С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Следовательно, оригинал а будет даваться формулой (3.22). Если ввести безразмерную величину НРимеРЫ точных Решений задач 2 8) Полставляя все найденные значеш/я в (3.22), определим окончательно скорость данн<ения нижней пластины: 2 ~а са — — г и = — 1 — 2да,г ат (а~~ +.да ' д) (3.49) / в) а/г аи ~ (// — Р) 1,' Легко видеть, что о есгь также функция вила (3.16) и что полюсы ее совпадают с полюсами функции д в равенстве (3.46) (точки, где — Ьа= — /сапа, как легко проверить, не полюсы). Ра ° 2 2 У Тогда, аналогично предыдущему, найдем окончательно из (3.22) следующий закон распределения скоростей в слое: о= — 1 — — — 2да ~~'~, е "" ~.(3.50) — г//' /' ' /' е ь- / Р~ /2 2/2 / аь (аь+-да+ п)а1и аь Таким образом, задача оказывается решенной до конца ') Полученные здесь на первый взгляд довольно отвлеченные ') /йы опускаем доказательство равномерной схолныос2и рядов в (3.49) и (3.30), аналогичное тому, которое приведено лля рядов, встречающихся в Е 20.
Таким образом, оказывается, что скорость движения пластины стремится с течением времени к предельному значению д/л (/= / . Этот результат можно получить сразу, приравнивая Р (/ о предельной величине нзиряжения трении р.—. Значение реи' Роения (3.49) состоит в том, что оно позволяет оценить, как быстро скорость и приближается к своему прелельному значению. Лля нахождения закона течения жидкости мех<ау пластинами, подставляя в (3 45) величину и из (3.46), получим: 11' нс ге! лннзившид!.я течения вязкой жидкости [Гл, !и результаты будут использованы ллн приближенного решения практически интересной задачи о вращении крутлого вала, тормозящегося трениеи о смазочный слой (см. б 23). Тад! же рассмотрен вопрос об определении величин ад — корней уравнения (5.48). В заки!оченпе нельзя не отметить той сравнительной простоты, с которой метод операционного исчисления позволяет строить решение рассмотренной здесь достаточно сложной залачи !).
й 9. Погружение тонкой пластины и трубы в вчзкую среду. !. Погружение тонкой пластины в вязкую среду. Решения рассл!атриваемых ниже задач основываются на исполь- зовшшп прполпжйнных уравнений г ини кения вязкой жидкости, в ко- С торых инерционные члены и члены, зависящие от вязкости, учитываются не полностью, а лишь частично. При этом учет инерци- :, 5~~, 4фг ффффф' ' ~л онных членов производится подоб,;;„гофф',у;~улй ";ф но тому, кзк это делается в методе ' ''2;у ~'~у 4' Озеена, а учет вязких — как в за- феД,," Уг!Д фз 4л,"'2' дачах 9 6. БлзгодаРЯ томУ, что система коордш!ат связывается с и!нг.
21. движущимся телом (как в п. б 9' 6), уравнения принимак1т вид уравнений установившегося влечения, хотя по существу, по отношению к системе отсчета, связанной со свободной поверхностью жидкости, движение жидкосп! будет неустановившимся. В такой постановке решение задачи о погружении пластины н вязкую срелу было дано проф. Н. А. Слезкиньщ з). '1 Решсния ряда друшш задач о нсустшювиви!смся течснпи вязкой жалкости и ссылки иа литературу юлино !шйтл в каше! Г. Л а м б, Гидродинамике, Гостехиздат, 1947 н в цитированной выше книге Х.
Кзрслоу и Д. Егсрз. См. также рабаты ароф. Н. А. Слезкина, опубликовзнвые в Дока. Акад. Наук СССР, т. Х17, № б, 1997 и т, ХХХ, № 4, !941 и в У !еиых записках 7йГУ, т. 4б, !940. з) Н. А. Славкин, Дока Акал. Наук СССР, т. Х(Л1, № 1, !с,!й ф 9) поггтжснив пллсгшгы и тгквы в вязктк~ сгкдь 115 х„.=ох+ У, п„=т полу игм первое из зтих уравнений в виде: дп„ вЂ” д-г-(о,+Ц вЂ” "+и,— '"=- г~ —.— „д+ — „" . (3,51) гз ' " дх уду, дх'-' дуа )' Так как скорость в направлении движения изменяется зна ч~гтельно медленнее, чем в направлении, перпендикулярном плзстпне, отбросим в правой части производную по х по сравнению с производной по у, Далее, считая, что профиль скоростей относительно пластины не изменяется с течением времени, т. е., считая, что распределение скоростей в плоско. сти Оху как бы ,потру'кается: вместе с пласгиной, отбросим в левой части производнунз по времени.
Наконец, полагая и, н э малыми, по срзвнешио с У, отбросим в леной частя члены, содержащие их произведения. Заметим, что эго можно сделать дп н вблизи стенки, где, правда, э =У и —.х велико, но ваго ду дпх ,— '=О и и =О. Тогда уравнение (3,51) примет вид: дх у дп дага дх дул ' (3 52) 8 с,м, тввг Рассмотрим вязкую среду, заг~олняюгггую всд полупрострзнство ниже плоскости ЛВ (фиг. 21). Нусть в момент г= — - О н зту среду начинает погружаться с постоянной скоростью (: тонкая вертикальная ггластиг~а ОС. Совместим с нижним концом О пластины начало подвижной системы координзг и на.
правим ось Ох вверх вдоль пластины, а ось Оу — горизонтально. Считая течение плоско-параллельным, обознач1гм ироекц|ш абсолютной скорости какой-нибудь жидкой часпшы на оси координат через и„ и гг, а проекции ее относительной скорости на те же оси через ю„ и пу, Так как системз отсчета Оху инерциальнз, то в ней уравнения движения сохранят вид (1.46) с той лишь разницей, что всюду вместо гг ж бдд)т стовть пх 11 пу (ю О), Будем в дзльнейигем считать давление вдоль Ох постоянным п пренебрегать массовыми силамп. То~да, переходя в на. званных выше уравнениях ог относщельных скоростей к эжолютным, с помощью равенств 114 нюстхновпвшисся твчвнпя вязкой жидкости [гл. ш прп х~О и„= О, при у =0 (х) О) и = — Сг, п(иг у = оо юг=О.
(3.53) Задача опять свелась к пнтегрироэаншо уравнения теплопроводностп (3.52), решение которого при условиях (3.53) хорошо известно. 11остропм это решение для области у)0 с помощью методов операционного исчисления. Для этого перейдем в (3.52) от п„к его изображению по х. Тогда в силу первого из условий (3.53) и (3.05') получим: — „' — лгрп = О, г(нг где обозначено (3.54) Интегрируя полученное уравнение по у, найдйм: п„=С елках ' С е-"к гг.
е — г т г Так как в силу (3.03) условия (3,53) сохраняют свой вид и для тл„, то, удовлетворяя этим условиям, получим; и„= — (/е — л л' ту, (3.55) Правая часть (3.55) представляет собой функцию, не имеющую в плоскости кошшекспого переменного р никаких особенностей, кроме точки разветвления при Р = — О. Следовательно, онз удовлетворяет условиям (3.23) и оригинал пх будет определен по формуле (3.27), Замечая на основании (3,25), что )г р = гдп получим в данном случае: у'(О) = — — У, уэ (а) = — Уе-'л"У, уэ ( — а) = — Се'л'У.
Тонкая пластина ОС прп своем погружении в вязкую среду приведет в движение главньш образом ближайшие к пластине частицы среды, поэтому будем считать, что вязкая среда впереди погружаемого краи пластины будет оставаться в покое. Кроме того, примем, что частицы среды прилипают к пластине и что по мере удаления от пластины скорости частгщ убывают до нуля.
Тогда получим для рассматриваемой задачи следующие граничные условия: Тогда из (3.27) найдем окончательно закон распределею!я скоростей в среде в виде: СЮ ~!я ) о == — 0 1 — —" ) е-"'"ь|п(лду) — . (3.56) л и я 0 Интеграл, стоящий в правой части, можно представить в ином виде. Пользуясь известным соотношением') е' — к' е-'"" соз (да) г!и = —,, 1,' — 'е я возьмем от обеих его частей интеграл по гу в пределах от О до лу. Тогда получим: ~ е """з!п(лау) — =Уп ~ е ~" ' =)/и ~ е — 1 с(р.
Последний интеграл получается из предыдущего, есчи положить ау=2 р' лр. Подставляя найденное выражение в (3.56), будем иметь: .„= — и~1 — Ег! ( "-' (3.57) где обозначено Ег((у)= —: — ~ ' ' Ф )Гт (3. 57') я Функция Гг!(у) представляет собою известный интеграл вероятности оишбок; значения ее можно найти е соотнетстнуви!их таблипзх '). Пользуясь решением (3.57), можем определить наиря кение силы трения на пластине: т, )х~ — ) ') См., например, выше цитированные таблицы И.
!т!. Рыжика, стр. 152. л) См., например, Е. Янке и Ф. Эмде, Таблицы функций, ! остехиздат, 1948, стр. 129. В зтнх таблицах интеграл вероятности ошибок обозначен Ф(л). 9 9) попхжкник пластины и тРУБВ в Вязкгю сгкдх !15 !!б нвястлновившияся течения вязкой жидкости (гл. и! Заменяя здесь л его значением из (3,54), найдем (3. 58) Заметим, что значение т, может быль найдено прямо по его изображеншо. Действительно, из (3.55) имеем: — =д и)''р, зу у О откуда иа основании (3,13) находим сразу: впУ т, = —.= —. 17 ге Если обозначить ширину плзстины К з глубину ей погружения лц то, интегрируя (3.58) по х в пределах от 0 до И и принимая но внимание, что трение происходит на обеих сторонах пластины, найдбм для полной силы сопротивления выражение 7.=.—.— ) 'рр йОа. 4а (3.50) В заключение отметим, что выражения (3.58) и (3.59) для т, и г".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
