С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 21
Текст из файла (страница 21)
(3.80) т(Ь н ',! — !в ь=г ~ Заметим между арочим, что если положить Ь=О, то уравнение (3.77) превратится в Л,(х) = 0 и, следовательно, Т заменяется на агс Так как, кроме того, г',(0) = сю, то, следовательно, при Ь = — О выражение (3.80) перейдет, как и следовало ожидать, н (3.70) предыдущей задачи.
Умножая, наконец, обе части (3.80) на 2иа А" и интегрируя ио з от 0 до Н, где Ь7 — глубина погружения трубы, Наконец, на основании (3,21) найдем, заменяя в (3.76) соответствующие цилиндрические функции пх разложениями в ряды, что я,=!. Тогда, подставляя все полученные значения в (3.22) и принимая во внимание (3.54), получим следующий закон рзспределения скоростей в срезаемом вязком слое; 8 9) поггкжаниа пластины и телы в вязюю сгвдт !25 найддм величину полной силы трения на внутренней поверх- ности: ~т Г= 4ираа(7» ~ —,, 1 — — -7 Ь 1,1 — е "а ! (3 81) у! —,~»() а Полное сопротивление погружению трубы будет равно тч+г.„где Га дается формулой (3.73).
Для вычисления Г необходимо знать "(, — корни уравне- Ь ния (3,77) нли, что то же, (3.78). Если величина — близка к единице (срезаемый слой тонок), то значения «» оказываются очень большимн и могут быть определены приближенно, если заменить входящие в (3.78) цилиндрические функции их одночленнымп асимптотическими разложениями ~); Г а,г»а 3 (х) ~/ — сов х — — — — ', У хх ( 2 4/' / г у (м) = — т,' — "а!п ( м — —,' — — ") ()г = О, 1, 2... ) . (3.82) (3.83) л ! — з!н ~т» — — ) 11 ! т» сов / ~а 47 ') См.
О. Р. К узь ми и, выше цнт., стр. 78. Подставляя значения (3.82) в (3.78), получим; с!и («» — — ) = с!и — «„— — и ~ ~а " 4 откуда 2» — 1 в «»= 1 —— а Формула (3.83) булет определять значения «тем точнее, Ь чем — ближе к единице, т. е. чем тоньше слой. а Рассмотрим в заключение случай срезания очень тонкого слоя. В этом случае, как видно из (3,83), значения «будут очень велики п стоящие в (3.81) цилиндрические функции можно будет заменить пх асимптотическими разложениями (3.82).
Тогда получим: 126 нетстанозившився течения вязкой жидкости (гл. ш так кзк на основании (3.83) соз 1 — у — — '~ = соз ~ у — — ' — (2й — 1) — ~ = 1а а 4у ~ а 4 . 2~ 4 У' =( — 1) ~5!и Подставляя в (3,81) значения соответствующих величин из (3.83) и (3.84) и вводя А=а — о, найдвм следующее приближенное выражение для силы трения на внутренней поверхности трубы в случае тонкого слоя; "=-, ри"(у'2. (2а — 1' ~ 1 — ',,".""" "~ . (3.85) а=1 Если, наконец, ко~да погружение будет достаточно большим, пренебречь ввиду малости Ь вторым слагаемым в квадратной скобке и приннть во внимзние, что ') ! а=! (йа — 18 8 ' то будем иметгн Г = 2пралс/а (3.88) Последний результат указывает, что при срезании очень тонкого слоя сила сопротивления трения на внутренней поверхности трубы равна секундному количеству движения прилипающего к атой поверхности счоя вязкой среды. Как отмечалось выше, это совпадает с результатом, получающимся из (3.72) прн Н- оо.
Заметим в заклк~чение, что найденные в настоящем параграфе решения могут быть в первом приближении приложены к случаю погружения трубы в вязкий грунт. 8 См. 1!. М. Р ы ж н к, выше лнт. таблнны, стр. 245. ГЛАВА !Ч. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ. ф 1О. Уравнения движения вязкой жидкости в пограничном слое, 1. Пограничный слой. Многие жилкости, с движениямп которых приходится часто сталкиваться при решении практических задач, облздают очень малой вязкостью; тзковы, например, вола, воздух (см. табл. ! на стр. 22). Если одновременно размеры обтекаемых тел и скорость течения не очень малы, то мы будем получать течения с лостаточно большпмн числами Рейнольлса. В этих случаях, как показывает опыт, влияние вязкости сказывается лишь вблизи самой обтекаемой поверхности.
Это обстоятельство было в свое времн отмечено еще Д. И. Менделеевым в его капитальных исследованиях, посвященных сопротивлению жидкостей и воздухоплаванию (!880 г.). Влияние вязкости вблизи стенок оказывается существенным, по той, также устанавливаемой опытом причине, что даже очень мало вязкие жидкости сохраняют свое свойство прилипать к обтекаемой поверхности, в то время как жилкость, лишенная трения (идеальная), лолжна вдоль этой обтекаемой поверхности скользить. Таким образом, основываясь на данных опыта, чы приходим к следующей картине обтекания плавно очерченных тел маловязкой жилкостыо: на обтекаемой поверхности жидкость прилипает к телу, затем, по мере удаления от поверхности, скорость жидкост11 быстро возрастает и на некотором расстоянии 3 от поверхности принимает значение, равное практически тому, которое имела бы при обтекании данного теча жидкость, лишенная трения. Этот поток жидкости, лишанной трения, мы будем в лальнейшем называть анешниж 128 УСТАНОВИВ!ИЕНС!! ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ.
Ис лшноком, а слой толщины 8 близ поверхности тела, в котором скорость жидкости меняется от нуля до скорости внешнего потока — логуани гнмш слосж. Картина рзсч!редеэ!Ниии скоростей по направлению нормали к поверхности тела имеет вид, показанный на фиг. 23, При этом толщина пограничного слоя О оказывается теи меньшей, чем меньше вязкость жидкости. Такой схемой течения в применении к задачам аэродшы.мики прсдлолнш пользоваться творец этой науки проф.
Н. В. Жуковский в своих и лекциях по теоретическим оси!энзэ! воэдухоплава-9емчш -- ния '). НЯ п!Тсдлагаю счиломил тать,— говорил Н. В. Жу— ковский,— что при стен— 77ислийичлн, кзх ско!!ость кидкосж! ==3-- : — слои'"-/ равна нулю, но что затем она очень быстро возрз""""'" "' 'риу у'"' ' стает и становится равной той теореп!ческой, которая получается в предположении существования потенцизла скоростейл, В этих лекциях излагшотся основные свойства пограничного слоя, понятием о котором Н. Е. Жуковский пользовался еще в своей работе .
О форме судов:; '), опубл!иованной в !890 г, Все изложенное выше позволяет разбить задачу об обтекании тел маловязкой жидкостьлэ на две, на задачу об обтекании тела внешним потенциальным потоком экидкости, лпшбнной трения, и на зада!у об изучении течения вязкой жидкости в тонком пограничном слое. Первая из названных занзч рассматривается в гидродинамике так называехюй идеальной жидкости. Мы булем в дальнейшем считать, что решение этой задачи нам известно и что мы, следовательно, знаем закон распределения скоростей во внешнем потоке у поверхности обтекаемого тела !Точнее, на внешней границе пограничного слоя).
Если пока ограничиться рассмотрением илоско-параллельных течений и обозиа- Фиг. 23 '! Н. Е. Ж у х о в с к и й, Полн. Собр. соч., лекнин, вып. 1, ОНТИ, 1938, сэр. 35! — 352. л! См. Н. Е. )К у к о в с к н й, Собр. соч., т. П, Гостехнэлаг, !949, .стр. 627 нлн Полн. !-Обр, соч., т. %, ОНТИ, !937, стр, 53. 9 1О) уРАВнения ЛВижеиия з пограничном слОе 129 чить через х криволинейную координату, измеряемую вдоль оотекаемого контура (фиг. 23), з через (у — скорость внешнего потока на обтекаемом контуре„то мы полагаем, тзкич образом, ззвисимость и=и(х, () (4.01) заданной. При этом ваком изменения скорости (4.01) может быть получен илп из решения соответствующей задачи гидро- динамики идеальной жидкости или эксперим нтально, Заметим, что, строго говоря, ири опрелелеиин зависимости (4.01) следовало бы рассматривать задачу об обтекании потенцизльным потоком не контура самого тела, з внешней границы пограничного слоя, т, е, контура, утолищнного иа геличииу З.
Однако взнау малости 3 этим утолщением, т. е. Обратным влиянием иограннчаого слоя на внешний поток, можно в первом приближении пренебречь. Влияние это оказывается существенным только э задачах о энутреннлх точениях жидкости (течення в трубах, днффуэорах). На этом обе шя геллстве мы в свое время остановимся подробнее. Материал настоящей главы будет посвящен решения> второй из названных выше задач, т.
е. Изучению течения 'кидкости в пограничном слое. Основные дифференциальные уравнения дьпжсния;кидкасти в пограничном слое и первое пх приблия<бннос решение для случая обтекания пластинки были даны Л. Прандтлем '). При изучении движения в пограничном слое вязкость, несмотря из малость коэффициента трения, должна будет принимзться во внимание по двум причинам: во-первых, вследствие прилипания Испакости к стенке и, во-вторых, вследствие того, что величинз силы трения в слое получает значения, срзвнимые с величинами инерционных сил. Действительно, с'и» напряжение силы трения т=р " (направления осей указаны бу на фпг.
23) будет, с~невидно, иметь в слое порядок р —,, тле (1 (р' — скорость внешне~о потока. Следовательно, даже при весьча чалых знзчсниях р величина т в пограничном слое будет конечной вследствие малости о. Исходя из предположения, что вязкис силы в пограничном слое имеют тот же порядок, что и силы инерционные, ') Р г а ц 011 (, Агегн. бег 1И 1исеги, МА11Е 14оийг. и Не1бе1Ьегй, 1904, (.е1рх1й, 190,И Русский перевод см. в книге; Л. Пр а ндт л ь, Теория несущего крыла, ч. 1, ГНТИ, !931. 9 с.
и. т„р„ !30 гстлновпвпшвся твчвниг в поп лнпчном слов [гл. !ч мы можем оценить толщину погранячного слоя. Для этого заметим, что силз трения, приходя!цаяся на единицу объема жидкосы!, заключенной в пограничном слое, т. е. —,, имеет, 'Ц ' О' как это следует пз предыдущего, порядок р —,, . С друтой стороны, полагая, что обтекземое тело имеет в направлешш осп Ом размер порядка (, получим, как в п.
6 0 1, что инерционная сила, приходящаяся на единицу об.ьема жидкости, бе будет иметь порядок р —. Полагая, что порядок названных и и-" спл одинаков, т. е. что р. †, р — (символ означает Зе ' ! «пя!еет порядок, ), получим: ! 1/' '= —, (4.02) Таким образом, толщина пограничного слоя оказывается величиной, порядок которой обратно пропорционален корню квадратному из числа Рейнольдса. Формулз (4.02) подтвержлает, что при больших )х вели шна е' будет действительно мала. Лнененинный елО нуеиа наде лир:е неенние б фнг. 24. Картин! течения, подобная рассмотренной вы!ие, будет иметь место только прп оотеканпп очень плзнно очерченных тел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
