С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Перейдем теперь к определению оригинала Р. Сравнивая правые части (6.68) и (6.46), находим сразу, что Ра будет равно произведению выражения, стоящего в привоя части формулы (6.50), на ф,. Остаатся определить Р„. Из (6.68) видно. что Р, так1ке являетси дробной функцией вида (3.16), имеющей в точке р=О простой полюс, и что, следовательно, ей оригинал Р, дастся формулой (3.22). При этом полкжы функции Р„также лежат в точках, где р„имеет значении (6.47).
Заметим, что точка, где р)т = — пт„не является полюсом функции Р„; в этом легко убедиться, раскрывая соответствующую неопределенность, которая иолучае1ся вследствие того, ф 181 изгнание тьчвнпя с помощью пгчшлижкнных кг-нпй йаз что одновременно будет !а (рЯ) = 1а (га„) =.)а (а„) = О. Тогда, представляя Р„в виде: Р—— !'д. аа(ч,) !в!1 ргг! у, (а) ! ,-'-)-РУС)(а(рг1и) Л(»' найдем подобно предыдущему: у <1, ! 4Ь,,а()а(а„) ват. Ша! гаа(т. — гсл Кроме того, используя ряды (6А9), будем ивет!и Р 8 ! Р., — = — — К,,), (а,,) в.—,— Ђ '-''за —,1( 8 х+ ! )лА (а )+ !! 8 ) лА (а ) г ! + (н) ,')с „,, с, 8 1 8 т Ь„а„ Ла(ч„) Заметим, наконец, что на основании (6.68') будет: Р=Р,+~,Р„. Заменим злесь сумму найденным выше знзчением, а величину Є— произведением прая(,й части (6,50) на !!у!.
Подставляя одновременно вместо ф, выражение (6.64') н переходя с помощью (6.38) к размерным величинам, найдйм окончательно следующий закон распределения давлений вдоль осн трубы: Ра — Р Ь ! кчг 8г —.-= — а+ —.+ т ! — — ' Ь Ла(а,)— тих й 8 х а Ъ~ ! ! %)Ь„)а(т„)1 ~а "— ~а (6.69) откуда следует, что а! равняется выражению, стоящему в фигурной скобке. Подставляя все этп значения в (3.22), получим. 254 елзвитии твчвния вязкой жидкости в тггвлх (гл. ш Покажем, что решение (6.69) действительно дает р=р, при х=О. По формуле, устанавливающей зависимость между цилиндрической функцией и еа корнямп, имеем '): Е 2х (х Ча(х))' х 4 х 14(х) — = — — — — — — (6.7О) ха )т х а),(х] 2 х 2 1а(х) ' Полагая здесь х = а„, получим: 1 1 2 4=1 ~, )» т я 4 з' = — Р—  — ХЬ ч гле 1а ( Ф~з') "' 1а(УМ ' а„'-,' (1„(.„Г) 1,(У В(Е)+1,Д~'Р)ед) )а(.„)» (а„-)- вй) 1 (и' г1(т) Тогда, очевидно, будет: = — Р— ра — ~ т„.
(6.71) Сравнивая выражение у, с правой частью (6.54), приходим к выводу, что м, будет равно произведению правой части выражения (6.56) на фо Значение,, будет здесь опять определяться формулой (3.22). Прп этом полюсы функции м,. также лежат в точках, где ра имеет значения (6.47), а точка, где рГ)1гс =и„попрежнему не является полюсом, так как 1, (га„у) = За (а,у) п г) См.
Р. О. К у з ь и и и, выше цнт., стр. 111. Это равенство вместе с (6.52) и доказывает выполнение условий прн а=О. Отсюда одновременно следует равномерная схолимость ряда, стоящего в правой части (6.69) Перейдем теперь к определению и. Заменяя в (6.67) величину Р, входящую в первое слагаемое, ее значением пз (6.68) и принимая во внимание соотношение (6.45), представим и в впде: и 18) пзУченпе теченпя с помощью пРньлпженных УР.ППЙ гчз 1г(уа„)= — )г(а„). То~да, обозначая числитель н знаменатель. пРавой части Р„чеРез г, (Р) п уг(Р), найдвм, что — — = — 4п„а„"- ), (а„) 7! Фк) ° !о(гаУ) рьу'(рь) " " " )г(о — ' )1-(' ! Кроме того, используя ряды (6,49), будем иметь: РР 8ог!г(о,) ! + Ь„,!о (а„у) + )г (а„) ( — л+ 2у' — —,, †.':, — + Е (р), 78 2 8')(! откуда определим и!. В результате формулз (3.22) даст: !р, = а, ( )о (а У) + )г (а„) ( — л+ 2у' — — — —... (— чг !о (4У) — — к — 4Ь„а„')г (а,) Я ° г г а Х Подставим теперь в равенство (6.71) найденное знзченпе л„, а также величину )г„раину!о произведению правой части (6.о6) на !г!, и выражение )о, определяемое формулой (6.69).
Тогда, после замены ф, вырзжением (6.64') получим: и = 1 — 2уг — ~г(г„()о (а,у) — )г (а„))— Переходя здесь с помощью (6.38) и (6.62) и размерным велич!щам и заменяя одновременно в (6.62) величину ф!(у) ей значением (6.61'), найдем окончзтельно следующее выражение для закона распределения скоростей в круглой трубе: ок=2ио (1--')— Ф! оз.' т,г,г )гг ! !Е() ) 255 гьзвитие тсчснпя вязкой жидкости в тгьвлх !гл, ш тле 7„7х — послеловзтельные нУли фУнке~и Ф(х) = хЛ„(.с)+ Нйн(х) и (6.74') 1 2тьз ) х/1х! !н(тьь Гх (6. 74") (т'ьь — пй),',(ть)+т' )",,'(ть] ' Если сумма вхолящего в (6.74') постоннного коэффициента 'Н и индекса цилинлрической функпип п положительна, то ,в разложении (6.74) /7в=О. Если же Н+п=О, то 1 йз — — 2 (п+! ) у" ~ хн+'/(х) с/т.
(6.75) ~) См. Г. Н. Ватсон, Теория бесселевых функций, ч. !. Изд. пиастр. лнт., !949, стр. 655. Тзм же указаны довольно широкие ус.ловия, которым при атом лолжна удовлетворять функция /(у). Из формул (6.69) и (6.73) след)ет, что при лалсинарном ре.нсиме любой' осссилынсчприиный нро(т)иль продольных скороспич! переходит в пределе при е — оо в параболический протри.гь с осевой' скоростью, равной удвоенной средней ло расходи скорошии во входном сечении.
Прп етом формула (6.73) дает картину развития произвольного профиля скоростей и позволяет определить ллину началы<ого у щетка так же, кзк это было сделано в и. 1. Бслп з форм!лаз (6.69) н (6.73) гьоложить д„=О, то мы естественно придем к полученным выше выраженинм (6.5!) и (6. 57) . Результат, аналогичный тому, который лают формулы (6.69) и (6.73), может быть получен из соответствующих приближенных уравнений п для слу шн течения в плоской трубе. Покажем в заключение, что в полученном решении оь ирп г = О действительно принимает заданное значение (6,61). Для этого лпстаточно лоьззатзи что в (6.72) ири е= О булет и=О. Для доказательства воспользуемся формулой разложения некоторой функции /(у) в ряд Дини' ): /(У) = ~х'„ак)в (Тьр) + /сз (6,74) ь=! 8 18) пзячянив течения с иомоиг~~ пгпвлижьннык кз-ний 257 Положим теперь в (6.74') л=) и Н=- — 1.
Тогда, принимая во внимание, что "о(х) + ) (х) = '-' А (х) (6. 76) будем иметь ф(х) = — — х,)а (х) и, слеловательно, в ланном случае булет 7„==(), где,', корни уравнения,)з(х) = О. В результате разлоягение (6.74) призют вил: у(у) = Х п,,),((,у) + К,. (6.77) Так как при этом Н+ л = О, то Йа будет определяться из (6.75), Разложим теперь в рвд Лини, определяемый фнрмулой (6.77), функцию 7(у) =-Л, (глу). Тогда, вычисляя ал по формуле (6.74') и й, по (6.75), получим из (6.77): .),(нгу)=4ьлУ „, — + — )з(гл), )а Он) )~ ()лу) 4З , )л рлз )лз) "е()л) откуда 8 1! (>ск) 2)г Ол!Р) 8 )ау( "— ф1 ()а) Если разложить теперь функцию )а (гггу) в обычный ряд фурье- Бесселя, то получим: 4 )г (Ьу) 33 (глт) (а' Фа) )о (га) Вычитая последние два равенства почленно одно из лругого и принимая во внимание зависимость (6.76), найлзм: гн Лалее, из рассматривавщегося ранее рззенстза (6.70), полагая в нем х=лг, булем имстги 4 э' ',=1 — — я+ — ' а="1 17 с, и, тврг 2В) РАЗВптпе течения Вязкой жидкОсти В тРуБАх [Гл.
У! Произвеля опять почленное вычитание предыдущего равенства пз данного, придем к формуле ~~(ЬУ1( ) 4(~У) — )а(В1) (6 78) шз — )з ( "э 6~) ) "1(ш) ЭРЫ Л Полагая теперь в (6.78) и=О и раскрывая получающуюся прп этом в правой части иеопределвнность, найдем: — 4 ~; †, ( ) — ) = 29 — ) . (6,79) ээ(ЬУ) ) 1 з )эФлу ) Полагая далее в (6.78) т=п„и умножая обе части э~ого равенства иа — дг)з (а„), булем иметь.' Если теперь положить в (6.72) х=О, то, принимая во внимание (6,79) и (6.80), мы убедимся, что при этом действительно будет и=О.
Этим одновременно доказывается равномерная сходимость ряда, стоящего в правой части (6.72), а следовательно, и ряда, входящего в (6.57), 4. Предельные режимы течения в трубах. Выше было показано, что при течении в крутлой трубе любой симметричный профиль продольных скоростей переходит з пределе з параболический. Диалогичный результат, как отмечалось, может быть получен и лля течения в плоской трубе 1). Соответствующие решения были при этом получены из приближенных уравненйй лзижения, не сотержащпх поперечной компоненты скоростей. Ввиду этого полученные резтльтшы дают по существу только картину развития продольной скорости течения.
Между тем представляет йесомненный интерес исследование вопроса о том, какое влияние нз прелельный режим течения оказывают поперечные составляющие скорости. Вопрос этот и будет рассмотрен ниже. При этом рапи простоты мы ограничимся рассмотрением течения з плоской трубе и будем считать поток жидкости ') Считаем необхолпмым подчеркнуть, что прнвелбнные выше решения лают не только этот результат, которык, как мы узндни, можно было бы получить гораздо проще, Полученные решения аа1от картину развития течения в трубе, позволяют найти занон падения лавлення вдоль трубы, построить профпть скоростей в люгюи сечеяин трубы н опрелал1пь, в частности, лж1ну так нааываемого началь:1о1.о учаспса. ф 18) изучение течения с помощью пРпвлп кенных уР.ний 259 и трубе симметричным относительно средней плоское~и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
