С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Интегральные соотношения. Мзтемзтпческие трудности, с которыми приходится стзлкивзться при попытках непосредствен>ш интегрировать уравнения течения мшдкости в пограничном слое, побуждаот искать какие-нибудь другие, пусть менее точные, но более простые пути решения этой задачи. При этом естественно обратиться к методу, которым пользуются в теоретической мехзиике, когда вместо того, чтобы пытаться интегрировать дифференциальные урзвненпя двилсения отдельных точек системы, переходят к рассмотрению некоторых выте>сзк>щих из этих уравнений интегрзльных соотношений, называемых общими теоремами диизмики.
Лизлогичиые интегральные соотношения могут быть получены и из урзвнений (4,06). Мы ограничимся в дальнейшем рассмотрением случая устзновившегося течения, тзк как только в этом случае соответствующими интегральными соотношениями обычно и пользуются. Лля получения искомых соотношений умножим обе чести урзвнения (4.09) нз э' и проинтегрируем по у в пределах 10) УРАВнениЯ дВН кениЯ В ИОГРАничнО«1 слОе 137 от 0 до о, где о — толщина пограничного слоя.
Тогда, прпнимзя во внимание, что и не зависит от у, полу'спм: ь » до ~', с/»к, ', Г «до». ,. оо доо «+»до +~' о,.со »к В„у и(„' /, ~,„Г «до»„ кок-)У«дг-„к-,)кдкк о о Преобразуем входящие в полученные соотношения интегралы, обозначая пх лля сокращения записей последовательно через ./„Уз, ./ь и ./ь; предыдущее рзвенство принимает при этом вид; у, -~-./о = ии уо — гс- оу,. Одновременно во всех последующих преоорззова>шях будем принимать во внимание правило дифференцирования интеграла по параметру и граничные условия: при у= — 0 И„=О, тс.=О; пр у.=д о,=и, — „==О.
до к д ' ) (4. 12) с, 1 до«+ о 1 д Г ... //««о с/з -' с/" " /с+2 с/х ' о )Залег, интегрируя по частям и принимая во внимание уравнение (4.09'), нзйдйм: У'ь = — — (и ).;, — — 1 о«+ ' —.Р с/у = 1 Г, д»сся УР=Ь а(1д х ду о 1/« 1 = —.,-(") =ь )-., 1' Лля определения значения о при у= о проинтегрирувм уравнение (4.09') по у в пределзх от 0 до д.
Тогда получим: ь Гдох д Г да (о )у — ь= — ) —.хду= — — 1 о с/у(-и —, )сх -= дх3 х да' о о Первые пз этих ссловпй означасот, что нхпдкость прилипает к обтекаемой стенке, а поелвдниЕ прпблпгкйнно определякст верхнюсо границу пограничного слоя как такую, на которой скорость практически равна скорости внешнего потенциального потока, а трение обращается в нуль.
Тогдз будем иметь: 1О) уРАВнения дВижения В погРАни'!ном слое 139 путем применения к пограничному слою теоремы количества движения Почагая, далее, в (4,13) А=!, найдем; д ~пк ()т д д. д г — ~ — ду — — ~ ду= 2 дк,< о о ь =ии 1О У вЂ” У)(д"''')"дг, (4.15) о Интегральное соотношение (4.15), соответствующее тео- реме об изменении энергии, было дано акад.
Л, С. Лейбен- зоном '), Полученные здесь интегрзльные соотношения являются, строго говоря, приближенными, так каь при их выводе мы пользовались приближенными по своему суц<еству граничными услониями (4.12). В действительности такой резко очерченной внешней границы слоя, иа которой имело бы место последнее из условий (4.12), в жидкости, конечно, нет н переход к скорости потенш<ального потока носит асимптотический харак- тер.
Однако практически мы всегда можем ввести понятие о пограничном слое конечной толщиНы, понимая под о то расстояние от стенки, на котором скорость течения будет отличаться от скорости во внешнем потоке, например, на 1о/о или нз 0,5о)о в зависимости от треоу<ощейся точности расчета. Таким обрззом, и граничные условия (4.12) и полученные с их помощью интегральные соотношения будут иметь совер- шенно конкретный реальный смысл.
Как мы увидим в дзльнейшсм, прп непосредственном интегрировании уравнений (4.09) обычно не пользуются поня- тием о слое коне<ной толщины, а ползгаот, что скорость и достигается асиьштотически при у ОО, т. е. что 3 = ОО. Чтобы иметь возможность оценить в этом случае прзктичсски толщину пограничного слоя, вводят понятие о так называемой толщине вытеснения о*, опредсляемой рзвенством (4.16) <) Л.
С. Лейде на он, Энергетическая форма интегралы<ого условна в теории пограничного слоя. Труды ЦАГИ, выи. 240, 1933. 140 устАнОВПВшееся течение В ИО1РАничноы слОе 1гл. ш Величина Ва характеризует смещение линий тока от поверхности Обтекаемого тела, вызванное наличием пограничного слов. В случае обтекания пластинки ью'кно, как будет показано ниже, считать приближенно В= ЗВ". Такой оценкой толщины пограничиого слоя пользуются иногда и прп обтекании криволинейного контура. Если наряду с ВВ ввести еще линейную величииу ри (и „)„, р ивд х й (4.17) называемую «толщиной потери И11пульсал, то соотношение (4.14) монсно преобразовать к соотношению, которое было указано Л. Праидтлем. 11ля этого прибавим к обеим частям равенства (4.14) выражения   — ~ — иагуг = — — (иае) и и — ) игуу= и — (ио). д Г д дх,~ дх,) о Тогда, меняя одновременно все анакп на обратные, получич: — ~ (иа — -') (~ — и — ~ (и — - ) ду = д Й..., д Р дл дх д 0 о д а гз,, У де ) дх дх = — (иао) — и — (ио) — ии'ь.
-1- У вЂ” ') г,ду /у=о ,-'„-[и~(и — „)ду~ ) " ~,(и е е д Р— и "- ) (и — и ) лгу=- 'В ОХ~ — У О или, принимая во внимание (4.16) п (4.1Т): д (изов) + д (иаееа) — и д (иов) = В, Легко видеть, что первые три слагаемых в правой части равенства дзот в сумме нуль. Полагая теперь в оставшихся слева членах 3 = оо и разбивая первый из иитегрзлов на два, ПОЛУЧИМ: ь 10] угланения движения в иогглничноы слое 141 !'де,,а где та = р ( —" ) — наиряжение трения на поверхности 1,ду,) у =е обтекаемого контура.
Последнее равенство восле очевидных иреооразований дает.' (4. 18) Созтношеннем (4,18) можно иользоваться как для асимитоп!- ческого слоя, так и для слон конечной !'ошцины. В иоследнем случае верхним пределом интегралов, входящих в (4.16) и (4ЛТ), будет 8. Отметим в заключение, что с несколько иной точки зрения к иолученшо интегральных соотношений и их исиольчованию нодон!ел проф. Л. Г. Лойцянский. Не имея возмо кности изложить здесь все методы -.=1 !'сории пограничного слоя, мы выну!клены интересугощихся отослать к оришшальной работ.
автора '). Применение метода Л. Г. Лойцянского к расче!ту,'9 пограничного слоя нз телах вра- ,ггг у, щения рассмотрел Л. Г. Стеизнянц г). 4, Уравнения движения в г погранячном слое на теле вращения, Рассмотрим иограничный слой на теле вршцения, ось которого наиравлсна иараллельно скорости набегающего потока. Тогда течение в иограничном слое !буде! осесимметричным и характеристики его будут зависеть только от двух иарзметров. Выоерем следугощую систему ортогональных криволинейных координат: координату л, отсчитываемую ио дуге вдоль какого-нибудь из меридианов, ировезанных на обтекаемом теле (фиг. 2о); координату у, отсчитываемую ио нормали к обтекаемой иоверхности; координату г', отсчитываемую ио ') Л. Г. Л о й ц я и с к н й, Пнтегральные методы тенрнп иограннчного слоя.
Прикл. метем. и мех., т. 1', 1!Ь 3, 1941. х) Л. Г. Стеиан яиц, Прнкл. х!атем. и мех., т. И, И 4, 1942. )42 хстлновпвшккся ткчкнпк в погглничном елок (гл. гя дуге соответствующей параллели. Заметим, что в случае осесимметричного потока характеристики течения от координаты з' ие зависят. Вели радиусы кривизны меридианов и параллелей будут велики по сравнению с толщиной пограничного слоя (в дальнейшем рзссхштрпвается только этот случай), то прн составлении уравнений лвпженпя в пограничном слое кривизной кооодиначных линий можно пренебречь и рассматрпвзть выбрзиные оси как прямолинейные, В результате, пренебрегая мзссовыми силами, придйм опять к уравнениям (4.04) и после соответствующих оценок, так же как в п.
2, получим уравнение движения в пограничном слое в виде (4.08). Однако уравнение (4.04') здесь не сохранится, тзк как рассматриваемое течение не является плоско-параллельным. Для получения соответствующего уравнения неразрывности возьмам в меридиональном сечении пограничного слоя (фиг. 25) точку А, находящукюя на расстоянии гс от оси симметрии Ох и построим прп этой точке элементарную площадку со сторонами Ьх, д)ь Рассмотрим поток нпшкости через кольцевую область, образованную вращением этой площадки вокруг осп Оз.
Тогда в выделенную область по меридпональному направленшо за единицу времени втечйт количество а<пакости, равное 2пгсо Ьу, а вытечет количество 2п ) гсо + — —" Ьх1 ду; д Жок) я х дс таким образом, оощее количество жидкости, вытекшей по д ()со,.) этому нзиравленшо, будет; 2п д ' Ьх му. Точно так же найдем, ло в направлении нормзли к поверхности за единицу д Мох) гречени вытечет количество жидкости 2п — — "- ах ау.
Тзк как д) жидкость иесжпмаемз, то на основании закона сохранения вещестгз суммз найтенньж количеств должнз равняться нулю, т, е. должно бить; и 0(от), д %ох) ох ' ду Это и б)дет уравнением неразрывности для течения в рзссматриваемом пограничном слое. В результате приходим к следующей системе уравнений установившегося двпн;ения вязкой жидкости в осесимметрич- !Ох до„д(У вЂ” "+ — "=и — + — '", х дх Уду дх дуа (4,1 9) д (!1>и ) (- д 01иу) = 0 дх ~ ду (4 ! 9') Произведя дифференцирование в левой части (4.19'), замед>г' тпм, >то член — о, как имеюиц>й порядок малой величины ду д.т т~, может быть отброшен (порядок производной — ра- У' ду нен едпнппе).
Тогда получим для уравнения неразрывности другое выражение: дх ' ду ' Т>' — "."-(--" — "-1- — о =О, (4. 19") где штрих означает частную производную по х, В случае неустановившегося течения уравнение (4.19) должно быть заменено урзвнениеь> (4.08). Из (4.19) и (4.19') могут быть получены интшральные соотношения, аналопшные (4.13). Для этого следует умножить оГ>е части (4.19) на о„")>>с1уи пропнтегрпронзп поуот 0 до д. Используя граничные условия, сохраняющие в д,юном случае вид (4,12), и уравнение (4.19'), мы с помощью преобразований, анзлогичнык проделанным в и.
3, придем к соотношению д Ги (м+' д — — )т г(у — — — 1 о Вс(у = дх 3 1+1 - а-(-! дх,~ а о =иГ~ ."Яду — И ) — (д—— " )')(~у— х >( — у ~ )>ьо>' — х, (4 20У Е С>ох > " ду >' у =: о ' являк>щемуся обоГ>щением интегрального соотношения, установленного проф, В. В. Голубев>нм, иа случай осесимметричного пограничного слоя, 10) ЕРАвнение движения В пОГРАничном слое 143. ном пограничном слое: 144 устАНОВИВШЕЕСЕ течение В НОГРАНИЧНОм СЛОЕ (ГЛ, !у При преобразовании последнего пз входящих в праву!о часть интегралов необходимо принять во внимание, что = — — ( ((!О! — '-~ — !тггп! — ' ( — 'у1, ду (, „дУ,) к (де,) ь ,! (14 двх) (4.21) о выражающее теорему об изменении количества движения для осесимметричного слоя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
