С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Нзйленные таким путем т„, й' и вх !у) и будут, ио сделанному изми допущению, лазать значения этих величин з том сечении обтекаемого контура, которое определяется коорлинзтой х. Место. отрыва будет определяться при этом чег< значением хн лля которого '- = 0,120. Изложенный метод был иримеисн лля определения нес<а отрыва при обтекании эллиптического цилиндра с отношением полуосей 2,9б:1. Закон распределения давлениИ п место отрыва на указзнном цилиндре были найлены экспериментально Шубауэром '). Е'асчеты, произведенные Хоуэрзох<, дали для точки отрыиз значение х,= 1,925, что лон«лино близко полходпт к экспериментальному значению х, = 1,99. 9 12.
Приближенный расчет пограничного слоя с помощью интегральных соотношений. 1. Приближенный расчет пограничного слоя на плоской пластине. Метолы расчета потри<и<чного слоя, примеры которых рассмотрены в прелылун.ем параграфе, связзны с довольно больишми и слил<ными вычислениями. Несколько более простое, хотя не всеглз достаточно точное Решение лает метол, основанный нз использогзнии вместо полных уравнений лвижения соответствующих интегральных соотношений, Идея методз состо<ы в том, что мы наперед залаемся видом профиля скоростей в пограничном слое, полбирая его так, чтобы он уловлетворял соответстьуклцим граничным условиям и одноз<у или нескольким интегральным соотношениям.
Произвол з выборе профиля скоростей предстзиляег одно из слабых мест метода. То <ность решения зависит в конечном счете от того, насколько у'да що будет ') С<. 9 си и из и е г, !чАСА Кер. Л<з б27 1939 11* !64 хстлновпвшкгся течения в погглнпчном слоя [гл. ш выбран профиль скоростей и в какой мере верно он будет отражать истинное распределение скоростей в пограничном слое. Рассмотрим сначала приложение метода к простейшему случаю обтекания пластины. Обозначим, как прежде, скорость набегающего на пластину потока ие (ие — — сопя(), а толи»пну пограничного слоя е, где е — подлежащая определению функпия от х. Предположим, что профиль скоростей в пограничном слое может быть представлен многочленом ., = и, чР Л„у', где Л»(х) должны быть подобраны так, чтобы были удовлетворены соответствующие граничные условия. условия эти могут быть заданы в таком виде; —,-'- = — О, —.~ = 0; (4.
43) ири у=Оп =О, да» п у — 3п =.и,, '~""=О, „"=О,... (4Л3') О» ' дуа Прп этом второе из условий (4.43) дается уравнением (4.09), если заметить, что ирп у=О о =о =0 и что в нашем случае и'= — О, а третье пз этих условий получится также из (4.0)), если это уравнение предварительно иродифференцировать ио у. В условиях же (4.43') первые два означают, чго на внешней границе слоя скорость полагается равной скорости внешнего потока, а трение отсутствуюишм; последующие условия вводят иногда как требование того, чтобы переход к скорости внешнего потока был более плавным.
Для уяснения хода расчета рассмотрим, например, случай, ко~да и,= 4»+Л~у+Лауа+Л,уа. Используя первые два пз условий (4.43) и первые >ке два из (4.43'), определим значения Л» и найдем: (4,44) 12) пРивлпнайпный РАсчет с пОмОщью интегР сооти 165 ВыРаженаае Ох пРинимает пРП этом вид: Ох= (аз У (та), где у — что, впрочем, можно б>ыло предвидеть п заранее. Напри>ааенаае силы трения иа пластинке будет тогда равно: (,ду)у=о ' *' а Чтобы довести решение до конца, остается определить О(х). Для этого подставим найденное значение Ох в инте> ральное соотношение (4.14) ').
Замечая, что ') О„«у= —,, и„-"3, „"„«у= —', ид а о придан к уравненшо , «6 280 а " «х 13 иа Отсюда, ползгая прп х= О 3 = О, найдем: . /,Х Рг(Ге 3,1 64 ~>> аа та=О 323 1>г д Х Таким образом, задача оказывается решенной до конца. Совершенно аналогично производятся соо~ветствующие рзс а' четы и при других видах зависимости О от т> — — —,. К.
Поль- Х гаузен а), впервые проделавший такого рода вычисления, представшш О„в виде миогочленов первой, второй, третьей п четвертой степени от та, в последнем случае было дополнительно использовано третье из условий (4.43'). Г!роф. Л. Г.
Лойцянскпй а) рассмотрел случай многочлена шестой степени, используя при этом все трп условия (4.43) и четыре устовкя (4.43'). Проф. Л. А. Космодемьянский 4) в своих рас-. ') Вместо !4.14) лаожно взять любое другое аз соотношений (4.!3). Соотношение (4.14) является наиболее простым ио форме н лает прн расчате достаточную точность.
1921, >) К. Р О П1Ь а иве и, уеиас!». 1пг аий. Майн а>па( Меси„т. 1, а) См. аышецнт. каа>агу Л. Г. Лойшяиского, стр. 66. 1934. ') л А. Космодемьянский, Ученые записки МГУ, № 2, 166 устлновившееся тгчение В пОГРАничнО)! слое ! Гл. Иг ЧЕтаХ ИСХОДИЛ ИЗ ПРЕДСтаВЛЕНИЯ Ох В ВИДЕ: т>х= (>В З!И ( — „Г!) Опуская выкладки, которые читатель легко воспроизведйт сам, приводим сводку соответствующих результатов в таблице У1, Последняя строка таблицы У! дает величину огносительной погрешности н определении тв ио срзвненин> с решением, даваемым формулой (4,31). Рак видим, в последних четырех случаях точность приближенного решения оказывается вполне удовлетворительной, особетю в случаях 5 и б. Ч>о касаетсз значения К то оно сильно зависит от вила у (т!).
Условный характер агой величины не позволяет определять с ее пом» иыо точность решения; величину з здесь следует рассматривать скорее как параметр, с помощью которого определянлся все другие характеристики пограничного слоя. Как уже отче шлось, вместо (4.14) л>ожно пользоваться дружна интегрзльнымп сооюн>шениячи, или несколькими нз нпх одновременно. В частности, беря > (5) в виде У( ) 1 (1,)в и (1 «)в и удовлетворяя одновременно сооюшшениям (4.14) и (4.15), легко найти для парсметра а и величин 3 и тв значения: .х ГГ РЕ!>в а = 1,143, 6= 5,603 $>> — и тв — 0,3314 1>г Послелний результат почти совпздает с точным решением.
2. Пряблнжйнный расчет пот»аничного слоя на плоско>а криволинейном контуре. Рзссмзтривзя задачу об об>текзнии произвольного контура маловязкой жидкостью, будем, как прежде, считать скорость течения иа внешней границе слоя (>'(х) заланной. Ввелем для сокращения последук>щих записей обозначения: ~(х)= —, ) (х)=(l'(х) — =(У', (! 45) и положим, что и в данном случае распределение скоростей в слое имеет вид: т>„= (.(у(г!). $ 12~ пгннлижйнный глсчйт с понощью пнткгг. соотн.
1гу о 1 158 гстлновпгшеесв течеш!е В погглничном слое (Гл ° ш Граничные условия, используемые для определения 7(г), булут: при 71 — 0 Г.—.= О, /' == — Л, Г"' = О, (4.48) при г=.1,'==1, 7 =О, Г =О, ! где штрихи ознзчшот производные по в. Условия (4А6) вытекают из (4.43) и (4.43'); при этом принято во внимзниг, что в данном случзе (7' ='- О, вследствие чего урзвясние (4.09) при г)=О лает /" = — 'л.
Рассмотрим решение, основанное нз представлении 7'(г1) в ниле многочлена, причем остановимся, кзк это было сделано К. Польгаузеном, на много пене четвйртой степени. Удовлетворяя тогда первым двум из условий (4А6) нз стенке и трем — иа внешней границе, получим: /12-3-Л Л А — в 3 3 Ь вЂ” Л л т .==(7:.— 'г — —, г — —,— гз — '; —.
гл~. (4.47) г Л О ! ~ Г Подстзнляя это значение пг в интегральное соотношение (434), придем после несложных расчетов к следующему дпфференцизльному уравнению первого порядка: ~ГС «О) (7" — --:= ' — + — Г(Л), л (1 (7'"" где ин (8072 — 16704) + 47, ЗЛЕ ДГ Лз) сП) =- --' (12 — Л) (1),76+ .Л (4.48') Уравнение (4А8), которое служит для опрелеления "„з слеловзтельно, и о, является нели ней н ым. Лля каждого данного обтекаемого контура, т. е. длн данного (7(х), это урзвнение должно Г>ыть проинтегрнронзно тем или иным графическим или численным методом. Это обстоятельство в знзч~лтельной мере услолсняет расчет и снижает практическую ценность метода.
Пля интегрирования (4А8) необходимо иметь какое-нибудь начальное значение ~. Примем зз начало отсчета расстояний ш перезнюю критическую точку, Тогда ири х= О будет (7=; О и [/') О. Тзк кзк из физических сообрзженин следует, что 8, а значит,"', и нигде не должны обрзилаться в бескннечность, то из (4А8) вытекает, что должно быть л(Лз)=АЛ, 12) пгизлпжкнный глсчйт с помощью интвгг. соотн. 109 где 1р — значение х при х=О. Решая соответству>о>цее кубическое уравнение, пай>ем, что его корни будут: 7,052; 17,75 и — 70 Последний корень не годится, поскольку он дает прп х= — О О'(О, что находится в прож>воречип с условием, указанньш вьш>е.
Если допустить, что 'хр- — — 17,75, то тогла при перемещении от х.=О до тгщки лини>р>ума давления, тле У =О и, следов;цельно, «=0, мь> пройдем через значение « = 12, ири котором, как вилно пз (4.48'), будет ау= со, а это по предыдущему невозиоза:о. Слсловательно, иеобхолимо принять: прп х=О ), =7,052 7,0рй пш чр ПБ " -= ~Г~О> При этом прав>я часть (4.48) в точке х=-О обращается в неопрелелйнность, раскрывая котору>о, найдем дополни- тельно при х = 0 „"', =-= — 5>.80!вЂ П "(О> (7' й» Имея указанные значения .р и ч', при х=О, р>о>кно ш>тсгрвровать уравнение (4.48) графически или шсленно ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
