С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 20
Текст из файла (страница 20)
имегот такой н;е вид, как те, которые получаются для этих величин в случае обтекания пластины на основании теории пограничного слоя (см. п. 1 8 11). 2. Погружение тонкой цилиндрической трубы в вязкую среду. рассмотрим опять вязкую среду, заполняющую все полупрострзнство ниже некоторой горизонтальной плоскости з = сопя!. Пусть в эту среду в момент 1 = О начинает погружаться с постоянной скоростью У тонкзя цилиндрическая труба радиусз а, ось которой все время остается вертикальной. Совместим с центром нижнего основания трубы О начало подвижной цилиндрической системы координат, ос Ог которой нзпрзвпм вертикально вверх, а Ог — вдоль радиуса трубы. Замечая, что ввиду симметрии и =О, обозначим проекцип абсолютной скорости жидкой частицы на выбранные оси через и и и„ а относительной через и,' и и,.
Тогда третье из уравнений (1.47) сохранит в выбранных осях свой вид с тем лишь отличием, что всюду вместо о будут стоять и'. Полагая в этом уравнении давление вдоль Ог постоянным, з так ке ф 9] поггкжвнив пластины и тггвы н вязюю сездг 112 и,'=о, и пренебрегая массовыми силами и замечая, что и' =и + (/, получим: до, до, — -+( +и) — *= до, дт ~ г ОГ х да (3. 60) Повторяя рассуждении, аналогичные тем, которые были сделаны ио поводу (3.51) в предыдущей задаче, придем к выводу, что (3.60) можно заменить следующим приближенным уравнением: до >' д>о 1 до '> и —,=т(,„+ (3.61) при г(0 при г=-и (з) 0) при 0 = гс.
а (г) 0) (3.62) при г=ж Из условий (3.62) первые два относятся и к внутренней н к внешней областям, гре>ье же только к внутренней, а четвйртое только к внешней области. рассматриваемая задача также аналогична залаче о распространении тепла в круглом цилиндре. Заметим, однзко, что течение во внутренней области в данном случае будет отлнчзться от того, которое было получено в п. 2 $ 8, так как здесь это ~ечение вызвзно лвижением стенок трубы; а там мгновенно наложенным грздиентом дзвления. Лля решения зздачп воспользуемся опять методамп опеРационного исчисления и перейдйм в (3.61) от оригинала т~ к его где для сокращения записей обозначено о,=о. При установлении граничных условий будем, как и в предыдущей задаче, считать, что до подхода трубы (т. е.
нпм<е плоскости а=О) скорости всех частиц равны нуля> и что чзстнцы прилипают к боковой поверхности трубы, Кроне того, будем полагать, что внутри трубы скорости жидких частиц остзются коночными, а во внешней области по мере удаления от поверхности трубы убывают до нуля. Тогда граничные условия булут 11В неустлнОВившиеся те~!ения Вязкой жидкости (Гл. ш изображению по переменному а. Тогда, принимая во внимание формулу (3.05') и то, что о(0) =О, получим: !гон, ! огф —, — !- — — — Рпот! =- О, (3.63) гГг! г о!г где а имеет то же значение, что и в (3.54). Интегрируя (3.63) по г, получим, как в п. 2 2 8: О=А1,(пЪ рг)+ВКо(п)!гРг), (3.64) )о(л )'гр г) у! ор) (! о = — и —,. )о(л)Г)!а) гг(р) (3.65) Легко видеть, что (3.65) есть дробная функция вида (3.16), удовлетворяющая условиям (3,17) и не имеющая полюса в точке р = О. Следовательно, о будет даваться формулой (3.22).
Обозначая, как в и. 2 2 8, через ае корни уравнения Зо(ж) =О, найдем, так как 1о (гх) = Зо (х), что полюсы о находятся в точках, где оо Тогда из (3.65) будем иметгп 7! (Ро) = >о (а, —,), 'Ра~, '(Ре) = — — „" >! (ае). Кроме того, на основании (3.21) получим д! =1, так как Зо(0)=1. Подставляя все этн значения в (3.22) и принимая во внимание (3.54), получим закон распределения скоростей во внутренней области трубы в виде: = — ы~~ — 2х' ' 1. (обо! - ~"-'.) —,; аа)! (ао) где А()!) и В(р) должны быть определены отдельно для внутренней и внешней области.
При этом в силу (3,03) условия (3.62) сохранят свой внд н для гс а) Решение для внутренней области. В этом случае, так как К,(0) =Со, следует положить В=О. Тогда, определяя А по условию (3.62) нг стенке трубы, получим пз (3.64): 6 9) иоггтжвиив пластины и тгтвы в вязкгю с~хат Равномерная сходимость стоящего в правой части ряда доказывается так же, как это было сделано для (3.40). б) Решение для внешней области. В этом случае, так как!,(оо)=ос, следует в (3.64) положи~ь А=О. Тогда, определяя тт по условию (3.62) на стенке трубы, найдем из (3.64): и )("" )' ""= — и~(р).
(3,67) К,дп( га) Стоящая в правой части функция не имеет в плоскости комплексного переменного р никаких особенностей, кроме точки ветвления р = О, т, е, удовлетворяет условиям (3.23). Следовательно, о булет даваться формулой (3.27). Тогда, пользуясь известным в теории цилиндрических функций соотношением «хо (гх) = )о (х) — г то(«) )' р=га, получим в нашем и полагая на основании (3.25) случае из (3.67); )о(паг) — ! уо~паг) У (ц)= )о(пап) — Г уо~пап) ' Зо(паг)+г уо(паг) ( — а) = зо(пап)+(Уо(пап) ' 2г ° ', ), а~у,Я1 — „е)з,() — "1 г )о,()~+ у'-,'()) о (3.68) Интеграл, стоящий в правой части, сходится, так как доказано, что ) — ') — у,е) () — '„1„- Х зо(г) уо ~ о ао (г) + Уо 00 так как За ( — х) = Ло (х), а Уо ( — х) = — Уо (х).
Иаконец, раскрывая неопределенность, пойдем, что в (3.67) 7(0)=1, Подставляя все найденные значения в (3.27) и вводи безразмерный параметр 8 = ппа = 1,г — аа, найдйм Гу окончательно закон распределения скоросгей во внешней области в виде: 1сб неустлновившиеся течения Вязкой жидкэсти [гп. Я! Пользуясь найденными решениями, подсчитаем напряжения силы трении на стенках трубы. Онп будут определяться формулой ( ди'1 (3.69) ~, дг ~с=а где, принимзя во внимзнпе направление нормали к поверхности трубы, знак ьшиус соответствует внутренней поверхности трубы, а знак плюс — внешней.
Тогда, подставляя в (3.69) значение э из (3.66) и замечая, что 3В(х)= — 31(х), найдем для напряжения трения на внутренней поверхности трубы выражение — оа' а хаа Ыа1 Подставляя теперь в (3,69) величину о из (3.68), получим: (7 ~" — — ", ° 1о (й ~о Ф) — Уо 6) 1о ()) та=29 — ~ е Ф яа 1о (г) + 1 з (г) Ио числитель стоящей под знаком ингеграла дроби представляет собон1 определитель Вронского (вронскиан) цнлинд- 2 рических функций и равен, как известно, —. Отсюда получаем для напряжешш силы трения на внешней поверхности трубы вырзжение СО тза ) )з (а) .„~ ут ()) 8 (3.71) 2 .)Е( и) — уз( и) =— Подстанляя зто значение в (3.71) п вычисляя интеграл, придем к формуле (3.58), где только вместо х будет стоять в. Заметим, в час 1ностп, что из (3.71) при а — сю получается формула (3.58) для плзстинки.
Чтобы убедиться в этом, следует положить р=ап и за1ленить стоящие в (3.71) цилиндрические функции нх асимптотически1ш разложен шми. Тогда пол>-пш: Подсчитаем в заключение полные силы тренин Е! и Г, на внутренней и внешней поверхностих трубы при погружении еа на глубину Н Умножая длн этого правые части (3,70) н (3.7!) на йиаг1г и интегрируя по х от 0 до Н, найдем; Г, =4 р и-' а~' -'.—, ( ! — "" ), гм 2 таз ()) + Уо ()) (3,72) (3.73) Ответи!! следующее интересное обстоятельство. В то время как Га — сила трения на внешней поверхности — с увеличением И неограниченно возрастает, величина полной силы тренин на внутренней поверхности по мере погружении трубы стремится к предельному значеншо г ! Г' = 4ир СРаа ~ — =- ир(угаа А=-1 а так как значение стоящей справа суммы равно 0,25'). При этом Р' равно секундному колпчеству дни!кении вязкой среды, которая втекала бы в трубу с постоянной по всему поперечному сечению 0 000 йа) «б 020 )т скоростью У.
Фнг. 22. Чтобы наглнднее представить определяемые формулами (3.72) и (3,73) силы, приводим изображенные на фпг. 22 графики. На этих ~рафиках дана зависимость безразмерных велил г чин Г! и Ра от безразмерной же вожжины Н, тле Л тд а-"(7 ' т) См. Р, О. К у з ь и н н, вылив цнт„стр. ! !2. Э 9) поггужение иллсп!ны и тгуаы в вязку!о сееду !21 122 нвхстю<опившиеся твчянпя вязкой жид«остг< Как видно, полная сила трешш на внутренней поверхности Л Л меньше, чем на внешней, причем разность Г, — Е, по мере погружения трубы растет. Полное сопротивление погружению трубы будет, очевидно, равно сумме величин Г, и Вх, определяемых формуламл (3.72) н (3.73). 3.
Срезание кольцевого слоя вязкого вещества, Рассмотрим вязкую среду, заполняющую всб полупространство ниже горизонтальной плоскости а=сопя( за исключением цилиндрической полости радиуса д. Пусть в эту среду погружается тонкая цилиндрическая труба ралиуса а)Ь, вертикальная ось которой совпалает с осью имеющегося в среде цилиндрического выреза. Таким образом, труба прп своем погружении будет срезать кольцевой слой среды толщиною Л = а — Ь.
('3. 74) Прп этом будем считать среду столь вязкой, что течением ее под действием силы тяжести можно за время погружения трубы пренебречь. Найдем сопротивление, испытываемое трубою при ее погружении. Задача, как и предыдущая, сводится к интегрированию уравнения (3.61) для о, плп, переходя к изображениям, уравнения (3.63) для и.
Обцим решением этого уравнения будет опять (3.64). Так как граничные условия для внешней области остаются в данном случае такими же, как в (3.62), то течение в этой области будет определяться уравнением (3.68), а сила сопротивления на внешней поверхности трубы формулой (3.73). Перейдем к решению задачи для внутренней области. Первые два из граничных условий (3.62) сохранятся и в этом случае; третье условие, полагая, что внешняя граница срезаемого слоя свободна от напрягкений, получим в виде при г= <т (а) О) — = О. дв (3.75) Тогда, опрелеляя в (3.64) значения А и В по условиям (3.62) (для г= а) и (3.75), найдем: 1<и )Гзг)К, (л)/рЫ+К„<л )Гцг)1, <л )Гр Ь) 1„<л )/р а)К< (л ) ' р а) -)- Ка(л ) ' р а) 1, [л $~В Ы = — 77.~' <1) .
(3.76) .«, я) й 9) поГРУжение пластины и тРУБы В ВЯзкУю сРелУ 123 Правая часть (3.76) представляет собою функцию нида (3.16), удовлетворяющую услови1о (3.17), причем точка р=О не будет полюсом. Следонзтельно, и в ланном случае значение о булет даваться формулой (3,22). Если обознзч1пь через «» корни уравнения ') Ле(х) «1( — х) — '1'е(х) 31(т — — х =О, (3 77) 1~ о ., О 1~-,1- то легко убедиться, что о будет иметь в данном случае простые полюсы в точках, где 7» птна Прн этом, согласно (3.77), будет: (3.78) Тогда пз (3,76) будем иметь Далее, пз (3.76), принимая во ннпмзиие (3.78), найдем: Р» 7 т (Р») = — — «, — '. ~3, ( — „' «,) У;(' — „«,) — У,( — „' «,) 3', ~ —,' «,)1Х 1'Ь Х вЂ” )3 1») У,(«,) — У («»)3 (-,)! —, 7»вЂ” а 1 тле штрих означает дифференцирование по всему зргументу, Замечзя, что вырзжения, стоящие в квадратных скобках, представляют собою вронскяаны цилиндрических функций и равны й Все корни уравнения (3.77) аейстянтельиые и простые.
Ом, 1 Вй В а тс о н, Теория бесселевых функиий. 11зл. Вностр. лнт., 1949, стр. 559 124 нгхстлновпвшився твчвния вязкой жидкости (гл. ш 2 и: —, вть ' дл соответственно -= вгь Ь получим окончательно: ы г( ть) Рву. (рь) / Ь 1о(ть)1~ ( — ть ! (,а л т *=1 "о(ть) )1 ( — ь 1 (,а 'Ь Р',Л,(7ь)), ( — (ь !е оат 1. (3.79) Напряжение трения на внутренней поверхности трубы будет определяться формулой (3.69). Найдя из (3,79) значе/до 1 ние ! — ) и принимая во внимание (3.78), а также заме- ~ дг г.=д няя получающийся в числителе вронскиан его значением, мы найдем для напряжения силы трения нз внутренней поверхности следующее окончательное выражение: 2 я — ть Ув (тй! а о'л .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
