С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 46
Текст из файла (страница 46)
1. Приближйнные уравнения двлжеиия и их интегрирование, Рассмотрим задачу о развитии течения низкой жидкости в и юском диффузоре. Пусть мы имеем диффузор, образованный двумя плоскосчями, наклоненными друг к другу под углом 2а )фпг. 28 на стр. 170). Будем прн изучении течения пользоваться коорлин;шами г, у с началом в точке О, тле пересекаются продолжения плоскостей.
Положим, что жидкость, поступая в диффузор, имеет во всех ючках входного сечения г= г, одинаковую, направленную вдоль ралиусов скорость Ум Йайдем, как при этих условиях булет пропсхолить течение жидкости в лиффузоре, считая, что движение являсчся плоско-параллельным и установившилюя, и пренебрегая действием массовых сил.' 1)ля решения задачи обратимся к уравнениял~ движения в цилиндрических координатах (1.47). Так как течение является илоско-параллельным н устаиовившимсн, то третье из этих уравнений выпадает совсем, а в осзальных булут отсутствовать пены, содержащие о, и производные по я или по Е Произведем теперь в оставшихся урзвнениях частичный учет членов, ззв ыящпх от вязкости, полагая, что о,. (( и, и что производные от о, по г будут малы пз сравнению с произноднымп по и. Заметим, что ири больших гс эти предположения будут, строго говоря, справедливы лишь вблпзп стенок лиффузора, где к нпм можно притти путем оценок, аналопшных тем, которые делаются обычно в теории погра- 284 течение вязкой жидкости в диаэгзоглх [гл.
чп (?.35') нпчного слоя (см. п. 2 В 10). Однако прп приближйнном учете членов, зависящих от вязкости, их сравнительную оценку и следует производить в той области течения, где вязкость до- минирует, т. е. у стенок. Вдали же от стенок течение при больших знзчениях гс близко к потенциальному и там влия- нием вязкости можно вооб:це пренебречь. Замепш, что ана- логичным обрззом мы поступали и в теории пограничного слоя, когдз, считая слой асимптотическим, применяли фактически полученные для него уравнения ко всей области течения.
Отбрасывая теперь в (1.47) члены, которые по сделанным оценкам являются малыми, получим следующую систему при- ближенных уравнений: М, г,дщ 1 г>а > дапг (7.35) 'д>. г нв а»>г гаду»' »>р , .2»на, д> г»>в »)»»г ~ г, ~ 1 дг» »г ' г г д- (7.35") В целях дальнейшего упрощения произведйм в уравнения (7.35) частичный учет тзкже и инерции,»ных членов, подобно тому как это было сделано в 8 13. Примем, что в левой части ввиду малости ю„можно положить п,,=0, а величи- ну и, заменим некоторои характерной для данного сечен>ш скоростью У.
Тогдз уравнение (7.35) заменится уравнением дг, 1 др > деа,. (7.36) Г г>г >' г»ва ' Урзвзещш (7.36), (7.35') и (?.35") п представляют собою ту систему приощнквнных ур,»внений движения жидкости, ко- торой мы в>спользуемся для решения поставленной задачи. Остановимся сначала нз выборе характерной скорости (?. Будем в дальнейшем принц»ють в качестве»? ту скорость, юнорая будет входить в выражение параметра [с, если его выбрать так, ч гобы он сохранял постоянное знзчение для всех сечений диффузора. В рассматриваемом случае за харзктерный размер в пзраметре )с для с»ченпя, определяемого коорди- нзтой г, естественно прин>пь величину гд.
Тогда будет И'х К=в 20) Рхзвитие течения в плоском дпФФЕЕОРе 285 Если считать параметр Й при дзнном режиме во всех сечениях одним и тем же, то У окажется величиною, убывающей обратно пропорционально г. Принимая теперь во входном сечении (7. 37) получим 1«згз (7 ~ИА (7. 38) Это знзчение У мы и будем считать входящим в левую часть урзвнения (7.36). Обратимся теперь к уравнению (7.35') нашей системы. Интегрируя это уравнение по Ф, найдем: Р = 2р — '+7 (г), (7.39) где /(г) — некоторая подлежащая определению функция ко- ординаты г. Тогда будем иметь: — -~ = — 2ч — ~ — "1+ — —.
дф Подставляя полученное значение — в уравнение (7.36), пг заметим, что в прзвой части этого урзвненпя члены порядка д I РД вЂ” — по срзвненшо с сохраненными были отброшены. дг(,г) Следовательно, мохсет быть отброшен и этот член. Заменяя, кроме того, величину У ее значением (7.38), представим окончательно уравнение (7.36) в виде «„и, Ь, 1 ИУ, ° Эзп, (7.40) г дг Р Мг гт птз ' Введем теперь новые безразмерные переменные =, уп и, тп п Р(;), полагая: г т и,— ба и.
= )п —, Ф1= -'-, и=, ш= -'-, (7,41) гз зз сгз з(7з У(г) =Ро — 2р — е+ р (уот ~ Р(с) е-е + ) Р(с) а-' дЬ1, (7.41') го а где Р, — давление во входном сечении. течение вязкой жидкости В диФФхзогйх [Гл. чп 235 Тогда уравнения (7,40) и (7.35") примут вид: ~' — ', ' — „"+и+) =О.
~ ае,1Н; (7.42) При принятых обозначениях, учитывая равенство [?.39) и сим- метрия! течения, получим для рассматриваемой задачи грзнич- ные условия: р,=О Ф1= 1 Таким образом, решенпе задачи сводится к интегрировашио системы уравнений (7.42) при граничных условиях (7.43). Лля получение искомого решения воспользуемся опя1ь методами операционного исчисления. Перейдем в сис~еме (7.42) от оригиналов и, ез и Р к их изображениям по переменному ':. Тогда, принимая во внимание первые из условий (7.43) и формулы (3.05'), (3.06') и (3.07'), пол! чим.
Лсп — -,. — )1гсаи = р)саР— "+(Р+))11+) =О, ,~,, + (7Л4) где Р— параметр пре1!Оразозания. Прн этом, тзк как преобразование от постоянной величины равно ей самой, граничные условия для и и ти сохранят вид (7.43). Если ввести обозначение из=(са, (7.45) то линейно независимыми решенпяьш первого из уравнений (7.44), взятого без правой части, будут ай()Р рею,) и с(1()Р ртнр1). Кроме того, ч,1стное решение этого уравнения, как легко видеть, равно — Р. Следовательно, общее решение будет: и =С, я)1(У р п1р1)+С,сй !РУ р и!р1) — Р. при Е=О при г)0, при г) О, и=О, — — =О, дя! и= — 1 Р=О; и!=О; еа = О. 9 20) глзвитпв течения в плоском дпеетзогв йч7 Определяя С, и С.
по условиям (7.43) лля и, найдем окончательно: и =.,Р () — — = — "- — Р. си (1г в лг:,) (7.46) с!~(Р Игл! З(ля определения Р представим второе из уравнений (7,44! в виде: — - гУгп = ((р+ 1) и+ 1~ г)м,. Беря от обеих чащей этого рзвенствз определенные интегралы в пределах от ~, =0 ло Ф, =1 и принимая во внимание условия (7.43) лля тз, получим ! 1 сс гУФ, =.— и 9 Заменяя здесь а его значением из (7.46), найдем после. соотвечствующнх преобразований Р== 1+ Р,, (7. 47) где (! + ц!( ~ )т в — $г р ) уг(и) Найдя таням оорззоч изобра кения и и Р, перейдем к определению их оригиналов и и Р.
Из (7.47') видно, что Р, представляет собою функцию вида (3.16), удовлетворяющую условиям (3.17). Бслп ооозначить через '( (й †. 1, 2, ... ) корни уравнения '). !Ям =х, (7. 48) то легко впдетги что Р, будет иметь простые почюсы в точ- Г ках, где т)' Рь=гу или где р,= — -"'; (7. 49) а также в точке р = — 1. Заметим, что точка р= О не будет полюсом функции Рп в чем можно убедиться, раскрывая получщощуюся неопределенность. ') Значение ятях корней см., например, в книге: Е.
Я н к е и Ф. Э м де,. Таблицы функций, !948, стр. 47. течение вязкой жидкости в дпечкзовдх [гл. чи 288 Тогдз, кзк покзззно в 9 7, оригпнзл Р, оудет дзвзться формулой (3.22). Переходя к вычислению сходящих в эту формулу. величин, получим пэ (7.47'): з , та Г! (рь) = — г' —,. Далее, принпмзя во вниз!знпе, что 7, удовлетворяет уравнению (7.48), нзйдем: р.у((р,) = ' — ',,' (1+р,))'р,~ з '- — 1! =; —,'-"-з(г! ' — Тд. 1 с!Ы(т р !!47, ) ) 2тз Кроме '!ого, для значения ))= — 1 будем имст!н 71( — 1) т !я л, — т Наконец, раскрывая в (7.47') соответствующую неопределенность, получигп А= У! <О) 3 яп) тз (?.50) Подставляя все эти значения в формулу (3.22) и прин ышя во вниызние (7.49) и (7.47), нзйдем окончательно: сО гь Р=! — -' — „+ 3, т:, Ъч 1 е 1 — 2 э' „е е''.
(751) ли 18 лг хч ~" ~ тт ь —.! т тьз Покажем, !то полученное решение действительно лает Р— =О при '; =О. Для этого рззложим нз простейшие дрони функцшо г(х)= ч1 (х) х' ез (х) 1 — х с!8 х ' Учитывзг! особенности Р(х), нетрудно убедиться, что это разложение будет иметь вид '): , ьуз з — ть где 7 — попрсх<нему корни уравнения (7.48), !1 См., например, В, Рй Смирнов, К>рс высшей математики, т, Ш, !939, стр. 443. $20) Развитие течения в плоском диФФузОРЕ 289 Произведя все подсчеты, найдйм: — --:- —,— = 3+ 2х' ~~' 5=1 Полагая адесь х=гл, прндем после неслджных преобразований к равенству 1 3 гл 5 —.1 из которого и следует, что условие Р= — 0 при ." =-0 в решении (7.51) выполняется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
