С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 11
Текст из файла (страница 11)
2 1, п. 6). Кроме того, в реальных условиях трубы конечной ллины течение, подчиняющееся законам (2,23) и (2.24), будет устанавливаться только на достаточно большом расстоянии от входного сечения (подробнее об этом см. в главе У1). Рассмотрим теперь задачу о течении в произвольной неограниченной цнлиндрической трубе, ось которой парзллельна оси Ое, а поперечное сечение дано уравнением 7(л, у) =б. При этом опять полагаем, что жидкость течет параллельно осн Ое п пренебрегаем действием мзссовых сил.
Тогда будет Г= О, ю„=оУ= 0 и уравнения (1,46), если положить в них О =О, Из этого выражения следует, в частности, что в круглой трубе осевая скорость равна удвоенной средней по сеченшо .скорости. Принимая во внимание равенство (2.18), находим яч (2.22) следующее выражение для перепада давлении вдоль оси трубы.' 9 51 пРнмеРы точных Решений примут внд: дха даи ! др —.+ — = —— дх' дух я да ' (2. 25) (2. 26) Из (2.26) следует, что р=р(з), а п=п(х, у) и, следовательно, в (2.25) правая часть опять будет удовлетворять условию (2.18). Таким образом, задача сводится к нахождению решении уравнения (2.25), в котором п=п(х, у) и правая часть постоянна, при граничном условии тг= О, на поверхности у (х, у) = О. К этой же проблеме сводится задача о кручении упругих призматических стержней, решенная для довольно большого числа контуров '). Таким образом, используя эти решения, можно сразу найти законы течения з трубах с соответствующими поперечными сечениями.
В качестве частного примера рассмотрим течение в эллид!наческой шрубе, сечение которой дано уравнением "—. ,+6 — 1=0 (2.27) Легко сразу убедиться, что функция 1 а'Ьз др / ха уз~ и (х, у) = — —,, — ( 1 — — — — ) (2.28) 2наа+ за да (, ах Ьх,) ! др гааЬз 4Р да аз+ за ' г) См.
А. Ля в, Математическая теория упругости, ОИТИ, 1933, стр. 323. удовлетворяет одновременно и уравнению (2.25) и условию и = О на поверхности (2.27), следовательно, (2.28) и есть решение поставленной задачи, дающее закон распределения скоростей в эллиптической трубе.
При а = Ь это решение дает, как и следовало ожидать, закон распределения скоростей в круглой трубе (2.21), а при а = оо, Ь = й (2.28) дабт ззкон течения в плоской трубе (2.12). 1!з (2.28) можно определить величину протекающего через поперечное сечение секундного объема жидкости, которая будет ранна: пгоствйшия ьстлновившився течения (гл.
и и величину средней по сечению скорости: ГУ 1 ар агат гаЬ аядг аз+за' Ряд других случаев, а также приближенный способ определения средней по сечению скорости, основанный нз аналогии с упоминавшейся задачей теории упругости, рассчотрены в книге акзд, Л. С. Лейбензона'). 4. Течение в кольпевой трубе. Круглый цилиндрический поршень. Рзссмотрим течение вязкой жидкости в кольцевой трубе, образованной двумя соосными круглыми цилиндрическими поверхностями: внешней — радиуса Й и внутренней — радиуса )тп Полагзя, что течение в просвете между поверхностями происходит парзллельио обрззующим, найлем, так же как и в п.
3, что урзвнение движения жидкости в этом случае сведвтся к (2,19) и общее решение его будет иметь вил (2.20), От предыдущей данная задача отличзстся только граничными условнямн, которые теперь будут: при г=гс и при г=)7г о=О. Определяя в (2.20) значения С, и С, по этим условиям, найдем окончательно следующий закон изменения скоростей в сечении кольцевой трубы: — Р ~()~а - — (7-',) (и -г — (га — й;) (и — ~, (2,29) В предельном случае при )с, = 0 формула (2.29) после раскрытия неопределенности переходит, как и следовало ожидать, в (2.21). Рассмотрим другой предельный случай.
Пусть просвет между трубами будет мал по сравнению с радиусом. Положим тогдз Й вЂ” гс, =)г, и г — )с, =у. Разлагая соответствующие логарифмы в ряды, получим выражение (2.07), в котором только вместо )г будет стоять )гг. Подставляя выражение (2.07) в (2.29) п отбрасывая члены высшего порядка малости, найдем окончательно следующее приближенное значение для н: о = —;,— ~ ()Ву — уа). 1 Ьр (2.30) 9 Л. О. 31 е йсе язон, Руководство по нефтепромысловой мехзниле, ч. 1. Гидравлика, ГНТИ, 1931, стр. 15 — 33.
51 9 5) ИРимеРы точных Решений Если теперь положить в пределе Ь,Я, = — О, то отброшенные в (2.30) члены обрэтятся в нули и (2.30) будет давать точное значение о для течения в плоскоЙ трубе. В последнем легко убедиться, замечая, что (2.12) переходит в (2.30), если только заменить в (2.12) х нз е, совместить ось Ое с нижней стенкой и положить 2Ь =до Из предыдущего легко получить закон течения жидкости н кольцевой трубе с перенещзющпчися стенками.
Это решение дзет в первом приближении (без учета влияния концов) закон течения счазки в просвете между боковыми стенками круглого поршня и цилиндра. Рассмотрим течение между двумя цилиндрзяи, пз которых внешний, рэдиусз Я, неподвижен, а внутренний, радиусэ Я, (пор1иень), перемещается влево со скоростью С', (см. фиг. 10). Уравнение движения жидкости будет в этом случае опять иметь вид (2.19), а закон распределения скоростей в слое между цилиндрами будет в силу линейности уравнения (2.19) даваться выражением, равным сумме правых частей, стоящих в (2.29) и (2.05), где только гшдо положить (У= О. Это выражение можно получить и непосредственно из общего решения (2.20), определяя С, и С, по соответствующим граничным услозияч. Рэссмотрим случай, когда просвет меэкду цилиндрэми д =-тс — (т', достаточно мзл по сравнению с Ди Обозначая тогда попрежнему г — й, =у, зэменпм правую часть (2 29) через (2.30), а правую чэсть (2.05) через (2.03), положив при этом (/= О.
Тогда, принимая во внимание (2.13), получим для скорости течения в кольцевом просвете следующее приближенное выражение: 'а= — а, ~' (Ьу — Рэ) — (/, ( 1 — «11 . (2.31) 2Р1 - ' 1', Ьу Отсюда найдем величину секундного объЙма жидкости, протекающего через кольцевое сечение: Я~=2пй, ~ па«=2пй,61(«" . ' ' — У,1. (2.32» — ) лт бз! о Приведенное решение дает (без учетэ влияния концов) зэкон течения смазки между стенками круглого поршня и неподвижного цилиндра. При этом в (2 32) соответственно будут: Йы ( н (I,— радиус, длина и скорость перемещения поршня; 62 пгостейи!Не устлновияип!еся течения (гл. п /! = )с — )с! — толщина просвета между поршнем и цилиндром; рз и р, — давление перед и за поршнем; р — коэффициент вязкости смазки. Интересно отметить, что если при данной разности давлешгй рр — р, поршень будет переиещзться в направлении, противоположном градиенту давления, со скоростью (ра — 1>!) Лз бя! то, как видно пз (2.32), расход смазки будет рзвен нулю.
Для напряжении силы трения из поверхности внутреннего цилиндра (поршня) найдам энзчение Отсюдз полная сила трения, действующзя на поршень длины 1, будет равнз: Р=2иР,,*!»=2ид)!с!1 — ' — пй!1! (рз — р,). и, 1 Последним членом по сравнению с рззностью сил давленпя, действую!цих на поршень, равной ива!(рз — р,), можно, очевидно, пренебречь. 5, Течение между двумя вращающимися цичнидрамя. Рассмотренные выше примеры относились, как легко видеть, к одномерным течениям низкой жидкости. Обратимся теперь к одному пз простейших случаев плоско-параллельного движения.
Рассмотрим установившееся течение вязкой жидкости между двумя неограниченными в направлении оси 0» круглымн сооснымп цилиндрами, из которых внутренний, радиуса )с1, врзщается с постоянной угловой скоростью ы„а внешний, радиуса )са,— с постоянной же угловой скоросюю мх. !г!ассовыми силами будем, как обычно, пренебрегать. Для описания движения воспользуемся системой цилиндрических координат, ось 0» которой совместим с осью цилиндров. Ввиду однородности среды мы можем в рассматривземом случае полагать, что течен!ш во всех плоскостях, перпендикулярных О», будут тождественны.
Кроме того, будем считать, что жидкость движется по концентрическим окружностям с центрами на оси 0» и что 63 ПРПЧЕРЫ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ в силу симметрии течения характеристики его не зависят от координаты р. Тогда будет: в,=ю,=О, о =о(г), р=р(г), и уравнения движения жидкости в цилиндрических координатах (1 47) примут вид: (2.33) (2.34) яг2 ' г чг гя Легко убедиться, что общее решение уравнения (2.34) будет: о= — ' Д-Сег. г Граничные условия в нашей задаче имеют вид. прн г = );>, о = ЫЯ„' при г= Йа о = м,(~' . Определяя с помощью этих условий постоянные интегрирования С, и С, найдвм окончательно следующий закон изменения скорости: 2 (маД~„— Ы~Я ) га-(- (ви — мй /~ф., (2.35) (Гс,— 1с,)г Подставив это значение о в (2.33), можно определичь закон.
изменения давления в радиальном направлении. Подсчитаем напряжение силы трения в движущейся жидкости, Из (1.43) и (2.35) найдем для единственной, отличной от нуля компоненты т„, значение Г Ки о Ч ЙР(м~ — РМ) д22Р22 иг г 2' (Е2 о2)гт Из (2.36) видно, что напряжение силы трения убывает по мере прибли кения к поверхности внешнего цилиндра. Если выделить в лвижущейся жидкости цилиндрическую поверхность радиуса г и высоты Н, то на этой поверхности т, буд т постоянно, и сила трения, действующая на всю поверхность, будет равна 2игНт,.; для момента относительно оси Од- 64 ПРОСТЕЙШИЕ УСТЛИОВИВИ1ИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ (ши и сил трения, действующих на ту же поверхность, получим выра- жение 4 ха Н (м1 — ИИ) )7ГЙ',- М, = 2пгеН".,„= — —, =.
(2.37) Величина этого лнтмента, как видим, не зависит от Р, Так как ири вычислении компонент напряжений мы считаем гюложительным направление внешней по отношению к выделенному объему портили, то (2.36) и (2,37) дают значения т, и М„ возникающие на поверхности радиуса г вследствие ее трения о поверхность радиуса г+йг, Если же рассматривать трение этой поверхности о поверхность радиуса г — Ьг, то тогда внешняя нормаль будет иметь направление — г и правые части (2.36) и (2.37) изменят знак, Из (2.37) в силу сделанного замечания следует, что моменты сил трения, действующие на каждый из враидакзщихся цилиндров, бутут численно равны, но противоположны по знаку, П -- 77,ы, = — иы 77еыа = — (7, 77х — 77, = И, — 77, = — у и считая И и у малыми по сравнению с )7„мы легко найдем в этом случае из (2.35) приближенное выражение для о, сов- И падающее с (2.03).
В пределе ири — = — 0 формула (2.35) переходит в (2.03), дающую скорость течения между параллельными плоскими стенками. Другой предельный случай найдем, полагая 77з=оо,ма=-О, Получаемое решение будет определять течение вязкой жидкости, вызванное медленным вращением в ней крутлого цилиндра. Формула (2.35) даст при этом следуюитий закон распределечия скоростей в жидкости: и ~)71 г а величина момента сил трения будет: Л. = — — 4ИЙНы, 77,. Полученные здесь результаты дшот в случае ламинарных течений достаточно хорошее совпадение с соответствующими вкспериментзльными данными.
Это также может служить косвенныч подтверждением правильности тех предположений, из которых исходят при выводе уравнений движения вязкой жидкости, й 61 пгивлиженные Ращения злдлч й 6. Приближенные решения задач об установявшемся течении вязкой жидкости между твердыми стенками.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
