С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 25
Текст из файла (страница 25)
27 точкачп.) Некоторое Полученная Поэтому при нх Ь (д величина е носит, конечно, условный хзрактер. сравнении точности тех или нных методов 153 установившееся течение В погглнпчном слое (гл. !и расхождение имеет место лишь при малых знзчениях х. Оно обьясняется, во-первьж, влпшшем на данные опыта переднего края пластинки, которое имеет место во время эксперимента, и, во-вторых, гем, что теоретическое решение дчя этих значений х является, как указывалось, менее точным.
2. Приближенный численный расчет пограничного слон на плоском криволинейном контуре. !'ассмо!рим щшметричный контур, обтекаемый установившимся потоком мзлонязкой жидкости, скорость которого нз бесконечности параллельна оси симметрии контура. Лля расчета пограничного слоя на контуре воспользуемся приближенным методом интегрированы уравнения (4.09), предложенным в свое время Блази)- сом (см. нышецит. работу), а затем уточненным Хоуэрзом '1. Предположим, что скорость на внешней границе в!гран!иного слоя мо кет быть представлена сходящимся рядом: и хэ+ и з! (4.32) гле х — расстояние, отсчитывает!ое вдоль контура от передней критической точки, п,, аэ, ам ...— зэ ганные постоянные размерные коэффициенты, зависящие от формы обтекаемого контурэ; четные степени х в 14.32) отсутствуют вследствие симметрии течения, В дальнейшем ограничимся предположением, что У задано многочленом пятой степени, тэк как именно в этом случае соответствующие нычисленпч можно довести до конца с помо!цью ззтэбулированных Хоуэрзом функщ!йа!.
Т!!гдз для нходящего в правую часть (4.09) вырэжения УУ' получим: УУ' = — а! х+ 4а,а,х'+ бп,пах'+ Зл! ха+... Перейдем от у к безразмерной координате г:: — 1г -'у и введем, как прежде, функцшо тока !!з=..=(х, г1), закую, что ' дг!' У их' Имея в виду получигь решение, которым можно воспользоваться для рзсчета сзоя на любом об!скэемом контуре, предполоз,ич, ') 1.. 11 о из г1 И, АНС Рер. зпа 3)св., йй 1632, 1935.
!) В решении Влазнусз Пы.!и сохранены тозьяо первые двз чона рзз,!ожения (4.321. ф 11) ИР!мгеРы численнОГО Рдсчйтл 153 всходя из пила разложения Ш", что искомая функция ф может быть представлен«в виде ряда ф -= 1 ту —, [7 (а! х)+ 4уа (а,азх ) + буз (а а хз) + )/ а' + 6(г„. Гггх вхо) +...1, (4 33) где коэффициенты г«» уз, ь«в, Из — функции только г! п, как легко убедиться, величины безраамерные. Гюдставлггя найденное значение Иl' и функцию ф! в уравнение (4.09) и требуя, чтобы оно удовле~ворялось но всех точ!сах и для любого обтекаемого контура, т. е. при лнтбых х и а, прирзв~!яеьг друг другу коэффициенты при одинаковых а.а.х'тl ' в обеих частях равенства. Тогда для определения г 7 у;,,Гв, ью Из полу тм следуюгцую систему уравнений Л-' — У'г' Л ==1+ ~'!". (4 34) 'т Гтйг И; — 57!Из — 7!Iгз= —,;+И„- — 8 (Уз —,г,тч) где штрихи означают производные по г, Сохраним в рассмзтривземом случае граничные условие (4.27).
Тогда, выражая о„и о через Ь и принимая во внимание (4.32), легко найдем, что дол кно быть: при г = 0 /г = 7! = 7. = Гз ==,-. =,: ==- И; =!Гз = О, ! ! при г = сю /1 —— 1, гз = . -, ав =- —, И« = О, 4''а ь' так как мы требуем, чтобы условия (4.27) ныполнялпсь также независимо от вида обтекаемого кон!ура. Гистеьга дифференциальных уравнений (4.34) при данных граничных услониях была численно проинтегрирована Хоуэр.
зом. Згсаченпя тех из вычисленных им функций, которые нужны для определения о, и напряжения трения на обтекаемом контуре, дэны в таблице !!! '). ') Бо ~ее полные таблицы можно найти в вышецит, книгах: Г. Д ой ц я иск ий, гдэродг!Иам!гка пог'раничного слова (табл. 1) вли вбовр. сост. гндроаэрод. вязк. жилклч т. ! (табл.
4!. В последней таблице содеРжатсЯ Уточнвнные значенна фУикций Уь У!' и Ус, !54 устАновившееся тзчение в пОГРАничнОЯ слОе (Гл. !т Таблица 1П Уз (л) 85 (ч) ! Л5 (Я) л ! 71(ч) 71(л1) уз(Е1) Арй /1,'- (л) 0,001) 1,6 0 0,0000 0,2 0,2266 0,4 0,4145 0,6 0,5663 0,8 0,6859 1,0 0,7779 1,2 0,8467 1,4 0,8968 О, 000 0,125 0,213 0,269 0,300 0,313 0,3!3 0,307 0,00 О,!! 0,18 0,22 0,24 0,24 0,24 0,23 0,9323 0,9568 0,9732 0,9839 0,9905 0,9946 0,9970 0,9984 О, 298 0,288 0,278 0,269 0,26З 0,258 0,256 0,253 — 0,05 — 0,05 — 0,04 — 0,03 — 0,03 — 0,02 О, 00 0,00 0,21 0,20 0,19 О,!8 О,!8 0,18 0,17 0,17 0,0! 1,8 0,01 2,0 0,00 2,2 — 0,02 2,4 — 0,03 2,6 — 0,05 2,8 — 0,05 3,0 У~(0) = 1,23258766 75(0) = 0,7246 У5(0) = 0,637 и;(О) = 0,12 Таким образом, для выбранной степени приближения задзча оказывается решенной до конца, Из (4.33) люхсем теперь найти ззкон распределения скоростей в слое в виде: 25 = ~7 — ' — = 71 а1х+Зуза ха+ 6 ( !7!Па+65 — ')ха.
(4.35) х )' „лл ,5 (55 „) Напряжение силы трения на стенке равно.' "= ~'('— "),=. Отсюда, дифференцируя (4.35) по Г! и заменяя значения вторых производных при т)=0 числами, приведенными в конце таблицы П1, найдем: та = )l рра, ~1,23258766а1х+ 2,8984 азха+ 2 + (3,822 а + 0,72 — ~) ха~ ° (4 36) Наконец, условие отрыва (4.03) приводит к тому, что в точке отрыва т,=О.
Тогда из (4.36) получим следующее урзвнение для определения координаты х, точки отрыва; 1,23258766 а, + 2,8984 а,хт+ ( 3,822 а, + 0,72 — ) х, '= О. а1 ! (4.371 155 пгнмегы численного РАсчетА Полная величина силы сопротивления трения будет равна: л Г= 2 ~ т, соз (! а'х, 'о где 8 — угол между касательной к обтекаемому контуру и направлением скорости в бесконечности. Если течение безотрывно, то интеграл будет рзспространзн нз всю длину обтекаемого контура. Заметим, что аналогичным путем можно произвести приближенный рзсчет пограничного слоя и на несимметричном контуре.
При этом, конечно, в вырзжения (4.32) и (4.33) будут нкодить все степени координзты х. Формулы, аналогичные (4.35) и (4.36), оиределякнцне в данном случае и„ и т„, а тзкже таблицы соотнетству!ощик функций можно найти в книгах, цитированных на стр,153. Р,шсмотр!и в качестве примера расчет пограничного слоя на круглом цилиндре. В данном случае нельзя воспользоваться выражением У, которое получается прн безотрывном обтекании цилиндра потенциальным потоком, так как наличие отрыва зна ип ельно изменяет распределение скоростей. Поэтому мы обратимся к закону распределения скоростей во ннешнем потоке, найденному экспериментально, Соответствующие измерения были произведены Хименцем '), определившим закон распределения давлений на цилиндре радиуса 4,87 см при обтекзнпи его потоком воды(я=0,01 сырт(сетг), набегавшем со скоростью 19,2 сш/сам.
Последующий расчет по уравнению Бернулли дал для учзстка 0 ( х =- 8 следующий зэков распре селения скоростей: Е/=7,!51 х — 0,04497 х' — 0,00033 хз, (4,38) где х измерено в сж, а У в слг(сек, Подставляя давземые формулой (4.38] значения а„а, и а, в (4,35), можем легко построить профили скоростей па (у) в любом данном сечении х=сопз(. Наконец, из (4.37) найдем для координзты точка отрыва значение х,=б,97 слс, что соответствУет центРальномУ УглУ Рг=82о, если отсчитывать угол от передней критической точки.
Этот результат хорошо совпадает с данными опыта. '] К. Н1е ш е и т, 01и81ег'а Ро171, )онгп., т. 326, !91!. 1бб кстлновившвсся ткчвние в иогглничном слое [гл. Р ~(1 . 'на) (4лй()) (у .:.:. глч — глгк где ьч и и, — некоторые заданные положительные постоянные г) 1., Ножа г1п,ргос. о(1пе йоуз1 3ос., зег. А,т,!ь4, %919,9131. Изложенный метод, приближенного решения урзвнеа~й (4.09), являясь достаточно общим и точным, облздзет, однзко, двуми ирзктическими недостатками. Во-первых, при его использовзнии требуется задать С' (х) в виде многочлена не выше 5-й степени, что не всегда может быть сделано с достаточной степеньнг точноспп в чзстноспп для тел, более удобообтекземых, чем иилиндр, потребуется по мере удаления от передней критической точки учитынжгь все большее число членов в разложении (4.32), что приведет к необходимости численно интегрировать иовьш урзвнения видз (4.34).
Во-вторых, как и при всяком численном методе, здесь сильно затруднен качественный знзлиз получаемых результатов. Первое из отмеченных обстоятсльстп делает метод практически непригодным для расчета пограничного слоя на удобообтекаемых телах в области возрзстзния давлений, где точность расчета особенно сущсственнз в связи с исследоьжнием вопроса об отрыве слоя.
3. Приближенный расчет пограничного слоя в области возрастания давления. При построении приближенных методов расчета ио~[ыничного слоя можно часто с успехом иоаьзовзться следующим допущением. распределение скоростей (илп ускорений) в даннои сечении пограничного слоя из обтекземом контуре совладает с распределением скоростей (ускорений) в сечении пограничного слон нз некотором «зквивзлеитномх конгуре, если только для обоих названных сечений будут одинаковы скорость внешнего потока О и кзкзянибудь суммарная хзрактеристикз слоя, нзпример 3, 3 и или Точность расчета будет при ятом зависеть от того, в какой мере уазчно выбран хэквивалегнныйэ контур. Указанное допущение по существу и использовано в приближенном методе рзсчетз пограничного слоя для области возрастания дзвления, предложенном Хоуэрзом '). В качестве походного рассматривается пограничный слой нз каком-нибудь конгуре, для которого закон распределения скоростей во внешнем потоке линеен и имеет вид: 9 11) игимьгы численного Рлсчетл 187 величины ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
