С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 15
Текст из файла (страница 15)
85) Для определения — проинтегрируем уравнение (2.39') др дх по г в пределах от а до Ь. Тогда, принимая во внимание бч сула и тела срезаны (фиг. !6, б). Выберем систему цилиндрических координат, связанных с движущплюя телом, оси которой направим так, как показано на чертеже. Валлу постоянства У уравнения движения в этой системе координат булут иметь обычный вид.
Пренебрегая действием спл тяжести и считая просвет между телом .а и сосулом малым, прп. -- ~Ф меним к слою, текуще му в этом просвете, = т,ф пРнближенные УРавне- ' тд = г ния (2.39). :-=:,Ф' Обозначим в некоторый произвольный момент времени рас- а стояние между дном Фпг. 1б. погружаемого тела и дном сосуда через Г, а высоту вытесненного слоя, считая от дна тела, через Н и будем сштать, что образующие погружземого тела и сосуда даны соо~ветс~венно уравнениями: 84 ИРОИ> ЬЙШИЕ ГСТЛНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ (ГЛ. И условия (2.84), будем иметь: ь дс> д ( да О = ~ — ' г с! г =: — ) о г с! г — Уп —, са~ дг ° Ж ' а ь откуда ь 2 ~ ожс(г — Уаа = С,. Для определения С, прнменилс уравнение постоянства массы ко всей среде, заполняющей сосуд.
Приравнивая количество вещества, протекающее за промежуток времени ог через верхнее сечение слоя, тому количеству, которое вытесняется погружающимся телом, будем пметгс ь 2п ~ т>., (Н, г) г с)г 57=па' (Н ) Уай Сравнивая это равенство с предыдущим, приходим к выводу, что С, =О и, следовательно: ь ог а'г= —, Уа'. ! '> ь Подставляя сюда о из (2.85) и вычисляя интеграл, получи>с (2.86) (ьь -)-а ) сп — — (ьь — ИВ Выражение (2.85) вместе с (2.86) и дает закон распределения скоростей в слое. Интегрируя (2.86) по з и используя последнее из условий (2,84), найдем закон распределения давлений в виде: р = — 4р.
У вЂ” — — — - †. (2.87) Фс !> (ь .+И>) и —. — (с» — с>с гс и Перейдем к определению снл сопротивления, действующих на погружаемое тело. В силу симметрии равнодействующая этих сил будет направлена вдоль оси Ог. 85 пРПБлпжвиныв Рв!пгнпя зАПАч Напряжение силы трения на боковой поверхности погружасмо1о тела прп приия1ых прин.пгкенпях будет равно: ''' ,71г,г=.а' 1177 — аа) 71з 2 1 (за+ а ) 1П вЂ” — (Ь7 — 77-) 0 и (2.88) Переходя к определешио сил давления, об7эзначим осевую составлЯющУ1о СИЛЫ давзвнпя, ДЕйству1ОЩей на боковую поверхность, через Р7, з силу данления на дно погружаемого тела через Рз, Тогда для Р, найдем сразу; 7(п Р, = 27г ) Ра — 7(а, гга о (2.89) где р даатся формулой (2.87).
Лля определения Р, воспользуемся формулой (2.48), дающей закон распределения давлений по плонсадп круглой пластинки, сжпмзющей вязкий слой. Обозначая радиус дна погружаемого тела через 77, будем нз основании (2.48) иметь для закона распределения лзнленпй ио дну выражение: Р =Рч 1 7 ()са ге). , ЗР17 Р В данноч случае величина Р„означающая давление у края дна, т.
е. прп г=)7, наперед неизвестна. Для ей определения примем, что дзвчение в нижнем сечении нытесняемого слоЯ, т. е, в сечении . =О, 7акже Равно Ре. Тогда, полагаа в (2.87) Б=-О, получим: РГ ,) (Зз+ 77) 1 — ' — Ф7 — 77) (7 Влщисляя правую часть с помощью (2,85) и (2,86) и интегрируя по всей смоченной боковой поверхности, получим для осевой составляющей силы трения выражение 88 ПРОСТЕЙШИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ [Гл.
и Подставляя это значение рг в предыдущее равенство и интегрируя по площади дна, найде!и сс Рг = — „пр(У вЂ”, + 4ТСЕ(У[41 ~ а, (2.90) 8 Рс ста (С!1+ аг) си -- — (См — аг) г а Таким образом, полная сила сопротивления погружению будет в случае заостренного тела (фиг.
16, а) складыв ться из Р и Рт, а в случае тела со срезанным дном (фиг, !6,б) Если величина ст — а =- Ь будет мала по сраннению с а, то для Вычисленных выше сил можно получить следующие приближенные выражения: и 6п)е(с' ~ —., !та, сй г и и 12пу.(С ~ ~ ~ — г — 1 а — сга, г и п)г(у~~...
+6РЕ( „1. [8 Рс г (иагта1 П" Р =- 2п!ссС вЂ” „, и ' З гс! Р=Р1 = — р(.с гт 1 '1 (2.92) Из (2.91) видно, что при малых й сила давления на дно погруткаемого тела оказывается величиною значительно боль- шей, чем сила трения о боковую поверхность. Рассмотрим два частных примера. а) Погружение конического тела в кониче- с к и й с о с у д. Считая, что погружаемое тело и сосуд пред- ставляют собою конусы с одним и тем же углом раствора а и обозначая тйа=й, будем в данном случае иметьи а=/гх, (1=4г()+е), lс=Ь вЂ” а=юг/, Полное сопротивление погружению будет равно Р+Р,, Считая й малым и пользуясь приближенными выражениями (2.91), получим: ПРИВЛПЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 87 При этом легко найти, что между Н и 1 имеет место аависппость 31 14(зо Р) 3й И= —— где (а — начальный уровень среды в коническом сосуде, Из полученных формул следует, что сопротивление погружению не зависит от угла а. Прп оценке этого факта не надо, однако, упускать из виду, что по характеру предположений, сделанных при составлении уравнений (2.8с)), угол а должен быть малым.
Отметим интересное соотношение между сопротивлением трении и сопротивлением давления, вытекающее из форму.ч 4 (2.92). В начальной стадии, когда Н( — /пли когда (Р0,46/ю т. е. пока погружаюше ся тело прохолит приблизительно перную половину своего пути, силы сопротивления сравнительно не очень велики и при этом сопротивление ггг/гения болыас, чсдг соярогяивленис давления.
Если обозначить безразмерные л л отношения Г и Р к )х(//я соответственно через Г и Р, то, нал пример, прп 1=0,6/я будет Г= 1,3, Р=...0,7. Прп Н= — (11= 0,46/ ) оказывается, что Г= Р=6,8, 3 При дальнейшем погружении, когда Н р — /(1(0,46/е), 3 солротинлснае давления сгппносшпсл больше, чеш солролгизление гггрснал, причем силы сопротивления ио мере уменьшения 1 значительно возрастают.
Например, при (=О,'2/„окал л зывается Г=265, Р=!180. укажем на некоторый косвенный результат, даваемый этим решением. При изучении задач о проникании тел в очень вязкую, первоначально неполвижную среду, можно, исходя из чисто физических соображений, считать, что погружающееся тело приведйт в движение не всю среду, а только какую-то ее часть, непосредственно примыкающую к погружаемому телу. Если головная часгь погружаемого тела будет конусом и если в первом приближении считать грашщу, отделяющую возмущйнную часть среды от невоэмущенной также конической, то приведенное решение будет лапать некоторое представление о возникающих прп погружении силах сопротивления.
88 пгоств$!шив установившиеся течвния (Гл. и б) Г(огружение круглого цилиндра в цилпнд р и ч е ск и й сосуд. В этом случае а=!с и 6=!бы где Гс в и (>„— пос!оянные величины, а 8 =!!а — !с'. Тогда, считая— И !алым, найдем нз (2.91) для полной силы сопротивления Р след!ющее приближенное выражение: ,г 3 !!' ! 6РгОт Р= Рз = пФУ ' —:;,. + в (2.93) Сила Р в уравнении (2.93) отброшена как малая по сравнению с Р,.
л Если ввести величину погружения цилиндра у то прп Л малом будем иметь: и вместо (2.93): Р= —,' прИс! ~ 8 ! Г Р ! 2РуЧ ((г,— у) ! л ( (2.94) где I, — начальный уровень среды в сосуде. !гри ятом работа, которую нужно произвести для погрувгеюи цилиндра на величину у, будет равна: х ~ 2!от (8 — У)! л ) (! Цтобы дать в атом случае представление о картине течения, на фиг. 17 изображйн прполиженно рассчитзпный по фор- мулам (2.85) и (2.86) профиль У! скоростей в слое между цилин- драяи при (!,=1,1й. Макси,Ц. мум скорости получается при атом примерно в середине слоя. Формулы (2,94) и (2.95) определя!от силу сопротивлеюш О, г,!8 1,! г и потребную работу при по- У гружении круглого цилиндриче— ! Фит. ! 7.
ского поршня в цилиндрический сосуа, заполненный вязкой жидкостью. Такое устройсгво встречается в различного рода демпферах. й б) пнпьлп'кенныв гашения задач Кроме того, приведенное решение, подоено гидродинамической аналогии прокатки, может быть использовано, как дающее в первом приближении картину течения помещенного в цилиндрический сосуд горячего металла при вдавливании в него цилиндрического пуансона 1горячая штамповка). 0 наличии этой аналогии можно, например, судить по экспериментальным данным, приведенным в книге А. А.
Рыбаржа '). Эти данные дают, в частности, картину течения в слое металла при штамповке, очень близкую к той, которая показана на фиг. 17. ') А А. Р ы б а р ж Производство снарядов. Оборонгнз, 1943„ стр. 116. ГЛАВА И1, НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ, ОГРАНИЧЕННОЙ ТВЕРДЫМИ СТЕНКАМИ. й 7. Некоторые сведения из операционного исчисления.
Прн решении задач настоящей и некоторых последугощих тлав мы будем пользоваться методами операционного исчис.ления. Поэтому для удобства читателей в начале 9 7 дается конспективное изложение тех основных сведений пз операционного исчисления, которые будут необходимы для понимания последующего '). Одновременно во второй части 9 7 рассмотрен вопрос об отыскании оригиналов некоторых изображений, часто встречаюии1хся в решаемых задачах. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
