С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 35
Текст из файла (страница 35)
(5.34) Полагая, что в момент начала движения тоаыргма пограничного слоя равна нулю, мы должны будем на1;ги в каждом конкретном случае решение уравнения (5.33), удовлетворяющее условшо ч=О при 1=0. ()пределенное текин образом знзчение "(х, Г) вместе с (5.32) и дает решение поставленной задачи. Лля определения места и времени отрыва воспользуемся опять условием (4.03), принимающим в нашем случае вид: (~ — ""'1 = О. ',Ила ь=н Подставляя сюда значение о„из (5.32) и исключая из получаемого равенства величину,"' с помощью (5.33), найдем окончательно, что в точке отрыва должно быть: ) „= — 6,21 — 0,0976~ — 0,8162 —, (5.35) где попрежнему ),=(7'ч. рассмотрим, в частности, случай течения, возникая>игего мгновенно из сосгоянпя покоя.
В этом случае будет (/= У (х) ь 16] пРинлиженные УРАВнениЯ и их интегРНРОВАния и уравнение (5.33) примет вид: ш-;-+и —;+- и„г=л. д( д," дГ дх (5.35) Соответствующая этому уравнению с!ютема обыкновенных дифференциальных уравнений будет: дГ Гх Интегрируя уравнения, даааемые р!Венством двух первых и двух последних из этих отношений, иолу'и!м: Г гге — ° 1 —,-с —— С„ (5.3т) ~и — Л) и — !где=С,. Тогда общее решение уравнения (5.35) будет, как известно, иметь аид:,=Ф(С„СВ). Найлем отсюда частное решение, удовлетворяющее услояию '=О при (=О, Введем длн этого безразмерное переменное э(, связанное с х занисимостью: ':= ) )иГг) (5.38) где ин и ' — какие-нибудь характерные для данного течения скорость и линейный размер, Кроне того, обозначим; гг(р) = 1 и" (м) ам (5.39) (5.40) !)га (;, з) —.=-.." Л" (э) — — „Л'(м) = С,, ГДЕ ШтРИх ОэиаЧНЕГ ПРОИЗВОДНУЮ ПО Р.
Г!ользуясь известныл! методом решения постанленной задачи, п !дставим В (5.40) вместо Г и " нули '). !! Сч., н,!припер, В. В. Стен апов, Курс днффер нцяадьных уравнений, ОНТУ), 1937, стр. ЗП4. Р!!венечна (5,38) и (5.39) определяют а и Р' с точностью до постаяш ых, которые будем считать включенными в С, и Са.
Тогда ураннения (5.37) можно будет представить н виде 214 неустлноииви!ееся течение в погганичнОИ слОе [Гл ° у В результате получим; Чг = — — Ч! = — ЬГ(р) = — ПГ~ — — ! — [, глгч - ( '1'! (Тз'! (5.41) Выражение (5.32), и котором б определяется формулой (5.411 и дает решение задачи для случая движения, возкикаюшего мгновенно из состояния покоя. Место отрыва по~раничного слоя будет при этом определяться условием: )к = — 6,21 — 0,0076 ~. (5.
42) Заметим, что, удовлетворяя при решении уравнения (5,3б) условию 3=0 (или !=0) при г=б, мы уже не можем удовлетворить одновременно какому-нибудь условпо ала 3 по х. Таким образом, рассматриваемое решение нельзя будет применить, иагц!имер, к задаче о развитии погрзничного слоя на пластинке, так как мы не сумеем при этом удовлетворить одновременно условиям 3 = 0 при г =0 и 3 = 0 при х = О.
Тот же результат, как мы видели, имее~ место и при примсневнв метода решения, изложенного в $ 1б!. 2. Развитие пограничного слоя на круглом цилиндре. В качестве примера рассмотрим опять задачу о развитии пограничного слоя на круглом цилиндре радиуса а, полагая, что в момент Г= 0 цилиндр начал двигаться в маловязю!й жидкости поступательно с постоянной по величине и направление скоростью (га.
Тогда на границе внешнего потенцизльного потока распределение скоростей буде~ даваться формулой (5,16). Введем вместо х новое переменное т, полагая .т С05 — =т, а с(т 1''1 — т' / (5 АЗ) где Чт т1! т= =О. Заменяя ниями '!', и в виде представляют собо!о значения Ч', и Чт при теперь в послелнем выражении Чг и Чт значеЧг, из (5.40), получим искомое частное решение 16) пгивлижвнные кгхвнвния и их интегыповлнин 21„- Кроме того, из (5.16) будем иметь: 1 ~/=2~/ь(1 ! (5.44) Перейдем к определению ,". Принимая в (5.38] С"' = 2Уа и (= а, получим для нашего случая, полагая з = 0 при т = 0: ггс — —, = — Агй! т ) 1 — с-" о (5.
45) нли т= — !и з. (5. 45') Бведйм, кроме того, функцию Ф ( ) = ( (1 — т )' о(т. (5.46) о Если взять из (5.34) значение и=5,46 и представить подинтегральное вырез<ение в виде ряда, то, произведя почленное интегрирование, будем еще иметь: Ф(т) =т — 0,606 т'+ 0,149 т'+ 0,007 т'+... (5.47) Тогда, замечая, !то Ф(т) — функция нечетная, найдем из (5.39) и (5.45'): г"-(а) = (2(7о)" Ф (О! 6), Г(1! — й!) =(2(уа)" Ф ((Мз — й()1, / где обозначено (г — о — 0 86 ~'ь хчн и (5.
48) (5А9) Подставляя значения (5.48) в (5.41) я переходя с помощью (5А5') от м к т, получим окончательно; д а 69 — сР(г) и (5.50) где !ь (аг) + т Т= ! + т!в (аг) ' (5.51) Закон распределения скоростей в слое будет даваться формулой (5.32), где в рассматриваемом случае ()= О, а ч определяется формулой (5.50).
Таким образом, задача оказывается решенной. '!б нгтстлновившвтся твчвниз в !!огтхничном слоя (гл. и Покажем, что при г — со полученное решение пеоеходит в решение соответствующей сташюнарной задача. Прежде всего из (5.51) будем иметь, что при г = оо Т = 1. Тогда формула (5.50) дает Ьа Ф(!! — Ф!г) "г —.— ж = —.>— 2С н !! — т-")"' (5.52) (К Ва (1 — та)': — ' д.! д! Ж„(1 Ы!" Л г!Г ' Но из равенства (5,51) следует, что дт а (! — та) ! — тг 1 дг=(СИЛ!+гайд!) ' ! — -:-'=(Сна!+я,ЛЕ)р (О 55) В результате, принимая во внимание (5.49), получим.
Ь ,"=--(с)!И+тяпах) ". (5.54) Последнее равенство дает при ! = оо чх == О. Так как в рассматриваемом случае и У=О, то формула (5.32) перехотит при этом в формулу (4.64), вырахсающую закон распределения скоростей и слое при стационарном течении '). Таким образом, мы убеждаемся, что полученное решение действительно дает ири à — оо решение соответствующей стационара ай задачи. Перейдем к определению положения точки отрыва. Подставляя в (5.42) значение ч пз (5.54) и используя равенства Х ') Значение с ири — =х нлн т= — 1 в случае Г т может не а рассматриваться, так как з установившемся течении отрыв иограничного слоя происходит при †' с х. а Заметим, что такой же результат получится из формулы (4.66) для стационарного лвижения, если в ней заменить У значением (5.16), и, беря начало отсчета в передней критической точке, положить х„ = О.
Далее нз (5.50), учитывая обозначение (5А6), найдем: (5.34), получим: т ') — хб4 1, = — 6,21 — 0,976 (с1~ М+ соз — зб лг' ~ . (5.55) Вырзчсение );=У'С опрелеляегса знзчениями О и . из (5,16) и (5.50). Таким образом, формула (5.55) позволяет найти место отрыва кзк функшио х и 6 т. е.
установить, где произойдвт отрыв е какой-нибудь фиксировзнный момент времени ( или, нзоборот, когда произойдет отпив з точке с длиной коорлинзтой х. Нзйдбм, пользуясь формулой (5,55), момент начзльиого ~трывз. Из (5.5э) и (5.16) вилно, что отрыв них ступит пре'кле всего в точке, гле — =я, т. е. в зздисй крин тической точке. Полагая тогда т= — 1, получим из (5.51), что (( — 1, 0 = — 1. При этих знзчениях формулз (5.50), определяюгцзя величину,", дает неопределешюсть. Рлскрывзя вту иеогредсченность н используя при диффереицпровзнпи функции Ф1т~ озвенство (5А6), получим: Ззменяя здесь величину, стояшую в круглой скетче, ее знзчением из (5.53) и вычисляя с пои шгью (5.51) — ', нзйдйм дг' окончательно: ).-, ~ = -- (1 — с ""').
1> и Положим теперь в (5.56] — =и и иодстэвим туда нзйленное и значение ь, з также величины Ь и и из (5,34). Тигля для определения момента начального отрыве г', почучим урзвнение ез з'"' .= — 3,28, Отсюдз, заменяя )з его знзчением нз (5А9), находим; (1 —— -0,25 — . и„' (5.56) Полученное здесь значение г, окззывзется несколько меньшим, чем то, котороз определяют в первом и втором приближении равенствз (5.17).
9 16] пвивлижкнныв хвлвивния и их интвг иеовхнив 217. 203 неустьионившеьси те!ение В пОГРАничнОм слОе (Гл. ч При дзльнейшем дьиженип цилиндра (б)б,) точка отрыва нзчинает перемещаться от задней критической точки вверх. Найдвм положение, к которому стремится точка отрыва при б. О~; это полох ение будет соответствовать месту отрыва погрзничного слоя при установившечси течении, для которого закон распределения скоростей во внешнем потоке дается формулой (5.16).
Полагзя в (5.55) (= Оо, придем к условию А =((э"э),= — 6,21. Заменяя здесь (ч1~= ее значением из (5.52) и вычисляя ф(1) с помощью (5.47), получим для определения предельного положения точки отрыва уравнение Ьт, (0,55 — Р(т,)) =- — 6,21 (1 — т()"э ° Нзйдеиная из этого уравнения величина т, дает для предельного угли отрыва р значение е — 110~, где р — центральный учол, отсчитываемый от передней критической точки '). Время перемещении точки отрыва от начального положения, где рэ = 180~, до предельно~о положения, определяемого углом мю теоретически равно бесконечности, Однако практп.
чески, благодаря тому, что время Г входит в условие отрыни кзк степень поеззательной функции, перемен:.ение точки отрыв1 происходит очень быстро. Подсчет иокззывает, что угол отрывн ббдет с.тличзтьсЯ от шоего пРедельного значениЯ ф, нз 1в,'в тб а га бб бб ба аб аа йб Гбб а р ' Фиг, 33. г) Фотографии, приведенные в конце книги Л. Прандтль— О. Т н т ь е н с, Гидро- н аэромеханнка, т. 11, ОНТИ, 1935, лают для угла я, несколько Сольнес эизчение, примерно 114 — 11,'Р, 16) пгпвлпженные Углвнения п нх пнтягниговхние 219 по истечении промежутка времени га (отсчитываемого от != О), равного: (а= 0,94— (5,57) с!о цилиндр за зто время пройдет расстояние немного меньше~, чем длина его радиуса. Можно считать, чзо примерно с этого момента начинается нарастание образующейся за цилиндром пары вихрей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
