С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 31
Текст из файла (страница 31)
ЗНР1етим, что найденное решение, кзк и решение (4.49), должно дзвзть результат, достаточно дзлекий от истинного, так кзк нзрзстзние пограничного слоя в дпффузоре вызовет заметное изменение законз течения во внешнем потоке, что в свою очередь ска1кется на положении точки отрь1вз. Подробнее об этом см. в главе И1. Все приведенные здесь расчеты 61ыли проделаны также в том случзе, когда в (4.63) п1„. определялось при законе т „ = Уз!п ( †,, т11, Результзты дзлп полное совпадение с теми, которые изложены выше.
Рзссмотренные примеры позволяют сделать вывод, что изложенный метод нзряду с простотой расчетов дает прп опредечении всех характеристик пограничного слоя достзточную для практики точность. 3. Расчйт пограничного слоя на теле вращения. Течение в коническом днффузоре. Изложенный метод легко рзспрострзняется нз случзй обтекания телз врзщен1ш потоком, нзпрзвленным вдоль осп симметрии тела.
Для этого обрзтпмся к урзвнениям движения в осесимметричном погрзничном слое (4.19) и (4.19"). Так кзк внд урзвнения (4,19) совпадает с (4.09), то его можно тзкясе представить в виде (4,60), Считня, что при у=О и =О, пз (4,19") будем иметь. и, следовательно, в с,чучзе осесимметричного течения будет т =и — нз — — ' '1 (-= —."+ — ) Вщ (4.72) дн дз,. ' Гдг„!7' х "дл ду 1 "ох )7 о э 13) РАсчЁт с помои!ыо пРпвлиж. УРАВнений движения !67 Граничные условия, которыми определяется значение о, и в данном случае сохраняют вид (4,6>1). Пользуясь теми же допущениями, что и в п.
1, замен!па уравнение (4.60) приближенньи уравнением (4.62). Для выпь слепня им зададимся опять законом изменения с „ в виде (4.63). Прн этом, полагая, что передняя часть обтекаемого тела является тупой, примем приближенно )т = )7о(х). Тогда, по.!стзвляя значение о„ из (4.63) в (4.72), найдем: — ии 3 73' >го! та = —. (18»о — 3т'+ т') — — с>о ! — „+ — ) 'м,' !6 1б ! о Ё!о,) ,>с', (бт!о — 7т>+ то).
Это выражение отличается от значения тп„в плоском течении только коэффициентом при последней скобке. Подставляя найденное значение тп, в уравнение (4.62) и дважды интегрируя, найдем аналогично (4.64); ГУ'ч /366 . 3 о 1 1 о — -Ц ~ (' г 8т!з+ ' т1А те ! те1 ! 16 ( 35 ' 2 !П ' ' 56 (4. 74) где и и 5 имеют ге же значения, что и в (4.65'). Интегрируя (4.74), найдем: х )>от>о 1 о (4,75] где постоянная хо имеет то же значение, что и в (4.66). Исключая пз (4.73),' с помои!ью (4.74), получим для закона распределшшя скоростей в пограничном слое вырюкение, в точности совпадающее с (4.67).
Формулы (4.67) и (4.75) и дак>т решение поставленной задачи. Прп этом, как легко видеть, напряжение трения будет определяться формулой (4.68), а место отрыва — условием (4.69). Таким образом, как и для Отсюда, используя условие: прп т1=! П„=(7, получим для определения ', уравнение 18) глсчьт с помощью игивлиж. зглвнвний движеиил 189 Эависимость, даваемая формулой (4.79), представлена графиком на фиг. 29.
Для определения места отрыва пограничного слоя используем условие (4.69). Так как с †. У"„ то, подставляя в(4.69) значения У и,", из (4.76) и (4.78), ирилем к уравнению (М'" '= "ф р. М'" ' — +'ф(2, 6). го / Озсюда найдем для координаты места отрыва значение ха —— 1,102 ге (4.80) или х,=0,102 бм (4. 80') где х,— расстояние точки отрыва от входного сечения, л Сравнивая это значение х, с тем, которое формула (4,49') дает для плоского диффузора, мы видим, что ири одинаковыя а и га отрыв в коническом диффузоре ироисходит на расстоянии, ад которое примерно вдвое ближе к входному сечению.
чем в плоском. Этот результат вполне Ь естес~вен, так как в коническом диффузоре падение скорости 1 ироисходит быстрее. При конечной длин е диффузора 7 можно, беря ук, х, т. е. 7(0,102 гм дооиться того, что точка отрыва выйде~ за Фиг. 29. пределы диффузора и последний будет безотрывиым.
11ри этом, очевидно, угол я датжен быть достаточно мал. Если обозначить радиус входного сечения и и считать ввиду малости я на=ген, то предыдущее условие примет вид: 7 ~0,102 — ~. 190 устАновиашьесн течение в НОГРАничном слОе [гл, !ч Для такого дпффузора можно, пользуясь формулой!4.79), подсчитать потери на трение. Прп малом а величина полной силы трения о поверхность лиффузора ллины / будет равна: (+.) Г=2пг,а ~ тх!Егх„ 1 (4.81) где т„ берется из !4.79). На фиг.
30 зависимость, даваемая формулой (4.81), представлена графически. Аналогичным путем может быть произведен расчет иограничй ного слоя для случая сходящегося течения !конфузор). кз г Решение рассмоау~~дг'О! тренной здесь задачи о !!в! йг течении в пограничном слое конического диффузора моя!но еще пор рр7 рра рра. раз й! г, лучить' применяя метол, изложенный в Фнг. 30. и.
1, непосредственно к уравнениям в сферичеРезультаты, естественно, получаются те ских координатах же самые. й 14. Пограничный слой на вращающемся диске. Рассматриваемые ниже две залачи представчяют сооою известные примеры расчета пространственного пограничного слоя. С проблемой подобного рода приходится, например, сталкиваться при опрелелении момен~а снл сопрою!влепив среды, действующих на ротор гироскопа. Для решения воспользуемся прнблнжйнным методом, в известной мере аналогичным тому, который был рассмотрен в предыдущем параграфе.
Все результаты получаются прн етом достаточно просто и дают вполне уловлетворительну!о лля практики точность. ф 14] погглничный слой нл вгли<лющю<ся диска !9! 1. Сопротивление тонкого диска, вращающегося в неограниченной вязкой среде. Рассмотрих< тонкий диск радиуса 7<<, помещенный в неограниченную нязкую срелу. Пусть этот писк вращается с постоянной угловой скоростью ш, вокруг осн, перпендикулярной плоскости диска н проходящей через его центр. Найдем возникающее при этом сопротивление вращению лиска, пренебрегая влиянием его краев, т. е. так называемым краевым эффектом '). Для изучения движения воспользуемся цилиндрическими коордпнзтамп, начало которых поместим в центре лиска, а ось Оз напрзвим вдоль оси вращения.
Следуя идеям теории пограничного слоя, будем считать, что диск приволит вместе с собою во вращагельное движение только некоторый достато<но тонкий слой среды. Вне этого слоя среда вращательн,<го движения не имеет н давление в ней в направлении радиуса неизменно. Так как распределение давлений в пограничном слое полагается совпадающим с тем, которое имеет место во внешнем потоке, то, слеловательно, и в слое будет - — =- О.
др д<" Изменение давления в направлении Ог вследствие подсасывания жидкости к вращающемуся лиску будет при этом иметь место; олнзко опрелелением зависимости р(а) мы в рассматриваемой зада<с заниматься не будем. Движение среды в пограничном слое описывается уравнениями (1.47), в которых только будут отсутствовать массовые силы и произволиые по ! и по <р, так как течение считается установившимся и симметричным относительно оси вращения, Для решения задачи воспользуемся, подобно тому как это было сделано в предыдущем параграфе, вместо полных уравнений движения приближенными, учитывающими влияние инерционных членов лишь частично. При этом, имея в виду плавность течения в пограничном слое диска, заменим стоящие в левых частях уравнений (1 А7) компоненты ускорения частиц срелы их среднн<т по толщине пограничного слоя значениями ') Задача зта была поставлена н првбхнженно решена Карманом (Ка<шаи ть., Ле!ысьг.
раг авйеч<. мз<ь. иид месь., т. !. 1921, с<Р 244; изложение решенкя см. в кни< с Л. Г. Л< йнзнского «Аэродинамика пограничного слоя», стр. 218), Уточненное решение путем и<- сданного ннтегрвровани» подучил Ковран (С осй гав '<!<. С., Ргос. СашЬг.
Рьи, йос., т. 30, !934, стр. 365; см. также книгу «Современное состояние гизраззродинамнкн вязкой жндхостя», т. 1, стр. !22). 1ОЕ УСГАИОВиашееся течение В пОГРАничнОм слОе [Гл. 1ч (идея такого способа частичного учйта инерционных членов принадлежит проф. Н. А. Слезкину' ). Тогда рассматриваемые приближенные уравнения можно будет представить в виде: д ~ 1 д(го,) 1 дог', 1 др дг) г дг ) даэ Ндг - ~ — — '1-)- — ':= — — -)- (г), 1 д ~! д(го„)1 д оо дг (г дг 1 ' дао 1 д(гол доо — — '-+= =О, дг да (4.82) Где обозначено о 4(г) =- —. ) (о — '+ о ога,) 'дг ода г 7' о (4.82') В(г)=- —,~ р — — '+О "- 1 огз д' (, ' дг а да о а) См.
Н. А. С л е а к н и и С. №. Т а р Г, Дока. Акал. наук СССР, т. (.!Ъ', № 3, 1946. Третье из уравнений системы (1.47) опущено, так как оно служит лишь для определения р(е); коэффициенты г при ( и В в уравнениях (4.82) введены лишь для упрощ«ния получаемых ниже выражений. Прп установлении граничных условий примем, что иа внешней границе погршшчного слоя скорости частиц среды могут иметь направление, только параллельное оси вращения (эта составлвгощая скорости сохраняется вследствие наличия подсоса), и что основная компонента трения т на этой границе равна нуле. Кроме тою, полагаем, как обычно, что среда прилипает к плоскости диска. Тогда будем иметь: при а=О и,= — О, оэ=оаог, т~ .=О; до.
(4.88) при г==:8 П,=О, Оэ=О, --'=-О. Заметим, ч го в рассматриваемом решении условно оэ = о, = О и та, =то,=о при а=о одновременно удовлетворены быть не могут, Поэтому мы сохраняем при т=-3 условия, указанные в (4.83), как основные, 1.1) поггхничный слой нх вгхшх«зшвися диск~ 111З Исходя из особенное~ей задачи, будем исьзть частное решение сисгемы (4.82), удовлетиоряюшее условиям (4,83), в виде: тб=г~, (г), о, =гУя(я), 'и,-= з(я) (4,84) Подставляя зтп знзчения в (4.82) и принимая во ннимание, что в рзссматрпввемой задзче — = О, придем к следующим др дг урзвнениям: уг(г) = Л, )г(я1 = — В, 27~ (г] +-.6з(я) =- О, (4.85) где иприхи означают производные по ю Так квк н первых двух уравнениях левые чести являются функциями только -, а Л и В могут ззвисеть только от г, то отсюда следует, что в данном случае А и В будут постоянныгш.
Звметим однонременно, что выражения (4.84) удовлетворят условиям (4.83) только прп г = 3„ = сопв1; вывод о постоянстве 8 следует, впрочем, и и~ нида получаемых ниже решений. При укзззнных условиях интегрирование системы (4.85) не представляет ннкзких затруднений, результатами, уловлетворянзшимп всем гршшчным )словпям (4,83), будут: 1 у, =.= — —,, Айо (з~ — з(), ! з, з уз= . Айо(3я( — 2яг) 3 Уя ==- гче (1 — Я~)з, (4,86) Йм В== = где дли со«решения записей обозначено: г,= — —, е (4. 86') 40 ч Л = — Аво„' — 8го-", 20 я =.= — Лйю 4 Ог сюдл находим: А.= — = —, во=3,50 $' 15 (4.87] 13 с, м. тарг Для определения остзвшихся неизвестнымп величин Л и носпользуемся раненствами (4.82').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
