С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Точно так же, полагая в (4.20) !!=1, получим обобщение на случай осесиьшетричиого слоя интегрального соотношения, ланного акад. Л, С. Лейбензоном. Если передняя часть обтекаемого тела является тупой, то, обозначая радиус любой из параллелей на обтекаемом теле через )та = гга(х) (фиг. 25) и имея в виду, что прп этом порялок Й вЂ” й, равен о, можно во всех предыдущих уравнениях, сохраняя точность, приняту!о при их выводе, положптвс )(!=1А!а(х). Полученные выше интегральные соотношения при этом упростятся, так как величину )са можно будет вынестп изпод знака интеграла.
В частности, вместо (4.21) будем иметвс ! 6 ь д д (' Г'е à à — ) паду — и — ) ° ду — — ~1(и — Л) !'1.= дх 3 ~ !!„1,1 'о о о = (Лрд — У ( — " —" ), (4,22) ! дУ,! У =а' 1 так как сохраненные слагаемые имеют порядок —,, а отбро- 1! ' 11 д!г щенное — порядок —,~порядок — равен 1); после умножении а ду на Р, имеющее, как видно из (4.02), порядок о-', этот отброшенный член дал бы величину порядка д, а величины такого порядка при получении уравнения (4.19) отбрасывались, Г1олагая в (4.20) /г = О, получим соотношение ! д!-„дГ дл 1 '!.А(!"У вЂ” ((,—, ~ ОЯНУ= о о 146 хстхновившхвся твчвнив в погеанпчном слов (гл. ш В качестве примера найдем таким путам для осесимметричного течения интегральное соотношение вида (4.18).
Согласно излох<енному для потока с У(х) это соотношение будет иметь впд (4.!8), т. е. + — (28 аж+ а в) л~ ггл Замечая, что на основании (4.25) н (4,23) х(()ге ) лх )со „! па * и'й ! (у е айа* дх ах лх й2 Ро лл ' дх дтекх ' и заменяя с помощью (4.25) значения 8 а, 8 за и т, в остальных члензх, найдем окончательно: 3 вя + — (28* +гч)+58 * — — 0 (4 26) к и жо РОх Это и будет соотношение вида (4.18) для осесичметричного пограничного слоя, которое можно, повторяя выкладки п.
3, получить непосредственно нз (4.21), Как мы видели, решение задач теории пограничного слоя сводится к интегрированию при соответствующих граничных условиях систем уравнений вида (4.09) или (4.19), в которых основное уравнение является нелинейным. Практич ская важность задач теории пограничного слоя, с одной стороны, и матемзтические трудности, связанные с проблемой непосредственного интегрирования уравнений движения с другой, породили большое число исследований, посвященных различного рода приближенным методам решения задач теории пограничного слоя. При этом все известные методы решения можно по существу разделить на следующие три группы: !) непосредственное пнтегрпровзние п о л ны х уравнений движения путам применения тех или иных численных методов; 2) построение приближенных решений с помощью интегральных соотношений; 3) интегрирование п р и б л и ж е н н ы х уравнений движения, получаемых из полных путам частичного учета инерционных членов.
Ни объбм, нп назначение настоящей книги не позволяют нзм уделить место рзссмотренпю всех известных методов рас- игиисвы численнОГО глсчегх чета пограничного слоя. Однзко те яз иих, которые будут рассмотрены ниже, лздут достаточно полное представление о каждом из упомянутых трсх основных направлений исследований в области теории лзминзрного погрзничного слоя и о способах решения отдельных конкретных задач, й 11. Примеры численного расчйта пограничного слоя с помощью полных уравнений движения. 1.
Расчет пограничного слоя на плоской пластине. Рассмотрим тонкую пластину ОА, обтекаемую потоком мало- вязкой жидкости, текущим пзраллельно осн Ох с постоянной скоростью (з'„ (фиг. 26). Считая движе- м/ Д ние установившимся, произведем расчет иогрзничного слоя нз плзстине. Рассмотрим решение, Фнг. 20. почучзющееся путем непосрелственного интегрирования уравнений (4.09), прелложенное Блззиусом '). Полагая, что жидкость ирилппзет к илзстинке, и считая, что скорость в пограничном слое переходит в скорость внешнего потоки зсимптотически, примем следукзщие граничные условия: при у=0 о„=о =0; при у=со о,=Ум (4.22) Последнее из условий (4,27) означает, что мы урзвнения (4.09), спрзведливые лишь внутри погрзничного слоя, фзктически рзспространяем нз всю облзсть течения. В случае оотекзния плзстины это окззывэется вполне опрзвлзнным. Действительно, уравнения (4.09) отличэются от уравнений (4.04), спрзвеллиных в случае обтекания пластины во всей облзсти течения, лишь тем, что в первом из них отброшен один из членов, зависящих от вязкости.
))о во внешнем потоке влияние вязкости столь ничтожно, что им можно вообще пренебречь. '1 Н. В1зз1из, 2епзспг. Рзг Ызгж ииб Риуз., т, бб, 1903. Излагаемый инже метод ннтегрнровзния был предложен Тепфером (Т о р ге г, Еейзспг. гиг Ма11ь иид Рпуз., т. 60, 1912). 1О' !48 УСТАНОНИНШЕЬСЯ ТЕЧЕНИЕ В С1ОГРДННЧНОЫ СЛОЕ [ГЛ. ПГ При этом одновременно булет удовлетворено уравнение (4.09'). 'г!з сделанных ранее оценок следует, что в пограничном слое у имеет порядок 1,' —; . Можно поэтому предиолонсить, о'а ч то в ра сема тр и ваемо м случае ( (/ = со пз1) о„ бу/сот функцией одного только безразмерного из р а м е т ра /й, Послелующие рзсчвты покажут, что это лействптельно так.
Тогда, так как — '= [,' — а, то, чтобыбылоо =(/,с[>(г) следу [ кх' а дует поло;нить Ф [' ~(/а к/(гс) При этом будет. и„=(/а/'(г,), о = —,, [т — [гс/'(й) — /'(тс)[, (4,28) 1,' ~Ц) производную ио зс:аченпя в уравнение (4.09) и замечая, (/= (/„= сопз1, найлйм после неслоясных где штрих означает Полстзвляя эти что в данном случзе преобразований. //' —,'- 2/" =- 0. (4.29) Что же касаетсн распределения, давления, то, так кзк злесь (/=сопя!, оно будет постоянным во всем внешнем потоке.
Заметим, однако, что условиями (4.27) пользуются и в тех задачах, где рассматривается обтекание криволинейного контура. При этом, очевилно, последнее ич названсмсх услошсй булет носить приближенный характер, потохсу что, кзк видно па (4.! 1), вэтом случае, если положиться оо, нельзя считать, что давление на обтекаемом контуре равно давлению ка внешней границе слоя.
Фактически в (4.27) нместо у = оо следовало бы полагать у =у,, считая, чтоу, — ординатз точек, где практически имеетместо чисто потенциальный поток. Только быстрое приближение и к еа аспмптотическому значению (/ позволяет нзч здесь приближенно полагать у= оо вместо у=у,, Вернймся теперь к рассчатриваексой задаче. Ввелам функцшо тока ф, полшзя дй дй о,= — ', о сбг' Р дл ' 1!] пгимегы численного Рлсчьтх 149 Таким образом, задача сводится к интегрированию обыкновенного лифференшюльного уравнения третье~о порядка, решение которого должно удовлетворять вытекающим из (4.27) и (4.28) условиям: прп т! — — 0 /=у'=О, при т=оз 7'=1.
!1скомое решение можно представить рядом, которому для удобства последующих расчетов, придзлим вил: 7' (71) =,— т! -1--,л т!з+ — т,~+... Лыко видеть, что условия при т1- — — 0 злись уже удовлетворены. Из входящих в (4.30) козффициентов из =/" (О) явлнется подлежащей определению постоянной интегрировшшя, а А, А„... должны быть подобраны так, чтобы ураннение (4.09) удонлетворялось при лн>бом г). Лля определении соотвезствующих значений А, Ам ...
подставляем ряд (4.30) в уравнение (4.29) и приравниваем суммы коэффаииентов при одинаковых степенях т нулю. Найденные таням путем значения г!а, Ао...вносим в (4.30) и получаем; — 3 5 375 / (т) = з — !лт)а — — (ат!)' + — (ат)' — — (ат)и+ 27897 — ':: —" — (дт1)ы —... ] =27'(!) 18 14! где: =- ат,. Отсюда находим: г" (т1) = азе' ('.а). Численный расчет позволяет убедиться, что при т) — оо Г (т)) стремится к предельному зпа ~еншо Г (оо) = 2,0834.
Тогда, замечая, что по последнему из граничных условий /" (оз) =1, будем иметь: 1 2,0354 ' откуда /" (О) = аз==0,332. Таким образом, решение задачи доводитсядо конца. установившееся течениР В пОГРАничном слОе (Гл. !у 150 Так как вся теория пограничного слоя относится к большим (тх числам Я, а в нашем случае Я = —, то получеиныв резульр таты не будут годиться лля малык х, т. е. для переднего краи пластины.
Произведя соответствующие расчеты, можно найти для величины у'(т!) = — ": значения, приведенные в таблице !1 '). Ьр Таблица П 77~ ч 17 (ч) 77Е!~ ч 0,5168 3,2 !Р,5748 3,4 0,0298 ~ 3,6 0,6813 3,8 О,ОООО',! 1,6 ) 0,0664 1, 1,8 0,1328 ~ 2,0 0 0,2 0,4 0,6 0,19Ь9 !! 2,2 0,7290 4,0 0,7725 ! 4,2 0,8115 ) 4,4 0,8460 ;~ 4,!1 Г!олученное решение позволяет определить напряжение силы трения иа пластине: )Г Подставляя сюда иайпзнное численное значение г" (О), будем им*тес (4,31) Г = 20 ! т, р(х = 1,328 Ь у' )рр П4 !! привезенные и таблице численные значения 7" (ч] взяты нз ситиррныниой ир стр.
21 книги «Совр. сост. гидроазродин. вязк. жидкосрир, т. 1. Полная сила сопротивления иа участке пластины длиною 7 и шириною 79 если учесть, что она омывается потоком с двух сторон, будет: $11) ПРИМЕРЫ ЧИСЛЕННОГО РАСЧЕТА 151 Оценим теперь «толгцину» пограничного слоя. Численный расчет по формуле (4.16) дает в данном случае: е е=1,76 1 1 и, Если считать верхней границей погрзничного слоя то расстояние от стенки, на котором о = 0,99 6'ы то тогдз, кзк видно из х таблицы 11, можно приближанно положить о=3е* илп 05 г 5 Фнг.
27. расчета как между собой, так и с экспериментом следует оценивать илп непосредственно закон распределения скоростей или величину т. Профиль скоростей в пограничном слое по данным таблицы 11 изображен на фиг. 27. Результаты приведенного здесь теоретического рзсчехз довольно хороиио подтверждаготся экспериментом. (Эксперименгзльные данные для сечений погранично~о слоя, достаточно удаленных о1 перел- него края пластины, показаны нз фиг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
