С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Нв дн, о„дь,, Н О,, НВО, Слй 0 ' дг + г дв + г в!и 0 дв др (д~.. ! дгп„! дло. рг в!и еде (, дгв г двл гав!и-'0 дтв ' доч, с!Недо 2 дп, -т- — — т — + — — + дг гв д0 ' г'вела дт 2 сов 0 дев о + гв влил 0 дт гв в!Нл О/ ' дог д! '!1.48) дО0 дпв т'В дОВ С', дОВ О ОЛ О С!йг " си+ 'дг г де+гв!Недт ) г ! др /длов ! двов ! длов ,г дв (,дгв г' дев глв!ив в овл 2 днв с!й 0 днв 2 сов 0 до., 2 дн, ол нв г дг + гв дв ел в!иле дз ' г' д) г! МН00) ' до„! дов ! де, 2о, ов с!я 0 дг г дв гв!пв ся г г — — — — — — — — — = о.
/ Последнее из уравнений (1.48) является уравнением неразрывности в сферических координатах. Если изучается дни!кение нагреваемой жидкости (г~.'= сопв!.), то вместо уравнечий (!.47) и (1.48) должны быть взяты уран ненни, аналогичные по виду (1.45), в правых частях которых 0 будет стоять под знаком производных. 46 яглвненин дсижвния вязкой жидкости (гл. в й 4. Уравнение энергии.
1. Рассеяние механической энергии. Прн дви;кении консервативной механической системы работа, сшсршенная приложенными к ней силами, идет целиком на изменение кинетической знерпш систеиы. В случае лвижения вязкой жидкости нади ше внутреннего трения приводит к тому, что часть рзйоты приложенных сил идет на нагревание жидкоспи Процесс этот, как указывзлось в и 1, нззывают процессом рассешшя или льссипации механической знерпш. Если рассмотреть елиницу объема несжимаемой жидкости, то изменение еа кинетической знерпш за единицу времени будет равно '): ес' а'е — ~ — ~ = ре - — = реги. Й з т ' л -'(-' -" Ооозначин работу, совершаемую зз единицу времени массовыми и поверхностными силзмп, действуюцсими на единицу объема жидкости, соответственно через Аг и А, а количество механической энергии единицы объема, переходящей за единицч времени в тепловую, через Е.
Тогла будем иметь; А.— ,', А =ите+Е. р (1.49) Найдем значение Е в случае несншиаемой вязкой жидкости. Из опрелеления рзботы непосредственно следует, что (1,50) где à — массовая сила, действующая на елиницу массы. Для опрелеления А рассмотрим выделенную при точке М(х, у, г) жидкую частицу, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами цх, му, и (см. фпг. 6). Лля напряжений на гранях этого параллелешшеда воспользуемся обозначениями п.
3 9 2. Тогда работа, совершенная за единицу времени поверхностчшй силой, действующей на грань, перпендикулярную оси Ох и проходящую через точку А4, будем р„е цу й т. ') Здесь, ках и всюду далее, иЬ представляет с ~баю скалярное гргнзвсление канис-нибудь лвух векторов а а Ь. Напомним, что по=илах+и З +а,а,. лгелвньние энгггип На проп1воположной грани, принимзя во внимание направтения напряжений и зависимость р„ и о от координат точки, получим для соответствующей рзооты выражение — 'и — — — й х ( й 1';1 д (Р«в), дх д(р в), ~(Р» ), д(р«я) г дл. ~ ду + д« =Ф~' — «+ — + — -~-г р --+р —, .р. —.
(1,51) ядр«др», др 1 дв дв, дв Лд« ' дУ д! ' «дх тдр ' «д.' Но нз (1,27), если умножить обе части этого равенства нз ро и принять во внимание (1.50), следу'ет, что 7др» др, др«'~ о ~ — + —.'+ — = — урду — А 1дх ду дз 1 л' Заменяя в (1.51) соответствующие пены правой чзсти полученным выражением и подстзвляя найденное тзким образом значение А в (1.42), найдем; де дв г»э Е=Р«д . +Рх ду+Р«д (1.52) Величину Е, определяем)то рзвенством (1.52) и равную количеству механической энергии единицы обьема вязкой жидкости, которое зз единицу времени переходит вследствие рассеяния энергии в тепловую, будем называть фунжтлиег1 рассеяния. За«летим, что размерность ее в техющеской сист ме гтпниц будет: Найдем выражения Е через компоненты скоростей деформаций.
Раскрывая скалярные произведения, стоящие в правой части (1.52), будем нллетлп дв до« д«д дз Р«дх Р«хдх +Р«лдт +Р'«дал Аналогичные выражения получим для остальных четырех граней. Складывая все эти величины и деля результат на Ьх Ьу Ьг, найдем, что лв уехвнвния движения вязкой жидкости (гл.
! и аналогичные выра>кешгя лля двух лругих слагаемых. Г)ользуясь равенствами (1,24) и (1.42), заменим в этих выражениях компонеигы напряжений чеРез компоненты скоростей деформаций а>; одновременно соответствующие комбинации частных >> производных от и„, т>, т>, также заменим через а, с помощью (1.36).
Гогла, принимая ещй во в:имание уравнение неразрывности (1.ЗЗ) найдем окончательно: Е >ч(аг + а +ат +2а! +2, +2вт ) (1 33) В слгглегн! цилиндричесл их, а также в сиплсл>е сферических координат выражение Есохраняег вид (1.53), но при этом в круглой скобке вместо квадратов компонент скоростей деформаций в прямоугольной системе координат булут стоять квадраты компонент скоростей деформаций в соответству>ощей криволинейной системе координат (виесто в „будет е„, вместо а„будет а„и г, д.).
Значения этих компонент опрелелюотся из (1,43) и (1.44). 2. Уравнение притока тепла. В тех случаях, когда при изучении лвиженпя вязкой жидкости принимается во вющзнпе зависимость р от температуры Т, к уравнениям движения жидкости необходимо будет присоелинить уравнение притока тепла, которое и будет служить для определенна Т как функции координат х, у, г и времени !. Для получения этого уравнения возьмем в пространстве, занятом лвижущейся жидкостью, произвольную точку К(х, и, г) и построим вблизи этол точки элементарный параллелепипед с ребрзми Лх, Ьу, Ьа (см. фиг. 9). Вследствие теплопроводности через заднюю грань параллелепипеда, перпендикулярную оси Ох, за время Ь! пройлет определяемое равенством (1.09) количестно тепла дТ >у'= — ! — - Ь>> Ьг Ь>.
дх Одновременно через прож!воиоложную грань выйлет количество тепла д"= !у + — Ьх. д>>' Отек>да, пренебрегая изменением коэффициента теплопроиолности )> с температурой и считая его постоянным, найдем, $4) уравнения знерг1П! что количество тепла, проникающее в параллелепипед даТ по направлению оси Ох, равно 1 — Ьх Ьу Ьх Ьг; аналогичдхз ные выражения получим для притока тепла по двум другим направлениям. Общий приток тепла внутрь параллелепипеда за время Ьг вследствие теплоироводности тогла будет равен: 1 (д-Т „д Т~ д.Т С другой стороны, пользуясь введйнной выше функцией рассеяния Е и принимзя во внимание (1.07), найдем, что вследствие рассеяния знерпш внутри выделенного объйма за то же время йГ накопится количество тепла, равное г)а=-'-Ьх ЬУ Лай. Е Обозначая через йТ вызванное суммарным притоком тепла д, + да повышение темперзтуры выделенного объема жидкости будем на основзнии (1.08) иметь, что Ь Тс Р Ьх ЛУ Ьг = — ~7, + дз.
ПодставлЯЯ сюда найленные значении г), и г(а, делЯ обе чзсти равенства нз Ьх арпа ЬГ и переходя к прелелу, стягивая пзрзллелепипед в точку, получим: дТ . ~даТ, дзТ даТ1 Е (1Л4) и дс ' (дхр дуз дх",~ У' Изменение температуры жидкой частицы зз промежуток времени Ж будет происходить, во-первых, вследствие изменения ее в данной точке пространства со временем и, во-вторых, вследствие перемещения жидкой частицы из данной точки пространства в соседнюю.
Таким образом, температура частицы Т, тзк же кзк и скорость э, булет функцией г и х, у, г. Тогда аналогично (1.32) будем иметь: дТ дТ дТ 1 дТ ) дТ вЂ” = — -г-т . — +о — +о,— . дт и' ' хд.г+ Уду ' тд-' 4 с. и. тзрг 50 гнлвнхния движвния вязкой жидкости (ГЛ. 0 Подставляя это значение в (1.54) и деля обе его части на с р, найдем окончательно, принимая во внимание (1.10): дТ дТ дТ дТ дг «д» УдР ~ «д« — + о — + о — -1 — о — = где Е дается формулой (1,53).
Уравнение (1.55) п представляет собою уравнение гбоитоь"а телла для несжимаемой вязкой жидкости в прямоугольной системе координат, Заметим, что прп изучещш явления теплообмена, вызнанного различием температур жидкости и обтекаемых ею твердых стенок, в случанх, когда скорость течения не очень велика, изменением температуры жидкости вследствие рассеяния энергии обычно пренебрегают, отбрасывая в правой части (1.55) член, содержзгдий Е. В случае, когда к уравнениям движения вязкой жидкости присоединяется уравнение (1.55), должны быть дополнительно заданы начальные и граничные условия для Т, вил которых зависит от характера рассматриваемой задачи.
Подробнее этот вопрос будет рассмотрен в главе !Х, Аналогичным путем может быть получено уравнение притока тепла для несжимаемой вязкой жидкости в криволинейных координатах. В частности, будем иметги в системе иилиндричеггсил координат дТ дТ о дТ дТ дг 'дг г дя «д« +о +,+о в системе сферических коордпнзт дТ дТ об дТ о«дТ вЂ” + =+ — — + — ' де 'дг г дб г«1п аду б )1 д(',дТ 1 д(. дТ 1 д«Т1 гсг( ' 1г' дг ~ дг/ ' г«аи1бдб ~ д0 / ' г«з1п«0дт«1' ' ГЛАВА 1!. ПРОСТЕЙШИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ, ОГРАНИЧЕННОЙ ТВЕРДЪ|МИ СТЕНКАМИ. й б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
