С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Вместе с (7,04) и (7.07) это и дает решение поставленной задачи, Мы получим гораздо более на~ладное представление о характере течения, если, не представляя в явном виде зависимость 7(р), с помощью эллиптических функций произведйм качественное исследование решения, исходя непосредственно из уравнения (7.08). При этом рассмотрим случаи расходящегося н сходягцегося течения отдельно. а) Расходящееся течение (днффу вор). В случае расходящегося течения будем иметь о ) 0 и, следовательно, ~) О. Введем обозначения; о(г,О)=ня н У(0) =уя.
$1Я УстАнонившяеси течение в ДПФФУзоглх 271 Тогда, так как рассматриваемый нами поток симметричен, то, при 7 =7а будет 7'=0 н, следовательно, 17(7,) =О. Пусть два дРУгнх коРнЯ УРаннен~Я У(7')=0 бУдУт /г и га. ПРи этом, как видно из (7.08'), должно быть: Уа+Л+Л= о. б (7.09) далее, так как при р = а значение 7'(а) действительно н. Фнг. 44. так как в силу прилипания жидкости к стенке /(а) в=О, то из (7.08) следует, что У(0) = — й =- О.
(7.10й Кроме того, на основании (7.08') будет: и(+ )(О, и( — )~О. (7ПО'), Принимая все это во внимание, придем к выводу, что кривая, изображашщая зависимость У(7), может иметь вид пли (/), или (О) нз показанных на фпг. 44, а; прн этом в случае (О) корни,Гг н га будут комплексно сопряжен нымн иУ~ + Га (О.
Всякая, другая форма кривой У(7) будет противоречить иля условию (7.09), илн нераненствам (7.10). Заметим теперь, что если в (7,08') внести вместо С величину уы то будет: ( (У)=(.7,— 7') ~7'+(Л+ —,) У+ ~,~ ('") Тогда пз (7.08), принимая во внимание, что г(|р) в направле- нии от оси убывает н что при р=О 7=7а, а при т=п. тгчгнпг. вязкой жидкости в диьвтзотхх (гл.
тп 272 7=-0, получим: а= )/à —, йй. 1' и(т'1 (7.1 2) !'сли угол раствора а будет превосходить значение (7.12') то в диффузоре с чисто радиальным потоком будут возни-' кать области обратного течения. Эти области могут возникать или вблизи одной из стенок, пли около обеих стенок одновременно, или, наконец, обласп! вытекання и втекання могут чередоватьс!~ между собой, причем число этих областей с увеличением )х может неограниченно возрастать. Т;!ким образом, расходвцееся течение, при которгм! жидкость во всем сечении течет только в одном направлении, возможно лишь при углах рас!вора диффузора а(а,„.
Для подсчета значения аых„удобно ввести новое переменное ф, полагая 7=/ соз' ф. Тогда из (7.12') получим: / б а!! и!нвв — ~I ВУ 2 Е (7.13) Величинз стоягцего в правой части эллиптического интеграла ири ка кдом данном значении )с/а может быть определена из соответствую.иих таблиц. Так как Ь вЂ” величина положительная, то, как видно из (7.11) и (7.12), с уменьшением Ь значение а будет возрастать.
Но по условию (7.10) постоянная интегрирования й не может .быть меньше нуля. Следовательно, при й=О угол а достигает в случае течения рассзштриваемого типа своего наиболь.шего значения а,„,„, где 9 19) установившееся течение в диееузорлх 273 В частности, при достаточно болшиих числах Рейнольдса, 3 пренебрегая величиной — по сравнению с единицей, получиои "Уо )' РК, ам,„= — 1' 3 ~ — ~ — = 3,211. (7.13') 1/ 1 1 1 — — зп!о ', Заметим еше, что на основании (7,04) и (7.03); о по оо о= ~ Положим здесь оо =-,'о, ) (1+ а (г)), где е (г) — величина, характернзуюшая разность между осевой и средней скоростью в данном сечении.
Тогдз из (7.13') будем иметь: — 3,211 ) Рамн. —— — ' -32, 1 )- р(г) (7.1 4) так кзк при больптх значениях Р, лля которых справедливо (7.14), величина о,р мало отличается от о и а (г) близко к нулю. Из (7.14) следует, что при болю!их Р расхолшнееся ~ечение, совершаюшееся в олпом направлении, может иметь место только в диффузоре с достаточно малым углом раствора а. Найдем в атом случае приближенное выражение для закона распределения скоростей.
Для это!о обратимся к уравнению (7,06'). Так как при больших Р величина о почти во всбм сечении мало отличается от оо, то соответственно и 7 будет мало отличаться от уо, Позтому можно приближенно положить Р /' — Р,Гот. Тогда уравнение (7,06') примет вил: ~" (м) + (4 + Руо) 7(р) + С =- О. На так как в россо!атриваемом случае угол а весьма мзл, то, как видно пз 17.13'), величина РЯо очень велика. Тогда, пренебрегая ч!голом 4 по сравнешпо с Руо, получим окончательно: 7" (Т)-+ Е~.у ® = — С 18 с, и, торг тгчгнив вязкой жидкости в днээгзогдх [гл.
чи 274 Интегрируя это уравнение, найдем: С 7 = А з(п пъ + В соз лз — —, где «=1 й/,. (7. ! 5) (7.(о') Для определения постоянных Л, В и С имеем условия: при э = п,т=- О, при р = 0 г'" = 0 и ~,~ (р) с(м = 1, вытекающие соответственно пз факта прилппзнпя жидкости к стенке, из симметрии течения и из постоянства расхода.
Удовлетворяя этпи условиям. получим пз (7.15): соз «т — соя «ч /=л . 5!и «3 — «х сох «и Подстзвляя это в (7.04), найдем окончательно: «ы соз «т соз «х г а1и «я — ««соз «« (7. ! 6) Таким образом, в рассматриваемом случае профиль скоростей в каждом сечении изменяется по закону косинуса, а скорость течения вдоль каждого из радиусов убывает обратно проиоршшнально расстоянию от источника. Рассмотрим, наконец, течение в диффузоре с углом а, много меньшим, чем а „, и таким, что лп((1. Тогда. заменяя в (7,16) тригонометрические функции их разложениями в ряды и отбрасывая члены с («а)ч и выше, получим: се= — —,, — 1 — — „ зд( "хг(, «а!' (7.
17) Таким образом, при очень малых углах раствора профиль ск«ростей в каждом сечении будет параболическим, чего и следовало ожидать, так как ввиду малости и мы здесь приближаемся к случаю течения в плоской трубе. Отличие состоит лишь н том, что по иере удаления от «сточнпкз скорости убывают обратно пропорционально г. б) С х о д я щ е е с я т е ч е н и е (к о н ф у з о р), Перейдем к рассмотрению случая сходящегося течения. В этом случае будет и(0 н, следовательно, у(0, причем / будет опять 19) устхиоьизгиееся течение в диФФузоглх 278 определяться уравнением (7.08).
Если ввести обозначение 7'(0)= †, где )'о)0, то, так как в силУ симиетРии У'(О) = О, получим из (7.08) С/( †) = О. Кроме того, зд сь опять буду.г иметь месго условия (7.10) и (7.10'), вследствие чего кривая (7(7) может иметь только вид, изображенный на фиг.:,44,б. Следовательно, все три корня уравнения (/(7) =- О в ланном случае дейстнптельны, причем лва из них отрппательны ( уо и — 7,), а третий положителен или ранен нулю (уз =.-. 0).
Тогда (7 08') можно представить в аиле ив= У.-+~) Ц, +Р(уа — Л. Введя теперь обозначения и замечая, что прп о = 0 булет 7= — 7о пли 8 = 1, получим из (7.08) для со == 0; г з и «) р = )У вЂ” 1,,—,-;,= — -.,— (7.18) 206 ~, К' (1 — МФ вЂ” )16о+г). Опрелелпв из (7.18) р(р), мы н найдем решение поьтавлениой задзчи. Заметиоп что в слУчае, коглз величина )' (Ч7ох будет мала, течение з конфузоре будет также оирелеляться формулзми (7.16) и (7.17).
Этот результат очевиден, так как при получении укззанных решений мы исходили непосредственно.из уравнения (7.06'), справедливого как для расхолящегося, тзк и для сходя~цегося потока. Рассмо~рим поэтому, калов булет характер течения в конфузоре в случае, когда величина Ъ~~Ц,а весьма велика. Из (7.18) имеем: 1 )' Руоп= ~' ~ — — .. -, — — Е()г, О), (7 19) '-',У (1- — ))(),— ))() +1) где Е (Ф, 8) — эллиптический интеграл первого рода, в котором ') (о= т~ — + — "', з1п8= 1/ — " ', '.
(7 19') '1 См., например, И. М. Р ы ж и к, выше пит. таблицы, стр. 91, формула 49. 276 течвнив вязкой жидкости в дпьчгзоглх (гл. чи Так как ~, может изменяться от 1 до со, то, как видно из (7.19'), Е(л, (!) может иметь л!обые значении от 0 до оо. Следовательно, величина угла а в данном случае ничем ие ограничена н сходящийся поток, направленный в одну сторону, может иметь место в конфузоре с любым углом а, В рассматриваемом случае ( !суза)) 1) должно быть Е(м, 8)))1, а зто, как известно, имеет место лишь тогда, когда одновременно 7г близко к единице, а 0 к †' , что в на- 2 шем случае будет при р, = 1. Так как, кроме того, соотношение (7.09) имеет теперь вил 1+3, — 3г —— р— , б иго то, пренебрегая злесь правой частюо по сравнению с единицей и полагая р, = 1, найдем ря = 2.
Таким образом, мы найдем приближенное решение для больших значений )/К~ра, полагая в (7.18) и (7.19) р,=! и 9,=2. Сделав это и вычитан одновременно названные равенства почленно олно из лругого, будем иметгн з 3 (' л! 2нго ) (1 — )! $/2 + ф Отсюда, интегрируя, находим: 3 !(гз ~ 1/ о (а — У)+-Т~ — 2 (7 20) и, г где Т=!,146 есть корень уравнения 3!(г'7=2, Так как ири больших значениях аргумента величина гипер- болического тангенса близка к елинице, то из (7.20) слелует, что почти во всей облзсти течения и - пм Только у самых ! стенок при значениях а — у порядка величина и начиг' ~уз нает заметно убывать, обращаясь в нуль ири а=и.
Этим результатом прекрасно подтверждаются предпосылки теории пограничного слоя, соглзсно которым для течений с больпшми числахш Рейнольдса можно поток считать потен- циальным всюлу, кроме тонкого слоя, непосредственно примы- ф 19) Устлнонияигееси течение В лиФФУзоехх 277 кшощего к обтекаемой твбрдой стенке, причем толщина этого слоя имеет иорялок = . ~')7 ' Наконец, из (7,08') на основании свойств корней функции с7(г) имеем: , С й =УоЛ УоЛ ЛЛ =.7ог (гк! — ~г !1ггнг) здесь р, = 1 и рг=2, будем иметь С= — Й,~от.
зто значение в (7,07) и пренебрегая там отноше- сравнению с Йу„получим: Полагая Подставляя ннем — ио у го р = — —,„+ сопз(. "Г2ВУог згг Отсюла, принимая во внимание (7.04) и (7,03), найдбм окончательно: Р + г = соиз!. (7.21) !) Р!зложеиие этого более общего решения, предстазлягошего чисто теоретический интерес, можно найти в книге: Н. Е. Кочин, И. А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
