. 233 глззитпе течения Вязкой жидкости В тгузхх [Гл. ч! Даз;!емое формулой (6.31) значение Е, как это видно ~з хода экспериментальной кривой, изображенной на фпг. 38, следует считать преуменьшенныи, Ззкон изменения давления на начальном участке может быть опрелелен по формуле (6.25), з которой значение У берется пз (6.30).
Сгютзегствующие расчаты приведены в выше цитированной кинге Л. Шиллера. Более точный расчет начального участка с помощью теории пограничного слоя можно произвести, если применить непосредственно к уравнениям (6.05) численный мегол, изложенный в 6 !1. При этом, как обычно в теории пограничного слон, величина — в правой части уравнения (6.05) заменяется тем бр дг ее значением, которое дает уравнение Бернулли, применяемое к ядру течения. Такие вычисления, связанные с численным интегрированием уравнений (6.05), были произведены Аткинсоном и Гольдштейном ').
При этом оказывается, что если даже, как это лелали авторы, сохранить в применяемых разложениях первые пять членов, то получаемое решение будет справедливо лишь для чрезвычзйно малых значений г.-0,0025 !сК. Срзвнение полученных таким путем результатоз (ири з ( =- 0,0025 ИЯ) с решением Шиллера дало для г 0,8 Я расхождение, меньшее !'/з! при г=0,0 разница состзвилз 5з(а! сравнение с экспериментом прп столь малых значениях т произвести довольно трудно. Заметим з ззключение, что при длине начального учзстка порядка 0,2 )3)ч решсние, справелливое лишь для з(0,0025 Я)с, не имеет существенного самостоятельного значения Названными выше авторами это решение было использовано кзк дающее распределение скоростей в начальном сечении при расчете по методу Буссинескз (см. и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
