С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 18
Текст из файла (страница 18)
34) д< (,дгв ' г дг ' гед~) г <1х' (3. 34'1 дг ' да Тш< кзк о=о(г, р), то из (3.34) следует, что перепад давления р'= — не зависит от координз» п может быть »ог!ько заданной функцией времени. ') Решение ззлзчн о течении между пзрзллельнымн стеня»ли< при различного ролз других нзчзльных н граничных условиях можво найти в книге: А. И, Л у р ь е, Оперзииоииое исчисление, ОНТИ, !938, <тр. 192 и в интировзиной выше кинге Х.
Кзрслоу и сй Егер», й 75. Т»и же в й 77 приведено полное решение задачи о развитии течения между лвумя врзшшошимнсз иилиилрзин. !05 ПРИ!<а!'Ы ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ Тогдд рассматриваемая задзча мол<от быть в самом общем случае сформулировзна так; в начальный момент (=О профиль скоростей во всех сечениях трубы одинаков и задан в виде о=!' (г, р)! определ<пь при соответствугощих ! раничных условиях, как этот профиль скоростей будет изменяться с течением времени, если перепад давления вдоль оси трубы изменяется с момента 7=- О по заданному закону р' = ф(!). Залача в такой общей постановке была поставлена и решена известным русским механиком профессором Казанского университета Кь С.
! ромекой'!). При этом им были даны решения лля Зрех видов граничных условии: 1) <ьидкость прилипает к стенкам трубы (условие, обычно применяемое в гилромеханике в настоящее время); 2) жидкость скользит вдоль стенок трубы и коэффипиент внешнего трения !. отличен от нуля (см.
стр. 31 6); 3) жидкость скользит вдоль стенок и ), = О. !<)ы ограничимся злесь изложением решения задачи проф. Гроь<еко для одного нз рассмотренных нм частных случаев, полагая, что жидкость в нзчальный момент неполвижна, а установившийся в этот момент перепад давления р' остается все время постоянным. Течение при этом будет осесимиетрпчным, а начальные и граничные условия, если считать жилкость прплппанлией к стенкзм зрубы, примут вид: при 7=0 о=0; прп г=(7 (!)0) я=О. (3.35) Для решения задачи воспользуемся опять методами операционного исчисления и иерейдйм в уравнении (3.34) от а к его изображение о по переменному !. Тогда, принимая во внимание (3.07'), (3.05'), (3.03) и симметрию течения получим: <7<о, 1л< р - р' Лгд г <гг ч Тх (3.36) где и будет функш<ей только г и параметра р.
') И. С. Г р о м е к з, К теорнн движения жндностн з узких цилиндрических трус<хах, Казан!в в унязерснтетской тнпо<рафнн, 1882. До настоящего временн первое решение названной задачи неверно приписывалось П. Шиманскому (см, например, Аэродинамика, т. )ГО Оборонгиз, !989, стр. 77, статья ль Прандтля), опубдиковавшечу свои Лыее частные ре<ультаты лишь в 1930 — 1982 гг. 106 н!лястлновиВшиесЯ тс'!ениЯ ВЯзкой жидкости (гл. п! Уравнение (3.26) без правой части имеет, как известно, сеоимн линейно независимыми решениями цилиндрические функции мнимого аргументал): )о( )г — г~ " Ко( )! - г). 11рпсоедииня сюдз частное решение — —, получим общее а !1 решение уравнения (3.36) в виде: Тзк как Кз(0) = ж, то, полагая скорость течения нз оси тр>бы конечной, мы лолжны принять В=О.
Далее, на основании (3.03) и (3.35) прн г=»с будет И=О. Определяя по атому условию А, найдам: о= — — !» — сл(», г)! р (3.37) где 1л( 17 — г ' р1,! 17 — »г) (3.38) есть дробная функция вида (3.16), удовлетворяющая условиям (3.17) и пл!еющая в точке И=О простой полюс. Следовательно, !р будет даваться формулой (3.22). Гели обозначить !) Все используемые алесь и далее формуллы лля цилиндр!Шеских функций можно найти в книге: Р.О. К уз ь м ни, Бесселевы функцин, ОНТ!1, 1935. Зздзчз сводится теперь к нахождению и ио данному его изобрзженин! о.
Г!Ринил!зя во внимание (3.04) и (3.14), можел! утиерлсдзть, что пи~меты точных екшкний злллч 9 8) Тогдз, исходя из обозначений (3.38) и ззмечзя, что 1з (х) =1, (х) и 1, («х) = «у, (х), найдем: а Л (Рл) =9а ',ил —,), Раут(Р,) =,—,, Ю~ (и„) Лалее, пользуясь рззло кениями 1, (х) = ! + — +..., еы = ! +1« -1-. мы, деля и перемнолсав соответствующие ряды, получим ряд (3.20) в виде: У,(р) еж, ) зл — ««з 1 1 1 --- —" = 1.
(р)+ ~ — '-,— -~- «1-+-,-. уз(!) р ' ~ 4 ' ~ р Иа ' Отсюда слелует, что у', 1«) равно выражении~ в кнздрзтной скобке. Подстзвлня исе нзйдеиные значения в (3.22), получим: 4 ( ) ( + 2«е С 'в')'л «Е) л.=! а~ 9~(ал) Внося это знзчение м н (3.37) и принимая во внимание (3.39), нзйдем окончательно; а' )1(ал) Помножив (3.40) на 21тгпг и интегрируя, наЙдем рзсхож ч "/: О= — — '„р' 1 — 32 У вЂ”, е л. 1 л (3,40') ') Все эти корня, кзк функинй, лействительные и пример, в книге: А. А. Ь. А. Диткии, Таблицы стр.
349. докззывзется в теории шшинлрических простые. Знзченця их можно нзийи, нзЛюстерник, И. Гь Акушский, бесселевых функций, Гостехиздзт, 1919, через яа корни уравнения.1, (х) = 0 '), то, тзк как !а («х) =.. 9а (х), легко вилеть, что полюсы функции г7 или, что то же, нули 7 (р) нзходятся в соответстшш с (3.17) в точках, где р„= — — А («в=1, 2, ...). (3 3(1) !08 нсхстхиовившив!.я течения вязкой жидкости (гл, и! Разложен!ш фушиии! ! — нз в ряд ФурьеР-Бесселя имеет вид: ут = 3 ~' ",'-"Р) а! ад й!)яз) (3,41) следовзтсльно, ряд, стоян!ий в правой части (3.40), рзвиомерно сходится, так как кзждый из его членов меньше г соответствующего члена в (3.41).
Этим одновременно — дУ проверяется, что (3.40) действительно дзег о=-.0 ири г=рг!) Полученные проф. Гй С. йй Громекой формулы (3.40) определяют закон изменения скоростей в любом сечении трубы и расхолз с течением времени ири усло- О дл !)у ! и взш,.и'= — д — —— соиз!. Р изида деле ирп г == оо решения (3.40) иерехо'сяг в решения (2 21) и (22 2) соответству!ошей стаиионзрной зздзчи. У Профили скоростей для г,=--с! гг! рззных моментов времени, рзссчитзнные по формуле (3.40), иокзззны из фиг. 20. Фиг. 20, Друг: й весьма интерес- ный частим.'1 пример, рзссмотренный проф.
Рй С. Громекой, относится к случао, когдэ иереизд давления р' есгь некоторая периодическзя функция времени. Окззывзется, что и в изином случае иои ) †. схз устшывливзется режим течения, оиределяемы,'1 законом (2,24), если только н ятом законе ззменпгь сга (илз рзсход 9 и перепад давления р' их гредннии зи целый период значениями.
3. Движение твйрдой стенки, тормозящейся трением о слой вязкой жидкости. Рзсстштривземвя ниже ззазчз иредстзвляет собою интересный пример т!жного решения сишемы совместных урзвнений, оиисывзющпх движение твердого 10З и гпмзгы точных Решении зх;гь'! о==0, п=О, ()) О) о=а, (3.42) (г) 0) и= О, прп != — 0 ирп и=О прп у=-l! где и — переменная скорость движения пи!кней пластины.
Лля опреаеления а составим уравнение дьиженпв единицы плогцади нижней иластш ы; в результзте получим: И~Ч гл — = гу — ть. нт Так кзк в данном слу ше нзпряженпе трения нз нижней )лл' пластш!е та = — р — ), то окон штельно будем ил!ег!к (дх) = ' (3. 43) Переходя в (3.28) и (3.43) от оригиналов к пх изображениям по переменному с и замечая. что при г= 0 и =0 и а = О, получим: !!2!! в !г! !тй ! —,и Х,~у )х=-з' ') !1гложеине аналогичного решения в случае вертикально наззкн шеи пластины прнзелеио в книге Х. Карслоу и Д.
Егеоз, $76. теча в вязкой л.пдкости и течение жидкости, вызнзнное лвижсш!ем этого тела '). Рассмотрим дне неограниченные горизонтальны пластины, нахотящиеся на озсстоянип й др)г от друга, нространш!ш мегкду которыми ззполнеяо вязкой жидкостью. Пусть при этом верхняя пластина в«е время неподвижна, з нижняя начинает двигаться из состояния покоя впрзво под дсйстзиеч приложенной к ней в момент (=О постоюн!ой силы.
ОГ>означим величину силы, прихоляшуюся на единицу плошади нижней !к!:!глины, '!срез !), а массу единицы плошали этой пластины через >л. Выбирая оси так, как показано на фиг. 1, и пренебрегая массоеымп силамп, найдем, что движение жидкости слое межлу пгаастинамп описывается уравнением (3.28), Начальные и грзничные условия при этом будут: 11С неустлнОВИВШИЕСЯ течениЯ ВЯЗКОЙ >кидкОСти (ГЛ.
и! При этом для первого из урзвнений (3.44) граничные условия (3.42) принимают вид: при У=О с=и, при у=й С=-О. Лй л= — ' О! (3. 47) и обозначить через аь последовательные корни уравнения х 13 х = л, (3.48) то изображение и будет иметь простые полюсы в точках, где р = — — аь. ле Тогда, принимая во внимание (3.47) и то, что аа — — лсщагн получим: Яапа рьуз (рь) = — — „(аь + па+ л), Далее, легко убедитьсн, что точка р=О не являешься полюсом функции и, следовательно, используя (3.21) н раскрывая получающуюся неопределенносгь, будем пметьс 4Л 81=(и1р- = —.. Тогда, интегрируя это уравнение по у и удовлетворяя граничным условиям, получим: /р) Я11~(л — д) )г — ~ о=и (3,45) ап(» уу — ") Подстзвляя в последнее пз уравнений (3.44) значение о из (3.45), найдем изображение и, которое можно представить в виде: и— — — (3. 46) гн У'Р» ( Л ВУ вЂ” + — сп1 Л 1~ — ) гн г Ле~ко видеть, что и представляет собою функцию видз (3.16), удовлетворяющую условиям (3.17).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
