С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 37
Текст из файла (страница 37)
При этом переход течегюя в параболическое будет, конечно, происходить асимптотически. Условимся прн конкретных расческах считать, как предложил Пранлтль, мо параболический режим устанавливается, нз юная с того сечения, для которого скорость нз оси трубы отличается от величины 2(,'„, даваемой формулой (2.23), менее 1б с. и, тьрг 290 зхавития тячвния вязкой жидкости в тггвлх [гл. щ чем на 1а/ .
Тот участок трубы, на котором распределение скоростей изменяется от распределения, имеязщегося в начальном сечении, до распределения, соответствующего (с точностьго до 1а/,) параболическому режиму, н будем именовать началькылг учасглкож. Длина начально~о участка, как показывают и теорегические и экспериментальные исследования, окззывается достаточно большой, и учет особенностей течения на этом участке при различного рода конкретных расчетах приобретает существенное практическое значение (например, в висьозиметрах, коротких трубопроводах н т.
и.). 2. Расчйт начального участка в круглой трубе по методу Буссинеска. Рассмотрим течение вязкой жидкости в круглой цилиндрической трубе радиуса тс. Совместим с центром входного сечения начзло осей цилиндрических коорлинаг и направим ось Оа вдоль оси трубы в сторону течения. Будем считать, что во входном сечении скорость жидкости всюду одинакова н равна с) . При этом вследствие постоянства расходз величина Г(а будет одновременно равна средней ио расходу скорости в любом сечении.
Далее примем, что на достаточном удалении от входного сечения устанавливается параболический режим с профилем скоростей (2.23). Тогда, вводя новое переменное г-" Е=й,а, (6.01) будем иметь. при г =О о.= ГГа, при я= оо от= 2ГГ~(1 — Е).(6.02) о,=У,!2(1 — Е)+ы!.
(6.03) ') ). В о и а а1п е ай, Сожри кеийиа де 1'Ас. д. Вс., т. 113, 1991, стр. 9 и 49. Задача расчата течения в начальном участке может быть при этом сведена к определению функции о.(г, Е), удовлетворяющей условиям (6.02) и граничным условиям на стенках трубы. Г!риближенное решение задачи в такой постановке было лано Буссинеском '), метод которого и излагается ниже.
Введйм в рассмотрение функцию ы(г, Е), полагая $ 17) ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА 227 тогда задача сведется к опрелелению функщеч ы, для которой, как это следует из (6.02) и из условия прилипания жидкости к стенкам трубы, будет: при л= 0 ы = 2:- — 1, при е = оо от = О! (6,04) при с =1 (г) 0) в=О. (6.04') Перейдем к опрелелеиию дифференциального уравнения, которому должна удовлетворять искомая функция ы. Для этого обратимся к уравнениям движения ткпдкости в цилиндрических координатах (1.47). Считая, что в каждой ланной точке ско- рость с течением времени не изменяется, отбросим в уравне. ниях производные по й Далее, в силу симметрии течения выпадут зсе члены, солержащие о, и производные по о.
Массовыхи! силами, как обычно, булем пренебрегать. 1!аконец, считая, что изменение основной скорости о, по направлению вдоль радиуса происходит значительно быстрее, чем в направлении дто, оси трубы, пренебрежах! производной —.,* ио сравнению с ОАН дтоа — Тогда последние лва и ~ уравнений (1,47) примут впд: дге ' дох дог ! до удго ! до.З о — *+ о — *= — — — + т !х — „- -1- — — "'71, (6.05) 'дг хдг ядг 'Хдга ' г Ог)' дох ! д(го„! (6.05') Кроме того, в первом из уравнений (1А7), считая о,(<ом можно пренебречь всеми членами, содержащими и,.
Тогда это уравнение даст — =О, откуда следует, что в (6.05) можно дг считать (6.05") р =р (е) т. е. полагать, что в каждом данном сечении давление вдоль радиуса не изменяется. Исключим теперь из уравнений (6.05) и (6.05') о„ и перейлйм затем к переменному С. Для этого, интегрируя (6.05') по г и уловлетворяя условию о, = 0 при г= гс, получим: Р ( дох го = — ) —" гдг. ,) да д 228 глзвитив твчвипя вязкой жидкости Тогда, принимая во внимзние (6.0!), будем сщетгп до 1 до,( до до, (до. о — '= — — —" ( =гдг= — — Г д! —" с(=. ' дг г дг,( дз с)с,) дз )т ! Так как, кроме того, ! до, 2 д!', дз!'» 2 до», 4 .
дто, гдг )78д:' дгс Рсд! ' йе дР' то, подстзвляя все этп знзчения в (6.05), придем к уравнению до, до,(до, а ! др 4» д Iсдосз 'дз д,! оз " о Б ' Фд( (," д! ) ' 1 Подставим теперь в (6.07) вместо о, ее значение из (6.08) и, полагая величину ю малой, отбросим все члены, содержащие произведения ш или ее производных. Тогда, вводя обозначение ! ДВ "д! ' получим следующее приближенное урзвнение для определения (! (7(з ! с до сжо (6.08) 2 с дз д(с ' где 77(7 » (6.09) Кзн видно из (8.04), приближенное уравнение (6.08) годится лля достаточно больших з и буает лзвзть значительные погрешности при ж близких х нулю, т, е, вблизи входного сечения, гле предположение о малости э не выполняется.
Чтобы нзйти условие, которому удовлетворяет функция ((, заметим, что ! ! ~,„ое ~ ад д. ~ (),~" Чтобы искшочсжь отсюда р, продифференшсруем оое части равенства по с. Тогда получим: еегеевлеежйнные хитоды Рлс.чета $ !е) 229 В справедливости этого равенства легко убедиться, если воспользоваться лля левого интеграла формулой интегрирования по частям п услов еем (6,04'), С другой стороны, условие постоянства расхода, если при- 1 нять во вешмание обозначение (6.01), лает ) тЧе(ее= (е'„. Пол- о е ставляя сюда значение тЧ из (6.03), находим, что ) ые)а=О.
В результате получаем слелуеощее граничное условие аля 0; 1 ~'ге (х=О. (6ПО) а тех' !!==ее ли Че(Я) где еп и г — постоянньее. Полставляя в (6.08), найдам, что функция Че должна уловлетворять уравнению 1 — !. ! "+ш —.' !е — -О. ! (6.11) При этом, как легко видеть, граничные условия для Че сохраняют нид (6.10) и (6,10'), Решение урапч сипя (6.11) булем в свою очередь иска гь в ниле ряда: ЧЕ (=) = - — А, е 4- 4з.' — -' -" + ° (б 12) лая которого условие (6.10') уже удовлетворено.
Подставляя этот ряд в (6,11) и уравнивая коэффициенты прп одинаковых степенях е, найдем: п! А 18 ( Кроме того, очевилно, булат: при '= = О 0 = О. (6. 10') т!так, задача свелась к нахожденшо решения уравнения (6.08), удовлетворяющего условиям (6.10) и (6.04). Будем искать это решение в виле 230 тазвитик ткчзнпя вязкой жидкости в текила (гл. Наконец, подстзвляя ряд (6.12) с коэффициентами (6.13) в условие (6.10), получим следуюшее уравнегше для определения кп ю жа !03)из !097сю 1 — — + — — — '+ — '„— —...=О.
(6.14) 4 45 360 280 300-" 294 Кажлому пз корней гло лга, ш„.., уравнения (6.14) соответствует своя система коэффициентов (6.13) и, следовательно, свое значение функции Чт. В результате полное решение уравнения (6.08), удовлетворяющее условиям (6.10), предстзвптся в виде ряда ы щ о с '~'с е 'ли у (~) =о( с — ~ (6.1 5) Р!нтегрируя полученный ряд пачленно по и и принимзя во внимание условие (6.04'), будем иметь: ы= — ~~' сае ли фа(а), (6.16) где ( (с,ф, +с,фа+... +г ф +ы,)гд-' имел минимальное значение.
При этом в (6.17) м~ означает заданное выражение и при а=О (в нашем случае ые =26 — 1), а все подинтегральное выражение представляет собою квадрат разности ы, „ — ы„ где и, „ есть то значение <о в сечении г =О, которое дается решением (6.16). Заметим, что уравнение (6.14) не может быть удовлетворено при тч О. Следовательно, в(6.16) условие м=0 при з=оо будет выполнено. Остается уловлетворить первому из условий (6.04). Это можно сделать приближенно, ограничиваясь в (6.16) первыми н членамп и выбирая коэффициенты г так, чтобы интеграл $17) игг!влпжвнные методы Рдсчнтд 31 Таким образом, зздзча оказывается решепной.
Закон изменения давленая вдоль трубы можно найти из уравнения (6.06), где ол теперь известно. Получаемое таким путем решение будет давать знзчительные погрешности для малых энзчений г по двум причинам. Первая, как уже отмечзлось, вытекает из предположения о малости ы, сделанного при получении уравнения (6.08); эта погрешность может бытто правда, несколько уменьшена отысканием значения ы во втором приближении с пом,иные уравнения (6.07).
Второй причиной явлиется то, что при сохранении в раэлоткении (6.16) мзлого числа членов (в конкретных расчетах приходится ограничиваться олиии, двумя слагаемыми), условие в начальном сечении будет удовлетворено очень груоо. Поэтому при малых г значения ом даваемые формуламп (6.031 н (6.|6), будут весьма далеки от истинных. Бусспнеск, ограиичивзясь в рзэложении (6.1 6) од~шьг первым членом, изгнал из 16.14) тл, — 8 и после численных расчетов получил; Ы ы(х, ч) = — 8,2е Ни )гг ( — ~ . ,.-т',- (6.1 8) гле ф, (е) = 0,160 — '-+ 2 з — 2,222':з + + 1,778',-' — 1,102сь+ 0,56 | 8з — 0,242;-т+... (6,18') Заметим, что определенное с помощью (6.17) значение с, = 8,2 здесь очень грубо удовлетворяет условиго (6.04) при г=-=О, на что было укаэзно выше. Тзк, нзпрпмер, (6,18) дает ш(0,0) = 1,31 вместо оэ(0,0) =-1 по условииз (6.04).
Более точно закон изменения скорости на оси трубы будет даваться формулой (6.19) (т'.,)1 —..з = т',в -' — ' (уч (2 " е ) получающейся иэ (6.03), если в (6.18) определить с, тзк, чтобы условие (6.04) при а=О уловлет.ворялось точно. Необходимо заметить, что для зазчений г ' 0 и особенно при г, близких к Р, формула (6.!9) будет )же давать погрешности, значительно ббтьшне, чем (г.18). Закон изменения осевой скорости, опрелеляемый формулами (6.18) и (6.19), показан нз фиг, 35.
Там же нанесена экспе- 23'! РАзвитпг течения ВязкОЙ жидкости н тРуБА.' (гл, ч! риментзльная кривая, построенная по измерениям Никурадзе '). Как и следовало ожидать, прп малых з получается значительное рзсхожление между результатамп приведенного Теоре<ического расчета п эксперимента. Для значений г) 0 соответствуюи<пе кривые (нз фиг. 65 не показаны) должны строиться по форчулзм (6.03) и (6.18). При этом для малых г расхождение с экспериментальными данными оказывается еще более значительным. 11олученное решение позволяет приближенно определить длину начального участка. Для этого найдем то расстояние и и!за <! <а (4 ы <2 са <)з 04 ч:и!.
35, начиная с которого т<,„отличается от 2с<Р меньше, чем <с — — ! на 1",'а. Очевидно, это будет при е лн = 0,02. Отсюда для ллпны начального участкз получаем знзчение !. = 0,24А<)с, (6.20) достаточно близкое к экспериментальному, но, кзк видно пэ кривых на фпг. 35, песк!!лько его превышающее, Более точныЙ рзсчет с помощью изложенного здесь метода Гыл произведен Аткинсоном и Гольдштейном"-). При расчете н разложении (6.16) были сохранены первые два члена; кроме <ого, было вычислено ещй второе приближение путем полста- ') П<н<азаннзя на фиг, 35 экспериментальная нривзя взята на книги: Л. П ран д тл ь — О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
