С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Егера, й 31. Легко проверить, что вс всех тех случаях, в которых мы бтдем в дальнейшем пользоваться окончательной формулой (3.22), зто условие зыпошшетсж 7 с. м тгяг пз нзтстлновппшиеся течения вязкой жидкости (гл. ш который сходится равномерно всюду, кроме окрестностей полюсов рзг Подставляя это значение и в первый из интегралов равенства (3.!8) и замечая, что 1 Р, Лр ет/ = еэл', 2и',~ р — р„ глл.'..Ол~ найдем: „', иь( (рй Для вычисления ./з разложим подинтегральную функпию в облзстп р=О в ряд Лорана. В случае, когда р=0 есть простой полюс функппи и(р), это разложение будет иметь вид: и — = 1- (р) + — '+ — '„, (3.20) и ' и ' и где 1.

(р) — регулярная часть ряда. Тогда, как известно из теории вычетов, будет: '~2 ' 1 (~)' В случае, если точка р=б не является пии (3.16), е' =0 и из (3.20) следует, что Л (и) д, =- [и)» — н = ' уз(0) ' полюсом функ- (3.21) Подставляя найденные значения /, и Ув в окончательно: , Р,:т'. (рь) (3.18), получим (3.22) В См., например, питнрозанвые ьыше книги В. И. С м и р н о за нли А. И. Л у р ь е. известной формулой разложения дробной функппи на элементарные дроби '), мы можем представить и в области ИВ... Н( в виде ряда ч Л(зь) р и= „':~, рьу„(рь) Р— рь 71 некотОРыс саеденпн пз ОпеРлцион исчисления При этом следует пмечь в виду, что штрих в знаменателе Означает производную по р.

Формула (3,22) и дает оригинал функции, пзображеьиез1 козорой является дробная функция (3.16), удовлетворяющая условиям (3.17), Вопрос о сходпмостп стоящей в правой ".асти суммы должен в каждом конкрегном слу юе рассматриьзться отдельно. ~) Оригинал многозначной функции. Пусть изображением некоторой функции и(() является функппя и комплексного переменного р = ре'е, не имеющая в плоскости р никаких особенностей, кроме точки разветвления в начале координат '). Таким образом: ) =7(р), (3 23) где г' (ре'"-),' 7 (рсм+'-"'). В Г ).!айдем по данному изображеншо Г(р) его оригинал и(г). Обращаясь опять к формуле (3.02), перейдем в ней от интеграла в плоскости комплексного переменяого р к интегралу от функций действительно~о переменного. Для этого ! Фиц !и рассмотрим интеграл от — у (р) еж по з' контуру АВСВГГОА (фиг, 19).

Из условий, наложенных на у(р), следует, что в области, ограниченной названным контуром, подинтегральная функция никалих особенностей не имеет и, следовательно, рассм трпваемнй интеграл будет равен нулю. С другой стороны, этот ингеграл может быть разбит на интегралы по ОА, ЛВ, ВС, СНЕ, ЕГ и Г0.

Интегралы по АВ и ГО, как отмечалось, ири выполнении соответствующих условий дают нуль, з интеграл по ОА представляет собой интеграл, стоящий в праной ') Точкой разветвления называется такая точка, прн оехоае зо- ЕРЮ соторой функция меняет свое значение. Р)апрнмер, у фунх- кз цнп м= а точка р = О есть гочка разве селения. Лейстлнтельно, если П=РЕ~',.

~о ери = — О Рз=г ', а ири .Р=за ы= — -=. е 7" неустдновившп!.ся !'а'!Ения вязкой !кпАкосги [Гл. и! части (3.02). Принимая все зто но внимание, получим; = —,' ~ ~ у(р) "'-'-р+ 3-у(р)"' — "+ 1 -у(р) "" — "']. !св! !Рв! !гпс) (3.24) Перейдем к определению стоящих в правой частя интегралов.

При интегрировании по СВ р изменяется от 0 до — оо. Введем здесь новое переменное а, полагая р=е'аа=.— аа или а=е т р р= — !'р р. (3.25) Тогда будет с!)! = — — 2ас!а, и замечая, что а вдоль СЬ изменяется от О до о, наидем: г'(р) ем . = 2 ~ г'е (а) е — '! —, !св! О где !'я(а) представляет собою значение у(р) на прямой СВ. При интегрировании по ГЕ р изменяется от — сю до О.

Перей![ем здесь к новому переменному а„полагая: ! =.-е — ' и'-- — аа плп а,=-еа 'г'р=!)ур. (3.26) Сравнивая с (3.25), видим, !то а, = — а. Следовательно, будем поет!и ) У(р) е"' —, = — 2) /я ( — а) е-"'! —, !ре! е где !е ( — а) представляет собою значение ! (р) на прямой ГЕ. Заметим, ч!о на основании (3.23) у'*(а)=4=-Уа ( — а) и полученные интегралы в сумме не дают нуль. Накипев, последний из инте! ралов в (3.2')) !будет ранен вычету подинтегральной функции в точке р=О. Тогда, так как по принятым условиям у(р) ие имеет пол!оса в точке р = — О, получим: ~ у(р) г!~ р=у(О). !нос! игичьгы то'1ных Решений 3АлА'! 10! Подставляя все найденные значения н правую часть (3.24), будем окончательно иметь: и (г) = у (О) -( — †.

~ )!' (з) .-- )е( — з))е- "ч — . (3 27) 3 Формула (3.27) и будет лазать оригинал функпии, изображеюшм которой являетсн (3.23). Сходпмость стоящего в правой части интеграла лолжна будет и здесь в каждом конкретном случае дохазьшзться отдельно. й 8. Примеры точных решений задач о веустановившемся течении вязкой жидкости. Начзльнге>ш грзничнымп услониямп в нашей задаче будут: ири г = — (> о О, (3.29) ; =-и. при у=О () ) О) при 1=Г> (( ' О) !. Течение между двумя параллельными стенками. Пусть вязкая жидкость заполняет все пространство ме клу двуми горизонтальными плоскостямп, находящимися нэ расстоннии й друг от друтз. Пусть при этом нижняя плоскость псе время неподвижна, а верхняя начинает в момент г=н двигзться вправо с постоянной скоростью У (см.

фпг. 1), Пренебрегая лейт>мшем силы тяжести и считая давление всюду постоянным, найдем, кзк будет изменяться со временем движение жидкости мел<ау плосю>стгыш, если в момент г'=0 она была всн>ду неподвижна. Течение полагаем направленным параллельно оси Ох. При сделанных допущегиих движение жидкости будет плоско-параллельным и будут иметь место равенства (2.01) с той лишь разницей, что булет т> =о(г, у). Г!ри атом мы испольэовали вытекшощий из уравнения неразрывности факт, чго в данном случае о„не зависит от л. Тогда из уравнений движения вязкой жидкости (!.46) сохранится только перво.", которое будет иметь вил: =я (3, 28) 102 нвьстьновивишвся течения вязкой жидкости /гл.

ш да ф28 дги Жь в(1' 1!ри этом о будет функпией только одного переменного у п когшлексного параметра )и В результате вместо (3.28) получим для т уравнение ам 6 в агьг Интегрируя по у, в гиде; / о=д(р)з(г ( найдем общее решение этого уравнении 1гг — '- т)+7( (р)с(г ( 1/ -"- ь). Из (3,03) слелует, что условия (3,29) для о сохранятся и для и. Определяя по этим условиям А и В, получим: в г11 1l — г е =.— (7 — = (7 ~' т'г Ф) аь $/ --л (З.ЗО) Таким образом, мы определили изображение искомой функшш.

Это изображение представляет собою дробную функцию вида (3.16), удовлетворяющую условиям (3.17); при этом точка р = О не будет пол>осом ть в чдм легко убедиться, раскрывая получаюшугося неопрсделвнность, Следовательно, о будет лаваться формулой (3.22) Замечая, что полюсы о или, иначе, нули уг(р) находятся в данном случае в соответствии с (3.17) в точках, тле аггг» р = — — —,—,, (й=( Таким образом, залача сводится к интегрированию уравнения (3.28) при условиях (3.29).

1( тому же самому сведется решение задачи о распространении тепла в стержне длиною й при заланных температурах на его концах, Решение этой задачи хорошо известно. Мы воспроизвелем его здесь, пользуясь методами операггионного исчисления. Для этого перейдем в (3.28) от озигинала о к его изображению тс при этом преобразование булем производить по переменному 0 Тогда, тзк как у нас о(О) = О, то на основюши (3.05') и (3.07') будет: ИРимеРы то'1ных РешениЙ ЗАдАч й 8) получим пз (3,30); Л(р )=умп(lгп — „), р ~'(р„)=г' —",, /г( — 1)» Далее па (3.21), раскрывая нсопределйнносэь, будем иметь; %=11 ° Подставляя все зги значения в (3.22), найдем окончательно: =и~ — „'-1 — „А' ' „" ш(мт)* " '~.

рн1 «=1 Легко убедиться, что величина о, определяемая формулой (3.31), действительно обращается в нуль при Г = О, так как, пользуясь известным ридом ') ! — 1)»-1 э1п»х х — ( — п(х(и), » =-1 будем иметси м »=1 ( — 71(У(71). (3.32) СС »"-.'ч1 т=й — =й — 1+ 2 ~( — 1)» соз ((эп — 1 е "' ~. (3.33) Полагая здесь у=О и у=й, найдем напряжении трения '! С»1., например, 1!.

й!. р ы ж и к, Таблнцы интегралов, сумм, разов и прни 1зеэенни. Госте»издат, !948, стр. 276. Из доказанного следует, что ряд, стоящий в правой части (3.31), разномерно сходится, так как каждый из его членов по модулю меньше соответствующего члена в (3.32), Формула (3.31) н дает закон течения жидкости между рассматриваемыми плоскостями.

Замети»1, что в прелеле при 7= оо решение (3.31) переходит в решеняе соответствующей стационарной задачи. Этот результат можно было бы получить на основании (3.11) сразу, полагая в (3,30) р=0 и раскрывая получающуюся неопределенность так же, кэк мы зто делали при определении д1. Найдем в заключение напряжение силы трения. Для рэс. смэтрпваемого случая из (3.31) получи»и !01 няхстлновившпяся тз шния внзкой жидкости (гл. ш нз стенках. Оказывается, жо в кзждый данный момент 1 эти ни»ряжения не будут равны между собой. Если во<поль»паз<вся известным разложением сов 7<х =- — ' —, л, Р(сиз л И 1 — 27 <05 х л =! то пз равенства (3.33) легко <шйти, что в начальный момент напряжение на нижней (неподвижной) стенке равно нулю, з на верхней -- бесконечности.

В последующем движении напряжение на нижней стенке будет возрзстзть, з нз верхней убывать, () стремясь к общему пределу т„=И вЂ”. л ' Заметим, наконец, кзк отмечалось в и. 5 9 5, чт1 полу!ен!<ое решение дает одновременно приближенное выражение для распределения скоростей и напряя<ений между двумя соосиым» цилиндрами, когда просвет й между ними мал по сравнешпо с радиусами цилиндров и когда внутренш<й цилиндр неподвижен, з внешний в момент 1=0 начинает равномерно вращаться '). 2. Течение в круглой трубе. Задача И.

С. Громеко. Рассмотрим течение вязкой жидкости в неограниченной круглой трубе радиуса 77. Пологая, что во все время движения скорости жидких чзстиц нзирзвлены параллельно <жи трубы (ось Ог), будем иметь п,.—.=о„==0, Тогда из уравнения неразрывности найдем, что о„ вЂ” о не зависит от г и система уравнений (1.47), если пренебречь з<ассовьош а!лами, примет ди /д<в 1 дп 1 1 дзи' 1 ьгз (3.

Характеристики

Список файлов книги