С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Примеры точных решений задач об установившемся течении вязкой жидкости, ограниченной твердыми стенками. Решение задач ш>дродинампкп несжимаехюй п ненагреваемой вязкой жидкости сводится к пптегрированшо системы нелинейных уравнений 2-го перника в частных производных (!.46) прн соответствующих начальныхи грани>ныт условиях.
С математической стороны пробив>>а ага настолько сложна, что ее точные решения удалось до спх пор получить только в очень немногих частных случаях. Ниже привод>пся те ив точных решений, которые, ш> иа нему мнению, представляют наибольший теоретический и прашич ский интерес. Все приводимые решения относятси к случаю движения слоя вязк;>й жидкосю> (плоского илн цилиндрического), ограниченн;>го твердыми стенками. Такой слой мы будем в дальнейшем называть для краткости вязким слоем '). !. Течения между пергмегцающимися нара чае тьными стенками и соосными цилиндрами. В качестве первого простейшего примера рассмотрим установившееся течение вязкой жидкости, ааполнянишй всй пространство между двумя горизонтальныхш плоскостячп, из которых нижняя ( и = б) движегся влев > с постоянной ск»ростыо Оо а верхняи (у —.— А)— ') Представляюшее в некоторых отношениях особый ин>ерес точное решение задачи о течении в плоском лнффузоре рассмотрено в главе УП, Более подробный обзор лругнх точнйх решений можно найти в статье К.
И. Страховала Кл>ксичесхая гнлромеханика вязкой жидкости., ч. 1, Прнкл. метем. я мех., т. П, вып. 1, 1934 или А. Роаеиблатта (А. Йохен>Ыаи, Меш. д. 5шеисев Ма)1»., . 72, 1935). пгостейшие установившиеся теЧения [гл. и дти да дх (2.02) Последнее из этих уравнений дает п=п(у) и, следовательно, общее решение (2.02) будет: И=С ! -Т-СТ. и Считая, как всегда, что жидкость прилипает к стенкам, будем иметь в нашей задаче следующие граничные условии: при у = 0 о =- — У; прп у = л и = С'. Определяя по этим условиям постоянные интегрирования С, и Са, найдем окончательно следуктщий линейньи! закон рас- пределения скоростей в любом поперечном сечении: 'у — и,. и+и, (2.03) В случае, когда нижняя плоскость неподвижна (У, =О), получаем из (2.03) тот именно закон распределения скоростей, наличие которого мы предполагали в п.
3 2 1. Для напряжения силы трения нзходим из (1.42) и (2.03) следующее знзчение единственной отличной от нули компоненты; (2.04) указывающее, что напряжение трения во всех плоскостях, параллельных стенкам, в том числе и на самих стенках, остаетсн по- вправо с постоянной скоростью У (см.
фиг. 1). Будем, кроме того, считать, что скорости частиц жидкости всюду паржтлельны оси Ох, а давление везде постоянно и будем пренебрегать действием внешних массовых сил (в дзнном случзе сплы тяжести). Так как движуитиеся плоскости нвляются неограниченными, з жидкость однородной и изотропной, то, оченидно, течения во всех плоскостях, параллельных плоскости Оху, должны выглядеть тождественно и, значит, скорость течения не должна ззвисеть от координзты г. Тогда из всех сделанных допущений следует, что р сопз(, и — м,— О, и п(х, у) (2.01) и система уравнений (1.46) будет для данной задз ш иметь вид: ИРимеРы точных Решений Из последне~о уравнения следует, что о=о(г).
Тогда первое уравнение, которое ашжно представить в виде — (г„— ) =О, буде~ иметь общее решение о = С1 ! и г+ С,. Граничные условия в нашей задаче будут: при г = А1 и = (I; при г = )с1 и = — У1. Определяя по этим условиям постоянные С, и Са, получим окончательно закон изменения скорости в виде (и+ (тд !н —— о= — — Сы т(1 гг' К (2.05) стоянным.
В случае У1 =0 формула (2.04) совпадает с (1.01). Таким образом, все выводы, полученные для данной задачи интегрированием системы (1.46) и использованием соотношений (!.42), совпадают с теми, из которых иы исходили при установлении понятия вязкости жидкосп1. Аналогично решается задача о течении жидкости между двумя соосньщи цилиндрами, из которых внешний, радиуса )'), движется вправо с иостоинной и г скоростью У, а внутренний, радиуса )1'1 — влево со скорос.гью У1 (фпг.
10). Беря сп- =: — -= =- =-- — — р стену цилиндрических коорди- с( щ, иат, ось Ог которой совмещена д г с общей осью цилиндров, и считая, что течение параллельно оси Ое(о,=о,,=О), мы из Фиг. 1О. соображений симметрии найдвм, что т1,=-о(г, е). Полагая попрежнему Г=О и р=сопз(, получим, что н данном случае уравнения движения жидкости в цилиндрических координатах (1.47) примут вид: дга ' гдг ' дг —,+ — — =О, — =О. 5) пгостей!пие устхнояившиеся течения [гч.
и Замечая, что о =о„ найдем в данном случае из (1.43) следующее выражениб для напряжения силы трения: до, (/-4-//, ! дг // г' 1и— )/! (2.06) Таким образом, нзпряжение трения с удзлениеч от внутреннего цилинлрз будет убывзть. Рзссмотрим случай, когда просвет г,с!кду цилиндрами будет мзл по сравнению с радиусзми цилиндров. Тогдз, обозначая /7 — /7! = й и г — /7!==у и рззлзгзя соответствующие логарифмы в ряды, получим; ж 1 у-" !и г!//! 1и (! -)-у///!) " //!' 1п/////! 1и(1+/!!//!) Д ( 1 Л! % '-' //! = — (! — — — + —,, — +...), (2.07) у/ !у 1/! / ( 2 //! //! при соответствующих грзничных условиях (о=(/ нз поверхности одного из цилиндров и ! =//! — на поверхности другого).
Эта задача может быть в спою очередь сведена к не- Подставляя это значение в (2.05) н пренебрегая члензмп порядки /г//Сг, получим прибл!Скенное вырэжение для т, сов- Л падщощее с (2.03). В пределе ири — 0 отброшенные члены обрзтятся в нули и решение (2,05) перейдет в решение (2,03) для течения между пзрзллельными плоскими стенками. Подобного рода приближеннымп выражениями и иредельньв|и переходами мы часто будем пользовзться в дальнейшем. В заключение заметим, что анзлогичные зэдзчи могут быть рассмотрены для течений между различного рода друпши цилиндрическими поверхностямп. Решения этих задзч сводятся, кзк легко видеть из (!.46), если считать о, = о, к интегрированию уравнения Лзилзсз: дти дзо д —.+.д,д=0 50 ПРИМЕРЫ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ 9 5) которой задаче о плоском потенш!альном течении идеальной жидкости (см.
выше цитир, книгу И. В. Кочина, И. А, Кибеля и Н, Рь Розе, стр. 329). 2. Течение между неподвижными параллельными стенками (плоская труба). Рассмотрим установившееся течение вязкой лкидкости, происходящее параллельно оси Ох между неподвижными плоскостяли! у=-= — l! и у=й (фиг.
11). Пренебрегая массовыми силачи, л!ы сразу убедимся, что в данном случае, как н в предыдущей задаче, имеют л!ссто все условия (2.01), кроме р = = сопят. Тогда система уравнений (1,46] примет вид д! =й —.: (208) дх дза ' Фнг. 11 Из (2.09) следует, что в (2.08) левая часть зависит только от х, а правая — только от у. Ио это может;шшь бы!ь ирп условии или д)л Рл Р! ! (2.
1О) дР дх — = сопз( где Рл и Р! — давлениЯ в двУх иопеРРчных сеченнах, находЯ- щихся на рзсстоянип ! друг от друга. Тогда, принимая во внимание (2.10) и (2.09), найдем, ыо общее решение уравнения (2.08) будет: е= — —., - Рз )-Слу(-Сз, ! дР 2Р дх (2. 11) Граничные условия н данной задаче имеют, очевидно, вид.
ирп у=+-й О=О. Определяя с помощью этих условий постоянные С, п С в (2.11), найдем окончательно следуклщий закон распределения скоростей: (2.12) 2Р дх 56 ПРОСТЕЙШИЕ УСТЛНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ (гл. и Таким образом, скорости в любом поперечном сечении рассматриваемой плоской трубы будут изменяться по параболическому закону (см.
фиг. 11). Вычислим секундный объем Я жндкости, протекающей через поперечное сечение трубы, ограниченное плоскостями у =-А, у = — й .и е †. — О, х= Ь. Принимая во внимание (2.12), получим: л 2ЛЛЕ др 3н дх' — л Деля обе части этого равенства на величину площади поперечного сечения 2ЬЬ, найдем следующее значение средней по расходу скорости (Уз в поперечном сечении трубы: 3 д (2. 13) Подстзвляя значение — из (2.13) в (2.12), получим для др дл закона распределения скоростей выражение 3 У угт О= — ,'-(У, 1 — — ). 2 0 ЛЕ Из (2.14) видно, что в плоской трубе скорость на оси (при у = О) в полтора рззз превышзст знзчение средней по сечению скорости.
Для перепада давления вдоль трубы получаем из (2.13), принимая во внимзние (2,10), значение с'Р . ру — р! 3М4 ох г ле Полученные здесь результаты могут в первом приблпжен|ш применяться к течению в трубе с прямоугольным сечением, у которого высота мела по сравнению с шириной. 3. Течения в цилиндрических трубах. Рассмотрим одну из наиболее важных зздач об установившемся течении вязкой жидкости, допускающих точное решение, задачу о течении в неограниченной круглой трубе. Пусть в круглой трубе рздиуса )с по нзпрзвленшо, параллельному ее оси, совершзется устзновившееся течение вязкой жидкости. Для изучения движения выберем систему цилиндрических координзт, ось Ое которой нзправим вдоль осн пеиысгы точных Решений трубы. Тогда, пренебрегая действием массовых спл и принимая во внимание симметршо течения, будем планетам Г=О, о,=и.=О, т~,=т~(г, г).
(2,16) При этих условиях уравнения двшкения в цилиндрических. координатах (1.47) примут для нашей задачи вид: ь «(яч з)' др др дз — '=О, — =О, —. = О. дв (2.17). Последнее из уравнений (2.17) вместе с (2.16) дает. о=о(г). Тогда в первом пз (2.!7) левая часть есть функция только г, а правая только г, откуда следует, подобно (2.10), что. др рз — р~ — =- сопз! = — — с" — р' . (2.! 8) В результате первое из (2.17) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение, которое можно представить. в виде: 1 д 7 до~ ! ор (2.1 9) г дг, дг~ вдз и общее решение которого при условии (2.18) будет: о — г +С,!пг, С,.
1 др (2.20) Так кзк скорость нз оси трубы должна быть ограниченной, следует положить С, —. О. Для опрелеления Сг используем очевидное граничное условие о = 0 при г=- 77 и найдем окончательно: ! др и — — — -р (Рз — гз). 4зда (2. 21) Таким образом, профиль скоростей в любом поперечном се ~енин оказывается параболическим, подобным изоораженному на фиг. 1!. Для секундного объема жидкости, протеьшощего через. любое поперечное сечение трубы, получим в дзьном случае значение и -.62 с>р С(= ') о2пгдг- —.— — -' —, ая дз ' з ПРОСТЕЙШИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ [гл, и Отсюда средняя по расходу скорость в любом сечении трубы будет: У вЂ” 8, д (2.22) Пользуясь найденным значением Оа, мы можем предста- свить закон распределения скоростей (2.21) в виде (2.23) др ра — р~ 8» Оа да ! Тт"- (2.24) Уравнение (2.24) выражает известный закон Гагена-Пуззейля.
Закон этот был установлен экспериментально Гагеном (1839 г.) и независимо от него Пуазейлем (1840 г,). Приведенные теоретические расчеты лают в данном случае прекрасное совиздение с результатами опыта. Это может служить косвенным подтверждением правильности тех допущений, пз которых исходят при нызоде уравнений движения вязкой жидкости и при установлении граничных условий. Следует иметь в виду, что все приведенные результаты, как показывает опыт, справедливы только для ламинарного течения, т, е. при гс ( (тнр (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
