С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 13
Текст из файла (страница 13)
А. Слезкину, к части вязкого слоя АВВЕ, находюцейся в данный м1чент $6) ПРИВЛИЖЕИНЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ непосредственно под цилиндром, приближенные уравнения (2. 38). Выбирая осп координат так, как показано на чертеже и обозначая переменную толщину слоя под цилиндром через И, будем иметь: д = йя+ Й вЂ” ) ~гса — ха, (2. 50) где (га — толщина слоя при х=О. Обозначая далее збсциссы точек А и В через — а и д и полагая, что мгновенная ось вращения цилиндра проходит через точку К (О, ла), примем для рассматриваемой задачи следующие граничные условия: прн у=О с =О, (2.51) о =О, при у=п при х — а н х — д(Ос уч.)г) р прн х= — а (0(ус.
Ь) д — „=О ) Условия (2.51) являются известньгяи условиямп прилипания. Первое из условий (2.52) означает, что давление вне объема поджатой части вязкого слоя полагается постоянным. Наконец, последнее условие принято для того, чтобы избежать отрицательных давлений в слое АВВЕ вблизи границы АВ. Переходим к интегрированию системы (2,38) при условиях (2.51) и (2.52). Общее решение уравнения (2.38) имеет впд: , =г1'а+Ау+В 1 др (2.53) где А н  — некоторые функции от х. Определяя значения А и В по условпнм (2 51), найдем из (2.53): о . =; — — (уз — йу) + <оу ( 1 — — ) .
1 др "о) 2Р д.г «~' (2. 5ч) и а 1 де„д Г дд ых= ~ "г(у= ) и ду ы(ь дх дх) х дх Лля определения дзвленпя р обратимся к уравнению (2.38'). Беря от обеих частей этого уравнения интегралы по у в пределах от 0 до Ь п принимая во внимание условия (2.51), получим; 72 ПРОСТЕИШИЕ УСТАНОВЯВПП>ЕСЯ ТЕЧЕНИЯ [гл. и Отсюда, интегрируя ио х, находиги ь 2 ) т>,ф =- ы (хг+ ?га — 2?го?г+ С).
(2.55) д Подставляя в левую часть (2.55) значение о„из (2.54) и вычисляя интеграл, будем иметги ?>г др "> (мз ?>а?г+ С). ия дх Заменяя здесь ?> его значением из (2.50) и определяя С по последнему из условий (2.52), найдем окончательно др, ~ Т>а 1 аг — хз — !" ).-,в=„а+1,-,2- х.' ,?>з — =-6рш (1 — =- = .:,:= — 1 — „, (2.5Г>) Выражение (2.54) вместе с (2.56) дает закон рзспределе- ния скорое~ей в слое, для закона распределения давлений находим из (2.56), принимая во снимание первое пз условий (2.52)! ~' Т?! — аа ->- )> Т>з — х-' ( /Ы г?х. (2.5?) равнодействующая ?> сил давлений со стороны слоя на цилиндр б>удет, оченидно, проходить через центр С цилиндра а ее проекции нз оси координат буду> равны: ?а= '? ~, —. ?Ту=? ~ Р(х) 4х, (2,58) — а — а где ?>(х) должно быть взято из (2.57).
Прн этом абсцисса точки 8 приложения равнодействующей будет: Р„й Х (2. 59) Ф 'Р'. + ~,-" Переходя к определению сил трения, заметим, что порядок их в задачах, подобных рассматриваемО, когда вязкий слой между поверхностями тонок, ниже, чем порядок щщ давления; в этом мы убедимся иа примерзх всех расчетов, проводимых ниже. Поэтому составлнющимн сил трения можно обычно по сравнению с соответствующими составлгиощими ш>л давления 8 6) пгпялпжйнные Ращения 3АдАч пренебрегать. В рассматриваемой задзче этот вывод, очевидный для составляющей вдоль оси Оу, нуждается по отношеншо к составляющей вдоль оси Ох в проверке.
Для оценки величины силы тренян ограничимся рассмотрением достаточно тонкого слоя, у которого среднее значение гг мзло по сравнению с а. Это условие, как видно из (2,50), будет выполнено, если в свою очередь а будет мзло по сравнению с )с, причем порядок малости величин )!)а и а,(К будет одинаков, а величина )!,1гс будет иметь порядок ла))к!з. Принимая все это во внимание, будем в дзльпсйших рзсчетах пренебрегзть величинами порядка аа))гз по сравнению с единицей во всех случаях, за исключением тех, когда коэффициент при члене порядка единицы по!нет в результате последующего интегрирования обратиться в пуль. Напра!кение силы трения на элементе поверхности цилиндра, внутренняя нормаль к которому образует с осью Оу угол ч!, определяется по известной формуле 1 т = —, (т — т ) э!п 2~с — ", .
соэ 2з. кк уу !!' тку Зависимость эта может быть легко получена с помощью, (1.22) и (1.24). Отсюда, принимая во внпмзние (1.42) и (2.38'), ха . х а также то, что соя 2!р — 1 — 2 — ', а!и 2э(=2 — ', найдемп Ж' ' Р' Входящие в правую часть производные от ик вы и!сляютск непосредственно из (2,54) и (2.56), причем в (2,56) второе из слагаемых, стоящих в квадр!!гной скобке, заменяется на гг 12)с. Далее пз (2.38') находим: у о где штрихи овна ш!от производные ио х. Отс!ода, пользуясь указанным выше прпбли>кенньп! значением (2.56) и равендик ством (2.50), найдем —. Полагая во всех вычисленных продх ' взводных у= — )г, определим с укззанной выше степенью прн' пгостейшие устлнозизшиеся течения (гл.
и ближения величину т. Тогла для проекции нэ ось Ол результирующей приложенных к поверхности цилиндра сил трения .получим значение ь Г„= ( ~ т их ь — 3)хы( ~ ~ лз (1 ~д>+ Рэ) — з — 1~Ух. (2.60) Лля моментэ сил трения относительно оси С цилиндра пшйдйм приближенно; М= — )СГ„. (2.61) Из срэвнения (2,60) с (2.58) следует, что порядок состэвляющей Р значительно выше, чем ГУ, выражение которой отличается от Р тем, что под интегрэлом будет еще стоять множитель х(й. Поэтому величиной Р по сравнению с Р будем в дальнейшем пренебрегать. Что касается составляющих Г, п Р„, то порядок их может быть оценен только после соответствующих конкретных рэсчетов.
Найденные выше формулы солержат три заранее неизвестных парэметрэ; а, 5 и Ь„. Для их определения иаюльзуем: а) второе из условий (2.52), б) уравнение равновесия приложенных к цилиндру сил в проекции на ось Оу, а) предположение, что вблизи 1очки А, где слой наименее леформировэн, можно приближенно считэть АВ= Н (Н вЂ” зэданная толщина недеформировэнного слоя). Тогда для определения а, г) и А, получим уравнения; р(д)=о, д= Н=Ь вЂ” й — )~ (сэ — ае.
! (2. 62) Наконец, составляя уравнение равновесия приложенных к цилиндру снл в проекции нз ось Ох, найдем для потребной силы тяги (,) выражение О -" — (Р„+ Рх), (2.63) где величины, стоящие в прэвоз части, опрелеляются формулэмп (2.58) и (2.60). Таким обрззом, залэчэ оказывается решенной. В кэждом конкретном случае все интегрэлы, вхолящие в полученные формулы, можно определить численным интегрированием. 75 ф 6) пгивлижйнныа гашения задач Для опенки полученных результатов произведем приближенный полечат, полагая величину хЖ столь малой, что в (2.50) можно приближэино принять Й=йь=Н. Тогда нз (2.57) вайлем йим р(х)= — „~ (ае — х') ах= ~ (2а'+За'х — хь), (2.6Ф) Нь ь Первое из условий (2.62) приводит при этом к уравнению Ль — ЗаЧ вЂ” 2а' = О, единственным полоькительным корнем которого будет: 1 =2а.
Подставляя найденные значения р и (ь в (2.58), получим: Для силы трения при 6 =2а нэйлйм из (2.60) значение: Ел= Злы(а (1+ 3,6 — „~) . (2.66) Нз (2.67) Тэк кэк все наши расчеты справедливы прп Н(а малом, то из (2.67) следует, что полученное решение годится лишь в том случае, если вес единицы длины катка ф( будет очень велим по сравнению с величиной )ьы)7. Это же условие будет иметь место и в рассматриваемой ниже задаче о скольжении. Если во всех полученных выражениях выделить общий множитель р<о)7( и заметить, что величины Н)а и аЯ имеют одинаковый порядок малости, то легко видеть, что Р, Р„ и Е„ имеют соответственно порялок аэ)Нь, а(Н и а/)7.
Тзким образом, в паннам случае в (2.63) величина Е„ может быть отброшена кэк очень малая по сравнению с Р . Практически ей влияние скажется лишь в том, что оиэ будет создавэть момент (2.61) парилка а/)7, торлюзящий качение. Используя теперь вторые из равенств (2.62) и (2.65), найдем для определения а выражение 78 пгостейшие установившихся течения (гл. и Отбрасывая теперь в (2.63) член с Е„и подставляя в это сооэношение значения Рк иа (2,65) п а из (2,67), получим; (э =- 0,8 а о Гг (2.68) яли (2,69) при у=А ох=У, о =-О, л где У в поступательная скорость цилиндра.
Тогда иэ тех же ураянений найдем для о„ вместо (2.54) выражение о =,— — (уа — йу)+у —. 1 др у йя Ох л ' (2.70) Повторяя выкладки, в точности аналогичные прелыдущим, найдем из (2.38'), используя равенства (2,70), (2.50) и соответствующие граничные условия, величину —, а затем н закон др дх' распределения давлений в виде к р(х) =6 и ~ "' " "— ", . (2.71) ) к И вЂ” аа + )/77а — ха да — а В последнем выражении коэффициент при д/Й может рассмагриваться как коэффициент тренин качения /'. Величина этого коэффициента, как видноиз (2.69),убыааеш с уменьшением Н и веса единицы длины катка ~7(! и с увеличением р и м, причем зависимость от последних трех параметров значительно слабее, чем от Н.
Все эти выводы хорошо согласуются с физическим смыслом задачи, В частности, при р = оо («абсолютно твердыйк слой) получается, как и следует ожидать, у =-О. с(то касается некоторого уменьшения у с увеличением скорости двинсения„то этот факт подтверждается целым рядом экспериментальных данных. Лля сравнения рассмотрим ту же задачу при условии, что цилиндр совершает чистое скольжение по вязкому слою, В этом случае изменится лишь второе из условий (2.51), которое теперь примет вид: 77 пгиятиженные гашения злдлч Напряжение силы трения может быть в данном случае с принятой ранее точностью определено по формуле так как остальные члены, которые в предыдущем случае должны были приниматься во внимание, будут пренебрежимо малы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
