С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Если рассмотреть две точки Л и А,, лежащие на прямой, параллельной оси Ох, то, полагая в (1.38) г! — , "— — О и принимая во внимзние обозначения (1.34), получим, что в этом случае зо, ог А» уРАВнения В компонентах ОНОРости Аналогичные Выражения получатся дли точек, лежзщпх на прячых, параллельных двум другим осям. Отсюда можно ЗаКЛЮЧитЬ, ЧтО ВЕЛИ ЩНЫ Еьо З, аее ХаРИКтЕРИЗУЮт САОРО- сгни относьнлельиых удлини™ний Асидкой частицы в направлении соответствующих осей координат, а адю а ., а, — сл.оел рости о1лносиглельлгях гдзигоа в плоскостях, перпендикулярных этим осям.
В совокупности величины аг, определяемые равенствзмп (1.36), называются иосаиокентпл1и гь ороел1ей дефорлгации в данной точке жидкости. Скорость относптельного уллинения жилкой часжщы по произвольно взятому нзправлению, обусловленная д1формацией чзстииы, 11ои<ет быть выражена через компоненты скоростей деформации (1,3б). 1!усть, в частности, Взятое направление представляет собою направление нормали и, проведенной в какой-нибуль точке поверхности, ограничивзющей жидкую частицу. Обозна щм направляющие косинусы этой нормали и, 3, Т (1.21). Тогда скорость лвпжен1я ю направлению л, обусловлеинан дефор1юцпей жидкой Н1стппы, бу1ет равна; Ьт '„= Ьо„'и + Ьо' ~3 + Ы,'р Подставляя в правую часть значения проекций Ьо' из 11 38), а величин 3, г1, ь иа (1.34) и деля затем обе частч1 равенства на Лег, получим после перехода к иреаелу: ди„ вЂ” "=е„из+а „ф+з.;а+2а,.„ир+2з„3Т+2ае и3, (1.39) дд ду де так кзк в пределе отношения — '., — — будут со1лветстЗл' ьл, ьл венно равны а, р, Т.
Выражение (! .39) и определяет обусловленную деформацией скорость относительного удлинения жидкой частицы В нзираВлении данной нормали и. Если через какую-нибуль точку жилкой частицы провести какие-нибудь три взаимно перпендикулярных направления, то в общем случае при леформацпи частицы она будет иметь скорости относительного удлинения вдоль этих направлений и скорости относительного сдвига в плоскостях, пм перпендикулярных. Олнзко подобно тому, кзк это имеет место для напряжений, в кажхой точке жидкости существует три взаимно перпендикулярных направления, облалающпх тем свой- 40 уРАВнения дВижения ВязкОЙ жидкости (гл.
л ством, что при леформации имеют место только скорости относительного удлинения вдоль этих направлений, а скорости относительного сдвига в перпендикулярных плоскостях отсутствуют. Эти направления называются главнылш осями скоростей деформации в данной точке. 4. Связь между напряжениями и скоростями деформаций. Будем рассматривать в дальнейшем только нгслсижаеялую вязкую жплкость. Тогла в ней деформация частицы будет обусловлена только изменением формы, так как изменение объема в этом случае места не имеет. Предположим, что закон вязкого трения, установленный в простейшем случае для касательных напряжений в виде (1 02), имеет место в об~Нелл случае и для нормалш<ых напряжений, т.
е. что обусловленное наличием вязкости нормальное напряжение т„„ пропорционально скорости относительного уллинения жидкой дя частицы по направлению той же нормали —: дл ' ди„ ««д,~ где коэффициент Й характеризует вязкость данной жилкости и ввилу ее изотропностп не зависит от направления и. Заменим входящие в (1.40) величины их значениями из (1.26) и (1.39). Тогда полученное таким образом равенство будет иллеть место при любых значениях а, р, т только в том случае, если будет: т =-де ., т.
=М., .«~ «««'У «У (1 41) т„=да„, т,„=да, . Рассмотрим простейшее течение (см. $1, п, 3), для ко- торого о =о (у), тл =О,=О. Принимая во внимание (1.36), найдем, что В этом случае из равенств (1.41) сохранится только одно: а до„ «У 2 ду Сравнивая это равенство с выражением (1.02), на основании которого было опрелелено понятие коэффициента вязкости р., приходим к выводу, что )л=2)л.
41 % 3) уРАВнения В компонентАК скОРОСти Тогла из (1 41), заменяя н них значения компонент скоростей деформации выражениями (1.36), найлем окончательно; /д~ „дн„1 /до, до«1 т,„=2йе .=р) — '+ — '), 1((1 42)' );дг ду,)' доч ! 'Гд«д«У Т т =2йа =2р.— ", дн„ .«««» дл дн, Равенства (1,42) и устанавливают лля несжимаемо11 вязкой жилкости связь межлу компонентами напряже>шй и компонентами скоростей деформаций в прямоугольных лекэртовых коорлинатах, Аналогичные зависимости аюгут быть установлены и в кривол1шейнььт коорлинатах. В пилиндричесьих координатах выражения коьшоиент напряжений булут определяться равенствами: дн, .„= 2йе„= 2р — ', (1 ди и„'1 т«..
=: 2ра, — 2р, 1 — — ч+ — ~, 'тг ду т =2йе =2р — ' дн« "«» ' д« /1 дог дн« т, =2ре =р( — — + — — — 1, гт «т ( г д дг (!.43) /до«1 дп,1 т = 2ра = й( — '+ — — ) «« т« « д» г ду,) т,„=2ре„=р ( — '+ — '), где е„„е„„... — соответствующие компоненты скоростей леформаций. 42 гвзвнвния движения низкой жидкости (гл. ! В сферических координатах компоненты напряжсний будут иметь вырахгення: до, У 1 доз ог1 2йз~т — 2Р д — тзз — 2йззз — 2Р ( — — "+ — ) 1 до.. о„оз с!я 01 220,, = 2р —. — -1- — + ы ггз!на дт ' г г /до, 1 дог о 1 т+ 'т 1,дг гзшз дз г/' 1 до„! до„о,,с!яз~ 1,гз!пз да+ г дз г !'1 до, доз оз! т„, = тт (1.44) т0= 9 получим: Р д дох д /до„ до 1 д го =г — — — +2 — 0 — -".!. 0 "4 «~+ х з 0 дх дх дх ду (,ду дх) дх ! ду д у до дох'! д до«д то =à — — — + — о ( — «+ — ')+2 — т — 'г+ — т ««з ду дх !дх ду) ду ду дх д до.
42 — 0 —. дх дх' (1.45) Уравнения (1.45) являются уравнениями движения несжимаемой вязкой жидкости в прямоугольной системе координат. При пользовании ими следует иметь в виду, что левые части должны быть представлены в том виде, который они имеют в уравнениях (1.46). Так как 0=0(Т), где Т вЂ” температура жидкости, то система (1.45) содержит пять неизвестчых функций: о„о, о„п, Т. Чтобы зта система была где езо взм ...— соответству!ощпе компоненты скоростсй деформаций. 5, Дифференциальные уравнения движения.
Начальные и граничные условия. Установив зависимость компонент напряжений от скоростей, мы можем получить уравнения движения в комионептак скорости. Для этого подставим в (1.28) значения компонент напри!некий из (1.42). Тогда, считая р =-сопз!. и принимая во внимание обозначение (1.05), э 3] уРАВненпя В компонентАх скорости 43 до„ до„ до„ до„ вЂ” "+о — +о — +о — = дс «дх Уду «д« дон , оои дои дои --'+ о .— ' о — + о — ' = дт «дх ' Уду «д« 1 ду Удтои дао дго '1 = Р— — — +» ( —.'+ — „Р+- — «), У р ду (идха дуа дхх ! ' до, оо до«до, — ] — о — "+и — +и дт ."дх иду «дх 1 др Удав, дао, д'о Д о+,-1 и+« р дх 'и дхт ' дул дх™у ~' до«доу до, ) (1.46) Первые три пз уравнений (1.46) представляют собой уравнения движения несжимаемой и ненагреваемой вязкой жидкости в прямоугольной системе коорлинат (уравнения НавьеСтокса).
Вместе с уравнением неразрывности онп да~от полную систему четырЕх уравнений в частных пронзволных относительно неизвестных и„, о, о,, р, которые должны быть определены как функции координат х, у, г и времени Н Решение этой системы требует задания начальных и граничных условий. Начальные условия носят злесь обычный для задач механики характер и должны определять в начальный момент 1=1» значения искомых величин во всех точках лвижущейся жидкости. В задачах об установившемся движении жидкости необходимость залания начальных условий отпадает.
йранивиьы условия должны определять скорости мсидких частиц на границах, а также давление на свободной поверхности жидкости и на поверхностях раздела. полной, к ней следует присоединить уравнение неразрывности (1.33) и полученное ним<е уравнение притока тепла (1.55). В случае ненагреваемой жидкости, исследованием которого чаще всего и занимаются, будем иметь »= сонэ(. Тогда, представляя левые части (1.45) в виде, вытекающем из (1.32), и присоединяя сюда уравнение неразрывности (1.33), получим после несложных преобразований правых частей: 44 углпнспия движения Вязкой жилкос'ти (гл.
Исходя из указанного ранее свойства вязкой жидкости прилипать к поверхностям обтекаемых ею твердых тел, иы булем в дальнейшем счи!атць что на неполвижных твердых поверхностях скорости жидких частиц равны нулю, а на движущихся в жидкости твердых понерхностях скорости жидких чзстиц совпадают по величине и направлению со скоростниц соответствующих точек поверхности. При движении неограниченного объбмз жидкости должны быть дополнительно заданы условия на бесконечности.
Движения тяжелой жидкости, имеющей своболные поверхности, нами рассматриваться не будут. Лифференти!альиые урзвнения движения вязкой жидкости могут быть представлены и в криволинейных координатах. Если выразить компоненты ускорения со и уравнение неразрывности в шшиндрических координатах и затем полсгавить в(1.30) значения компонент напряткений из (1.43), то чы придем к следующим урзвнениям движение несжимаемой и ненагревземой вязкой жидкости в г!игтиндричгслих коорлинатах: до, до, отде,, ЖЬ о; ! др г дг+ 'дг ' где ! тдл г ' р дг+ /дто, 1 дто, д'о, 1 до, 2 до о,'т +' ( — '+ — —,л+ — '+ — — ' — —.— ' — —.-') (, дгт гт дут дат г дг гт дт до„до,.
о, до до„о,о„! др — +,— '+ — — '+о — "+ — '" =Е. — —,- — + д! ' дг г де а дя г 'г ргдр (,дгт ' гт дтт ' длт + г дг + гт дт гт,) до, дс, о до, до, !др — '+ — *+ — — '+ — '=Š— —,. — + дт "дг г дт т дл Я р да до ! до„до о (1.47) Лля сжимаемой жидкости система четырех уравнений, знплптпчиых (!.46), булет содержать пять неизвестных функций огг и„ о„, р н р, Чтобы слелать пту систему полной, к ней надлежит прпсоепяннть урпьпснне состояния, устананлнппющее заннснмость между давлением р н плотностью р.
Мы всюду в аальнейшем будем рассматривать лвнженпе только негппчтмаемой вязкой жилнпстн, пля которой уравнением состояния булет условие нсокнмземостн р = сопя!. $3) УРАВНЕНИН В ЛОМИОНЕНТАХ СКОРОСТИ 45 Последнее из уравнений (1.47) представляет собою уравнение неэазрывности в цилиндрических координатах. Поступая аналогичныл! образом с (1.31) и (! 44), получим следу!о:цие уравнения движения несжимаелюй и ненагреваемой вязкой жидкости в ггдеричесггих координатах: длч ди, НЛ Сло, Ов дс~г ОЛ + П., — '+", — -'+ -- — '+ д! + ' дг г дв гв!Недр г ! др /две, ! двог, ! д-"~, ! 2 дп, Р ог (, дгт гв дср гв в!Нлв дтв г дг с!авдо, 2 днв 2 !лн, 20, 2с!80 гв дв гв дв гав!и 0 др гв гл до,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
