С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Оригинал и его изображение. Пусть и есть непрерывная и однозначная функция действительного аргумента г, определенная прп (~-.0 и обращающаяся в нуль при 1(0. Пусть, далее, р= —:+Гг) есть некоторый комплексный параметр, действительная часть которого предполагается такой, .что стоящий в (3.01) интеграл сходится. т) Желавшим ознакомиться с операционным исчислением более подробно следует обратиться к соответствующей литературе, например, А. И.
Л у р ь е, Операционное исчисление в его приложения к задачам механики, ГИТТЛ, 1950 нли Х. К а р с л о у, Л. Егер, Операционные методы в прикладной математике, Изл. ин. лвт. !948. Читателю, ве знакомому с элементами теории функпнй комплексного переменного, придатся опустщь рассмотрение выкладок, связанных с получением формул (3.22) и (3.27).
Однако на примерах, рассматрвваейых далее в этой главе, он сумеет уяснить, как в аиалогячпьп случаях можно использовать этн формулы для решения задач. $ 7) накотогыв сведвния из опеглциои. исчисления 91 Введем тогда в рассмотрение величину и, являющуюся функцией комплексного параметра р и связанну>о с и(!) зависимостью: и =р ~ ие О'а>1, о Будем в дальнейшем называть и оригиналом, а и — изобралсениелг этого оригинала. Иногда для обозначения операции (3.01) мы будем пользоваться символом и- и, (3.01') озиача>оптин, что и есть изображение функции и(1), Формула (3.01) дает правило построения изображения и(р) по его оригиналу иф. Одновременно можно показать, что если известно изображение и, то буде~ и= —. 1 ивов с 4~ 2хт (3.02) где интеграл берется в плоскости р вдоль любой прямой, параллельной мнимой оси и расположенной справа от всех особых точек функции и (Р).
Форе>1>ла (3,02) дайт правило построения оригинала и по его изобрансению и. Формулы (3.0!) и (3.02) устанавливают взаимную связь между орип>налом и его изображением. Связь эта, если функция и(1) непрерывна, будет однозначной, т, е. данному изображению будет соответствовать один п только один оригинал и наоборот, данному оригиналу будет соответствовать одно и только одно изображение.
Следовательно, если найдено изображение о какой-нибудь неизвестной функции о п если установлено (например, по таблице изображений основных функций), что п>=о, то будет: о=те. Рассмотрим основные свойства изооражеипй. а) Изображение постоянной величины. Пусть с=сопя!.
'Тогда по (3.01) С =р >1 СŠ— ОгЖ= — СŠ— Ог ~ =С. о о 92 нвястлновившпвся твчвиия вязкой жидкости (гл. и Следовательно, изображение постоянной величины равно салсзб поспгоянноб величине: с=с. (3. 03) б) Изоб раже и не суммы. Из (3.01) очевидно, что если то=и+о, то то=и+о, (3,04) т. е. что изображение сугнлты равно султлге изобралсениб. и'и в) Изображение производной, Пусть — =о. аг Тогда, пользуясь формулой (3.01) и интегрируя по частям, найдем; Р аи о = р ~ — е — тгб( = р ~ ие — тт 1 + р ~ ие — маг~ .
,) иг с о с Полагая и и р такими, что предел произведения ие гп прп т- оо равен нулино, получим из предыдущего: о=ри — ра(0) или пи ри — )и(0); ит (3. 05) Если и(0)=0, то будем иметь; пи ри пг ' (3. 05') Точно так же доказывается, жо иаи рхи — р-"и (О) — ри' (О) —:- ~ —,, игх ' (3.06) где штрих означает пропзводнуго по й При и(0) =и'(О) =0 находим: рви ир (3. 06') Изображения производных боле.
высокого порядка строятся аиалопшно. Таким образом, при переходе от оригиналов к изображениям, операция дизхференпирпванил сводипсся и улсно.тгени~о изобралсения на парил~плср р в соопгвешспгвугогаеб сп спели. Полученными здесь весьма существоиными формулами раснрывается идея применения методов операционного исчисления к и|тегрированию дифференциальных уравнений. Оказывается, что если в обыкновенных дифференциальных уравнениях перейти от неизвестных функций к пх изображениям, то для изобрзженпй вместо дифференциальных получатся соответствующие алгеорапческие уравнения. Решив зги уравнения п найдя изображения, мы можем по ним определить искомые функции, например, с помощью (3.02).
Соответствующие упрощения, как видно нз рассматриваемого ниже свойства, полу шются при переходе от оригиналов к изображениям и в уравнениях с частнымп производными. г) Дифференцирование по параметру. Пусть и есть функция 1 и некоторого параметра и, т. е. и=и(1, и). Тогда иа основании правила дифференцирования интеграла по параметру будет: р — ~ ае огй(=)1~ — е — Ргм.
д Г Гда Отсюда, принимая во внимание (3.01), получаем: да . да д» ' до ' (3.07) Из (3.07) следует, что если и есть функция нескольких переменных, например и(х, у, () и если преобразование (3.01) производится по переменному г, то изображения частных проди ди изводных — и — будут равны соответствующим частныи дх ду производньщ от изображения а, т.
е. дй, да до1й1, д'и (3.07') дх ' дх ' дхо дхо н т. д. Преобразования же от частных производных по будут, очевидно, определяться формулами (3.05) — (3.06'). д) Изображение интеграла. Пользуясь формулой интегрирования по частям, получим: СО 1 00 р 1 ~) и(0) а(1) е — Рг(1= — ) е — Р' ~ и(0) с(9 ! + ~ и(() е — Рсй о о о о о ф 7) некОтОРые сведения из ОпеРАЦНОН. Нсчпслен1и 93 94 нвлстлновившився твчвния вязкой жидкости (гл, ш г Отсюда, полагая, что предел произведения е — О') и(3)М прп о сю равен нулю п принимая во внимание (3.0!), будем иметли а — -'-, ~ иа'г.
Р о (3.08) '1 и(( — 0)о(8)Ф, Таким образом, если принять во внимание о (3,05'), будет: аГ ио . ит,) о и (О) о (г — 3) дб = — „~ и (г — О) о (8) дб. (3,09) о ж) Значения оригинала при )=0 и г=оо. Введелл в (3.01) вместо ( новое переллениое т=фй Тогда получим: и=) и ( — л)е "дт. о Приближая теперь р к бесконечности, получим: (и) о, —— и (О) ~ е 'г(т =- и (О), о пли, иначе и (О) = и (со). (3.10) Таким образом, при переходе к изображениям онерапия ининегрироеания сеодиглся и делениго изображения на ларажесир р.
е) Произведение изображений двух функций. Опуская доказательство, укажем, что если известны пзображения и и и двух функдпй и(() и о(г), то произведение — ио р является изображением интегралов: 1 и (()) о (( — 1)) дб или о 2 7) накотогые сведения из оиагьцион. исчпслюшя 95 Таким образом, чнгобы получить значение орогинала лри 1= О, нужна взягль значение его изображения лри р = .о. Для получения второго соотношении заметим, что выражение (3.05) можно с помощью формул (3.01) представить после сокращения на р в виде: и — и (0) = " — - е — ь' бг'. ,) дг а Положив в этом равенстве р=О, получим: г' да (и1Ь =- ь — и (0) = ~ — бг = и (оо ) — и (0), ,),и откуда следует, что и (оо) = и (0).
(3.11) Тавот образом, щлобы получить значение оригинала лри г= оо, надо взяьяь значение его изображения лри р = О. Справедливость формул (3.10) и (3.11) можно, в частности, проверить на рассмо~ренных ниже примерах (3.12)— (ЗЛ 5). 2. Изображения и оригиналы некоторых функций. Ниже рассматриваются только те немногие примеры, которые нам понадобятся при решении задач этой и некоторых последующях глав. Рассыотрпы вначале два примера построения изображения по оригиналу.
а) Изображение степени. Г!усть и=г", где и) — 1. Тогда по (3.01): и=р ) гье — ИЖ, ь Прп и .ь — 1 стоящий справа интеграл сходится и может быть выражен через гамма-функцшо Эйлера. По определеншо Г(л 4- 1) = ~ е "хл а'х. ь Полагая здесь х=рг и сравнивая с предыдущим выражением, получим: ""+"-:(л ( > — П. (3. 12), рь 96 неяс1АиовившиесЯ течениЯ Вязкой нгидкости [гл, 1 (11 В частности, при и = — †, , так как Г ~ — =) п, будем 2 ' иметы УО, 1 (3.13) 1ЕГ .Наконец, если и — целое число, то (3.12) примет вид: п[ 911 (3.14) б) Изображение показательной' функции. Пусчь и,=е ', где а) О.
Тогда пз (3.01) следует, что и=р ) е-Ш+Е1'аг'. Отсюда, вычисляя интеграл, найдем: — — ' е — аг 9+а [3.15) Аналогично можно получить изображения ряда друп1х функций. Рассмотрим теперь два примера решения более сложной обратной задачи построения орип1нала по данному его изображению. Результаты, которые мы здесь получим, будут неоднократно использованы в дальнейшем. в) Оригинал дробной функции. Пусть изображение и некоторой функции и(1) есть лробнан илп мероморфная функция (т. е. однозначная функция, не имеющая ч плоскости р никаких особенностей, кроме полюсов '), представленная в виде отношения двух целых трансцендентных функций комплексного переменного р: Л (з) 1»(Р) (3.16) 1) Ом., например, В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т.
П1. Гостехнздзт, 1939, стр. 443. Пусть при этом функция и имеет глолыго простые полюсы р», расположенные на отрицательной часьяи дейгтаи- 8 7) нгкотогык сведения пз опкглциоьп исчислкипя тельной от, т. е. пусть уз(р~)=0 (и=1, 2, ), где ) р3 ) )'з ) Точка р= 0 может при этом или быть тоже простым полюсом функции и (р) плп не быль пм, Найдем по данному изображению и(р) его оригинал и((), пользуясь формулой (3.02). Для этого рассмотрим в плоскости р=ч+гт1 интеграл от функции — иеж по контуру ! р (ВСОВгОНА (фиг. 18). Тогда будет: иет' — = ~ лети — -1- ~ иет' --+ ~ иеж —, — — --+ ~ , ир г - ясир г - ир, и - ир слаб.ил1 <лв~ 1СОЕ1 1йо) так как интегралы вдоль ВС, ЕЕ и ОНА равны нулю ').
Но сумма интегралов по АВ и ВО представляет собою как раз интеграл, стояитий в правой части (3.02), так как прямая АО лежит правее всех особых точек функции и(р). Следовательно, будем пметсн и= —. ~ иеы — + ! Г -ыт!р Б Е Г =2к( ~ ' р б Л слп.. ил) -) — '.- ~ -з -"Р-=У,+Уз. (3А8) 1ВПС1 Перейдем к определению интегралов, стоянтих в правой части (3.1 8).
По принятым условиям и имеет в. Фиг. 13. области АВ... НА только простые полюсы р„. Тогда, принииая во внимание (3.16) и пользуясь с) Послелнее утвержлсние будет справедливо, если можно указать такие постоянные велкчнйы зм С и Л (Л > 0), что прн р=уетт( — л(т(.) булес иьг Су л, когда р >уз. Доказательство этого положения см., например, в выше питнрованнои книге Х. Карслоу н 1(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
