С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Уравнения движения вязкой жидкости в компонентах напряжений. 1. Силы, действующие на жидкую частицу. При изучении двинсения непрерывной жидкой срелы исходят из рассмотрения движения вылеленной в данной среде произвольной жидкой частицы; при этом предполагается, что результат исследования не зависит от того, какую именно геометрическую форму будет иметь вылеленнэя чтстицэ. Силы, действующие на выделенную в среде жилкую частицу, нокно рдзделить нэ дшгговме или объемные и еоеерхнгкгггнме. Л4агговыдги называются внешние силы, лействующпе нэ все часпгцы данного обьймэ жидкосмь Примерами таких сил могут служить сила тяжести пли центробеэкная сила, действующая нэ частицы жидкости, заключенной во вращающемся сосуде.
В гилромеханике массовые силы характеризуют вектором Р, величинз которого равна отношению силы, действующей нэ ланную частицу, к массе этой частицы. Например, в случае, когда действунищей силой является сила тяжести, будет ге= у, где а. — ускорение силы тяжести. Размерность Г совпэдает с размерностью ускорения: ('ге) = л,'гед.а. (1.1 4) ') Л.
Прзндтдь, Гндроаэромеханнка. Изд. нностр. днт. 1949, стр. 143. кгхсиения двилгения ВязкОЙ жидкости Проекции вели шиы Г на оси прямоуголькой системы координат будем соотвегственно обозначать через Р, гч и Г,. Ооверлносглные силы представляют собой результат действия на выделенную жидкую частицу окружающей ее жидкости и приложены к элементам поверхности, ограничивающей объем жидкой частицы.
Поверхностные силы характеризуются вектором р„, называемым напряжением поверхностной силы, величина которого равна Отно~иению силы, действую:цей на элемент поверхности с нормалью и, к Величине площади этого элемента. Размерность р„ будет: [р„[ = кг[мг 11.15) Следует обратить внимание на различный смысл индексов в выражениях р, и рл. Величина г" означает проекцию век|ора г" на ось Ол; выРажение же Рл означает вектОР, дейстВУюший иа злеменг плоиыли с нормалью л, йрнчем направление рл иообше не совиалает с направлением л. Если провести через вектор р„ и нормаль и плоскость, то в этой плоскости можно вектор р разложить на две со- в ставляюшне: одну, направленную вдоль и, и другук, ей перр„. пендикулярную и лежащую в касательной плоскости, Величпр ны этих составляющих будем обозначать рлл и ргн и называть соотнетственно норма их) ) ны.и и каеаиыльиы,и налрлдкенилма на элементарной площалке с нормалью л (фиг, 3).
Касательное напряжение рги и Фиг. 3. представляет собой для данного элемента то напряжение силы Внутреннего трения, которое лля простейшего случая было определено в и. 3 В 1. Если и движущейся жидкости пренебречь наличием вязк юли, то мы придем к иокятию о невязкой или так называемой идезльной жидкости. В идеальной жидкости рги == О и напряжение на любой элементарной площадке будет напраВлено ВЛОль нормали Внутрь Выделенного Объбыа жидкости, Это нормальное напряжение называется давлением в данной точке 29 уяавнвния в компонентах напгяжений 9 2) идеальной жидкости. Легко показзть, что давление в па ннпй точке идеальной жидкости не зависит от направления той гшощадки, на которую оно действует.
Для этого выделим элементарную частшгу в форме призмы с основанием ЛВС и высотою, рваной единщье 1фиг. 4) и обозначим лзвления на ее бокоеых у ~рзнях через )яп рз и )та Тогда, составляя ураьн ния движения частицы в проекциях на оси координат и переходя к пределу, убелимся, что (1.16) гил ) +спи' р (1.17) (1.18) где р есть функция только координат данной точки и времени, 11елпчины т„„и т„, характеризуют при этом ту часть напряжения, которая определяется наличием вязкости, и зависят не только от х, у, з и г, но и от направления илшцадки в кзжлой данной точке. С исчезновением ввзкости величины т и 'л» тьч обращаются в нули, а р принимает значение давления в идеальной жидкости.
В самом деле, заметим, что дей- ~утс ствующие на частицу массовые силы и силы инерции при пере- Фиг. 4. ходе к прелелу, т. е. при приближении площадки ВС к точке Л, дадут нуль, так как онп пропорциональны кубу линейного элемента. Для спл же дзвления уравнение в проекции на координатную ось Сьт даст В, ° ЛС вЂ” В, ° СВ соз а = О, откупа р, =В . Аналогично получим рз =рз, чем и доказываются равенства (1.16).
Тзким образом, давление в идеальной жидкости есть функция только коорлинат точки и времени: у =р (х, у, ', 1). Аналогичный результзт будет, очевидно, иметь место и для гидростатического давления в покоящейся вязкой жидкости. Для движущейся вязкой жидкости можно также ввести понятие о лавлении р в данной точке, если допустить, что нормальное и касательное напряжения на любой площадке с внешней нормзльк> л можно представить в виде: )гл. ! !'Рлвнения дини!гния ВязкОЙ жидкости 2.
Напряжение на ко ой площадке. Компоненты напряжений. Пусть положение жидких истиц определяется по о~ношению к некоторой прямоугольной системе координат ') Охуг. Выделим в жидкосп! элементарную частицу в виде тетраэдра АВСО, три грани которого перпендикулярны направлениям координатных осей, а четвертая ВСО с нормалью ив наклонна (фиг. 5); эту ~рань ' 'Г К а будем называть в дальнейшем наклонной илн косой /'- Р„ Р площалкой.
Обозначим напряжения на площадках, перпендикулярных осям координат, Л соответственно через Р, Рл р,. Проектируя этц векторы на осн координат, получим У следующие девять величин: р,.', р„, ркм (1АВ) Рт Реи Рта Здесь, н соответствии с принятыми обозначениями, р,„— проекция р„иа ось Ох, р — на ось Оу н т.
д. Заметим, кроме того, что р,„, )! !! Рм представлянгт собою нормаль. ные напряжения на площадках, перпендикулярных соответствующим осям координат, а остальные шесть членов, содержащиеся в табличке (1.19) — касательные напряжения на тех же пло. щадках; при этом по закону парности касательных напряжений имеем: Фвг.
б Величины, входящие в табличку (1.19), называются лол!аонеатами маари.всеми!1 в данной точке жидкости. При заданных направлениях осей координат они будут функциями только х, у, г и С Так как силы, действующие на частицу АВСО, должны удовлетворять уравнениям движения этой частицы, то напряг] Мы всюду будем пользоваться !олька арлиоугогьам.на декартоамлги осями координат н в дальнейшем ингле это обстоятельство специально оговаривать не будем.
ф 2! углененпя В компонентАх нлпгязгений 3! жение р„на косой площадке ВС(г может быть выражено через компоненты напряжений (1.19). Нормаль л к площадке ВС!г образует с осями координат углы, косинусы которых обозначим соответственно через а, 3, Т, где а = соз(л, х), гг = соя (гц у), Т = сов (л, е). (1.21) Тогда, составляя уравнения движения частицы АВСОв проекциях на оси координат и принигюя во внимание, что при переходе к пределу, т, е. Ири приближении площадки ВСЕ> к точке А, члены уравнения, содержащие массовые силы и силы инерции, дадут нули, получим: Р„г=р „а+Р„Р~~+р„,Т, (!.22) тле Р„, Рею Р„г — пРоекции напРЯжениа Р„иа осп кооРлпнзт. Из (1.22) вилно, что заданием компонент напряжений опрелеляется напряженное состояние в данной точке, т. е. напряжение на любой, проходящей через эту точку площадке. Проектируя р„на нормаль л к плоецадке ВСО, получим, зна ~ение норлга.гьного наярллсенил на косой площадке Рл„=Р„га+Р„~~+Рь Т Подставляя сюда значении проекций р„из (!.22), нзйдлм окончательно: р„„=(г„,а'+р рз+р, у'+2р„ар+2Р,37+2 р„,уа.
(1.23) Заметим, что ио аналогии с (1.17) компоненты напряжений можно представить в виде: Р г= Р+тхгг Руу Р+туу Ргг Р+ гг ~ (! 24) Р. =т и Ъ Аг .гу' Руг туг' г гг 'гг' Тогла из (1.23), используя (!.17) и (1.24) и пршшмая во внимание, что аг+рз+Тг=1, получим след>ющее выражение для той части нормального напряжения т„„, которан оирелеляется наличием сил вязкости; т„,=т „ах+ т (гг+т Та+ 2т~а3+2т~,~Т+2т„уа. (1.25р )гл. в гелвнвния движения вязкой жидкости Кроме составляющей р„„, вектор р„будет в общем случае иметь еше п касательнУю составлЯюЩУю Р„п величинУ .которой можно определить из очевидного равенства 2 ~ 2 2 ~ х РнГ т Рнн =Рпх т РЛХ ГР В заключение отметим, что в каждой точке жидкой среды существуют трн таких взаимно перпендикулярных площадки, на каждой из которых действуют только нормальные напря- женая, а касательные напряжел ния равны нулю.
Доказательство ч)х этого замечательного положения моасно найти, например, в р у.,» " Р' книге Н, Е. Кочина, И. А. Кпбель, Н. В. Розе «Теоретид ческая гидроыеханнка», ч. 1, у ГТТИ, 1948. 3. Уравнения движения в прямоугольной системе координат. Рассмотрим в движущейся жилкости некоторую -точку М с кооодинзтами х,у, з и выделим вблизи точки М элементарную х,идкую частицу в форме прямоугольного параллелепипеда с ребрами Ьх, Ьу, Ьз (фиг, 6). Пусть напряжения поверхностных сил на гранях, проходящих через точку М, будут Р„, Рю Рн а на соответственных пм параллельных гранях: Р„, р „Р, (на фиг. 6 показаны лишь векторы Р, Р,), Прн 1 этом, считая напряжения функциями координат точки и принимая во вннманяе направления напряжений на гранях, будем с точностью ло малых высшего порялка пметги Рх — Р~+ д " и с1 Рл = Рг+ д ~ бу 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
