С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 33
Текст из файла (страница 33)
ф 15, Приближенное интегрирование уравнений неустановившегося движения жидкости в пограничном слое. 1. Развитие пограничного слоя при течении, возникающем мгновенно из состояния покоя. В предыдущей главе рассматривались зздзчи об установившемся течении вязкой жидкосщг в пограничном слое.
Представляет несомненный интерес рассмотреть теперь, как будет развпватьсн движение жидкости в пограничном слгзе со временем. Мы начнем с ггзложения приближенного метода региения, аналопшного тому, который для случая установивгпегося движения был рассмотрен в ф 11'), Пусть какое-нибудь цилиндрическое тело, покоящееся в маловязкой жидкости, начинает в момент г = — 0 двигатьсн в нзправленпп, перпеадикулирном ооразующпм, с постоянной скоростью сза.
Будем при этом считать, что в начальный' момент во внешнем потоке мгновенно устанавливается распределение скоростей, соответствующее установившемусн безотрывному потенциальному теченпггз идеальной нгидкости, и что поверхность обтекаемого те;ш иредстзвчяет собою в этот момент поверхность разрыва, по одну сторону которой скорости жидких частиц вследствие прилппзнпя равны нулю, з по другую равны скороспг внешнего потенциального потока. Таким образом, мы пгзлагасм, что в момент г = 0 на поверхности обтекаемого тела огбразуется пограничный слой, толщина которого а ранна нулю. В последукзщее время влияние вязкости распрострзняется на слои жидкости, прилегающие к ') Излагаемые здесь н в и, 2 решения были получены Блазвусок (си. сноску на стр.
)47). йбй неустановизшгеся течение В погвхнпчном стое (гл. ч (5.01) п также функцию тоьз ф(х, т, 1), такую, что дЛ' ' У дх (0.0г) обтекаемой поверхности, и тол!цина пограничного слоя начинает возрастать. Считая, что дая внешнего потока остаатся справедливым уравнение Бернулли, н повторяя рассуждении, приведенные в конце п.
1 й 1О, придем к выво'!у, что в некоторый момент в кормовой части обтекаемого тела может пронзой1и отрыв погрз1пшного слов. В последующем точка отрыва начинает перемешзться вверх по течению, стремясь к некоторому предельному поло кенй!о, соответствующему данному распреденению скоростей во внешнем пол.енциальном потопе. Иззолкеинзя здесь картина развития со временем пограничного слоя по лтверждается как теоретическими расчетами, так и экспериментом.
Пользуясь уравнениями движения жидкости в пограничном счое, рассмотрим, как развивается течение жидкости в пограничном слое со временем; определим также момент начального отрыва и последующее перемещение точки отрыва. Последнее исследование при заданном внешнем потенциальном течении будет носить лишь кзчес!пенный характер, так как нзаичие Отрыва внесет изменения в картину внешнего потокз, что в свою о !средь ш<зжет внияние на харзктер перемещен!и точки отрыва и ее предельное положение.
Переходя к анзлпжшескому «сспедованинл рззвипи потрави !ного слоя, огрзнпчпнся первоначально случаем плоско-нераздельного течения и будем считать систему отсчйта, по отношению к которой изучается движение, связанной с движущимся тедом. Так кзк по сделанному прел!попожению тело движется поступательно с постоянной скоростью У, то выбранная системз отсчета будет ннерциальной.
Тогда дая течения жидкости в пограничном слое будут справедливы уравнения (4.08). Прп этом в той постановке зздзчп, которая сейшс рассматривается, заданная скорость течения во внешнем потенцизаьном потоке будет функцией одной только крнвопинейной координаты х, т. е. будет У= У(.с). Введвлл вместо у ,новое безразмерное переменное г1, полагая 8 15) пгивлижйнноя интгггиговлнив Углвнвнпй движгнпя 208 Введением ф мы сразу удовлетворнем уравнению (4.08'). Положим теперь, что для малых значений 1 функцию ф можно представить в виде следуюшего ряда, расположенного по степеням й ф=2 1г'Ф!Ао(х)уо(т1)+А~(х) Г,(г)1+...(, (5.03) где функции Аа(х),га(т1) должны быть определены так, чтобы было удовлетворено уравнение (4.08).
Замечая, что — '= =-у'(т1), — = — — у'(й). дУ (ч) 1, дУ (л) дУ 2 Г'тт где штрих означает производную по ти найдем из (5.02) и (5.03): и„. =- 4 а,г'о + А ~ У' ~) + ° (5.04) , =-- — г У'ч1 1 "и в У,-(-" — "'~, )-(-.. Л . (о04) Потставляя зги значения вместе с (У(м) в уравнение (4.08) и перенося все члены в левую часть, получим после умножения обеих частей равенства на 28 г А а ( т1 ~о + .,—,У о ) + ~ 2А е —" ( Ла /о — У е ) + -(-А, ( — 2у, '+и у,"+ —,, у~'~ -~-2и,— ~~ т-(-... =0, (50з) Из (5,05] видно, что уравнение (4.08) будет удовлетворено при любом законе изменении (У(с) и длн любого 1, если по- дожить А, = Ь, А, = и'„'~,... (5.06) и потребовать, чтобы г (и) удовлетворяли системе обыкно- венных дифференциальных уравнений: уз +2т1го =О, У! +2Ы вЂ” Ч =4(уа — азу — ') 50у) 204 неустлнОнипшееся течение В ИОГРАничном слОе [гл, и Будем ползгатгч что в любой момент времени г)0 для течения в пограничном слое выполнвотся граничные условия вида (4.27): прп 1=0 О =О =-О, при у=-ОО О =К Тогда, нз основании (5.04), (О.04') и (5.06), придем к слелУющим УсловиЯм длЯ уа(т!): при т,=О,Ге —— ,Ге=О, Г>=)'>=О,...
(5.08) при 8 = ск> 7а=!, 7> = — О,... Определив из (5.07) функции Гл(т!), уловлетворяющие условиям (5,08), мы нпйлем выражение т„н виде ряда (5.04), который будет сходиться при лостзточно малых значениях ( и давать такин образом решение поставленной задачи, Поскольку коорлннап,т в выражение (5.04) входит только через скорость внешнего потока (7, то в случае (Г=- сопя! зсе характеристики течения не зазвсят от л. Найденное такич образом решение будет давать закон нарастания погравичнш о слоя аля течения жидкости в.юль неогрюишеиной з обе г>лоронм плоской стенки, а не для случая оотекання пластины. Имея вырюкепие о„н виде ряда (504), оченилно, нельзя получить решение заазчи о рззештии пограничного слоя на пластине, обтекаемой по>оком шк, как >то показано на фвг.
26 (стр, !47). Перейдем к рассмотрению случшп котла (l является некоторой функцией от лп Ограничиваясь в разложении (5.04) первым членом, получим первое приближение, являющееся, как легко убедиться, решением уравнения (4.08), в котором отброшены все инерционные члены, кроме первого, т. е. уравнения Лент сл оу-' Сохраняя в разложении (5.04) первые два члена, получим второе приб>ли кение, соответствующее решении> уравнения (4.08), в котором в левой части вместо е„и О подставлены знзченпя, даваемые первым приближением, и т. д.
Рзссмотрим первые лва пз названных приг>лижений. Интегрируя первое из уравнений (5.07) и удовчетвория условиям (5.08) для 7'а, найдем: (5 Ог)) 7'а =-.= БН (;), 15) игиьлижяннок интяггигонлн1!я углзнений дзижения 203 где функция яерогпности ошибок Ег1(т1) имеет значение, указанное в формуле (3.57'), Отсюда, ограничиваясь в (5,041 первым членом разложении и принимая во вш~манпе (5.06), будем иметь: тГ,~ = У (х) Ег1 (т). (5.!О) + р ~- Ь (2г1з+ 1) Ег1(т1) + т1е — ' ~ (о.(1) (5.11) постоянные интегрирования а и р оиусловпям (5.08) для у, и имеют значения.' — — 1+ —.
~ = — 1,21221, 7 41 1 =- =-! 1 — 1- —,, := — 0,80364. Входящие в ределякжся по Ограничиваясь теперь н разложении (5.04) первыми двумя членаьш, иолу'шм второе приолиженпе з виде: ИУ . ю',.'=(7(х) Ег1 (т!)+У вЂ” Г; (т1) 1, (5.1 2) лх' где 7",(г1) дается формулой (5.11). Как видим, уже второе приближение имеет достаточно сложное аналитическое выражение, Определение последуюших приближений будет связано с чрезаычайно громоздкими расчатами.
Весьма утомительное вычисление третьего приближения было проделано Гольдштейном и Розенхидом '); дзльнейшие попытки никем не предпринимались Также открытым остаатся вопрос об области схолимости разложения (5,04). ') $. Я о1И в1е! и аии 1„К о хе и И е а а, Ргос. Сашиг. Р!и!.8ос., т. 32, !936. Первое и второе и1тиблих,ешгя пыли получены Блазнусом. Выражение (5.10) дает решение в первом приближении, справедливое для мзлых значений д Подставляя значение Га из (5.09) в правую часть второго из уравнений (5.07) и интегрируя, получим: 1 3 Гг = —.;Г(2г1з — 1) Ег(з (х) + —;..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
