С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 49
Текст из файла (страница 49)
прп а=О при г) О, при г) О, О,=о 6,=1 Для нахождения решения системы (7.72) при условиях (7.73) используем опять 21етоды оперзционного исчисления. Переходя в системе (7.72) от оригиналов и, ти и Р к их изображениям по ;', получим, принимая во внимание перные из условий (7.73) и формулы (3.05'), (3.06') и (3.07') глзны третьей: 212ц ! 21!! лз2 З ЦЗ вЂ” + — — — р!(тии = )!(кар, ()!+2) и+ 2+ — — „=О, а, ио! (7,74) где р — парзметр преобразования. Граничные условия для изображений и и п2 сохраняют при этом впд (7.73).
Первое нз уравнений (7.74) анзлогично, как легко видеть, уравнению (6.4!) и, следовательно, его решение прп граничных условиях (7.73) совпадает с решением (6.43) и имеет в данном случае внд: (о(ла1) и — (Р 1)о ' Р (7. 75) (о(") где л' = )!(!си. (7,76) Для определения Р представим второе из уравнений (7.74) в виде — п2ш= [(р+ 2) и+ 21 0!и!61. ( а'112(61 = — —, 1 1р)».
о Бери от обеих частей этого равенствз определенные интегралы в пределах от О, =- О до О, = 1 и принимая во внимание условия (7.73) для гх2, получим; Я 21) глзвитпе течения в коническом дььеегзоеа з03 Подстзвлня сюлз зььььченьье и пз (7.73), буден иметь: ь" 2! (л) .1 р (Р— !) ( —" — ' — 1 ( == —,. ( л 1„ЬлЬ ( р-1-2' Послелнее вырзькение хюжно, пользуясь зависимостюо (6.45), ььрелстзвить в ниле: Р— 1 — Р (7.77) где р1з Ьи) уь фь) (7,77') Перейдем теперь к оирелельиипо оригиналов Р и и ио найденным нх изображениям Р и и.
Из (7,77') видно, что Р, предсьввляет собою функцщо вьь;ььь (3.16), удовчетворюощую успев»ььь (3.17) и именицую простые полюсы в точках, где гл =,;„или, как слелует из (7.76), где Гст ' (7. 78) Кроме того, из (7,77'), используя разложения (6.49), найдйм; Г'ь (О) 4 Уз(01 йз ' (7.80) Введем д:и удобства обозначение 2)хи =та. (7. 81) а также в точке р= — 2. При атом 3з в(7.78) попрежнему корни урзвиенпя Ла (к) = О.
Точка р=0 не является польосом Р,, в чем легко убедиться, ззченяя входящие в (7.77') цилиндрические функции их разложениями (6.49). Тогда, как было показано в 2 7, орипьнзл Р, выражается формулой (3.22), где функции уь и уз определпюгся равенством (7.77'). Несложный рзсчйт дает в линном случае лля величин, стоящих в (3.22) под знзком суммы, знзчения: Уь (РзЬ 4 уь ( — 2Ь )з ()/2(1з) Р 1 ЬРг) 2Я" — ) — 27.
( — 21 1. ()ГЖз) ЗОГ течение вязкой жидкости В ДИФФузоглх (гл. У!! Тогда, подставляя все найденные выражения в (3.22) п принимая во вшжшнпе (7.78) и (7.77), найдем окончательно: Р=1 — — +' — 'Е -"' — 4 Р, — Е ага . (7.82) 8,1, (лн „, 'с» 1 е ь )а(п),, а-а и=- — 4 — Р, (7.83) где Р1ь 1ла,) Уг (1Н (П + 2) 1а(л) Уа 08 ' (7. 83') Задача сводится к определеншо ф, Из (?.83') видно, что ы! также является дробной функцией вила (3.16), >довлетворяющей условиям (3.17). Прп этом все полюсы функций 4 совпадакж с полюсами Р,, Выражение ф будет, следовательно, определяться формулой (3.22), Из сравнения (7.83') с (7.77') легко убедиться, что в данном случае выражения, входящие в (3.22) иод знзком суьм!ы, будут отли иться от (7,79) только )а():ей )а !Рнаг) множителями —.' в первом из выражений и -' — во втоза (ра! Ла (лй ром. Что касается величины ?гы то онз и в атом случае будет определяться равенством (7.80).
В результате формула (3.22) даст для ф значение: „аа. 8,1, (а~а~! а; ~ ~» 1 Яа()„6~) — тайга л~"- )з(ш) а=! "' Р); "а((!Е) Наконец, из (7,83) следует, что л== — Р— ф. Заменяя здесь ф найденным вырзжением, а Р— значением (7.82), будем Заметим, что если обе части рзвенствз (6.70) разделить Х нз —,, з затем положить в нем х=т, то можно будет сразу убедиться, что решение (7,82) действительно лайт Р= 0 ирп с = 0; атпм одновременно доказывается и рзвномерная сходимость стоящей в правой части (?.82) суммы. Перейдем теперь к определению и.
Из (7.75) и (7,77! находим: 2 21) глзвнтив течения в коническом двеехзогв 305 иметь: ег )о (гнА) — )о рн) »=~ "'" )» Е )о(г») Выполнение условия тр=(/р при Е=--О в выражении (7.84), а стало быть и равномерная сходимость стоя цего в правой части (7.84) ряда следуют иа пол>ченной ранее формулы (6.78).
Переходя в (7,84) с помоигью (7.71) к размерным величинам, найдем окончательно следующий закон распределения скоростей в диффузоре: а 1» (гл ) 3а (ш) е (7» 1» (и') в» Закон распределения давлешьй в диффузоре найдем, заменяя в (7.41') величину Р ее значением из (7.82) и подставляя определенное таким образом вырэжение 7 в правую часть равенства (7.39). Окончательно получим: р — р =2р.~ —" — — 1+ рУ» ~1 — — '1+ —, — (1 +. 2г 7ог ('2 ), '-' 1 8 1 ~о(н') — „"$ 'Хг гэ) ) пР 81»(»й СО Юр — 1»1(гп -(-йг») Формулы (7.85) и (7.86) и дают решение поставленной зада'ш.
Заметим, что полученные формулы пригодны для расчета во всех слУчаах, кРоме тех, когда пэРаметР ш=) 2(зпоказывается равным одному из корней 3». В этих случаях правые части (7.85) и (7.86) станогятся неопределенны»ш. Раскрывая зти неопределанности, найдем из (7.82) и (7.85), жо при 2Ка==- »~»е величины Р и т5 должны определяться по 20 с и, т»гг течении вязкой жидкости в диввхзогхх (гл. чи збь форму шш: „оо, о=1 о ! 3 чгз 1 - ~ —,„.т оо н""11 — )а шА' 1'1 -оо З,ихо) где штрих у знака суммы означает, что в ней должен бьль оиуншн член с,',о =гл.
Величина лзвления р может быть найдена из (7.87) таким же путем, каким было получено вырзжение (7.86). 1)олучеиные реаультаты внешне очень похожи шо решения (7г861 и (7.87) с сой лишь разницей, гго здесь вместо т)иы гоночетрических функций вхолят цилиндрические. Существенное различие, однако, состоит в точ, что первые записящие ог г члены разлоокений о, и д в случае конического го го диффузора соое1ы;и, ~ ак нилин из (7,85] и (7.86), —., и го га соогвеы1вш;но, в то гоемя кзк в случае плоско~о лпффузора вти же члены, сполосни фо1эмулзм (7.56) и (7.67), будут сого го держать — и г го' 2. Исследование характера течения в коническом днффузоре.
Картина течения в кон>шеском дифрузоре хачесгвенно во многом совпадает с тем, что ранее было установлено для плоского дпффузора. Иоогоиу мы остановимся здесь глзвным образом на соответствующих количественных характеристиках. Найдем прежде всего величину дзвленпя прн г=хо, которую обюзначим уо о . Так как при г = о о, =О, то из (7,86), вводя в правой чгкти параиетр (т, иолуч .м: в 21) глзвптив течения в коническом дпеьязогя 80? /и По из форыулы (6.70), полагая в ней х = — гн и х =.1,— бу- )/ '2 дем иыетвп lп» !»н» — ) ~ (гл 4т»г ! „! +2»»ь») 3 й~ !» "" ь Я ! !» (»»»! »»» !2 Пн~ '~ / н» !», —;-.=.- ~ »и его иначе~ исм (7.81), найлом окон и- Заменяя, нлконеи, т ел ь н о ' Р:о — Рч ! !»()т Р~) 2» а(»з 3 !»!1?М») Исслелуя свойство фупкиии Г(х).= 31» (х) — 1» (х), легко убсдитьсн, что Р(х) =О только при х, = 2, !?5 и»то Г(х) с.
0 при хс~.т, и Г(х))О при х >х, Отс!ода следует, ч!о при )'(са = 2,175 правая часть (7.88! всегаа огр!!нате»!ьна. Таким образом, будет: ири Кд == 4,73 р. (!»» (7.89) н течение в зтоы случае проискодиг в сторона падения дпалемив, Если ;ке прп Я и ,ь 4,73 пренебречь в ириной части (7.88) последним слагаемым, косорое будет в этом случае меныпс аа —,, то найдем, что при (та) 4 73 Р )Р». (7.90) Таким образом, в этом случае те!ен!!е в диффуз,ре пропскодит в сп»прону ао:;Рагин»ни» даа.тенин. Таким образом, в з»!висиыости от (тд »с инне в лонпческом диффузоре ыов.с! такгвс проискодить и в направлении градиента давления и про»ив !!»адиснта лавлсния.
Перейдем теперь к исс»!ело!ь»нико явления отрыва. Полагая попре кисну, что условием отрыва будет: тячшпа вязкой жидкости в дис ьтзогхх (гл. чи 808 и заменяя здесь тб выражением (7.84), найдем длн определения координаты г, точки спрыва уравнение: — г1 — — г 0 >п)(ш) е (~ыг г 1 (7.91) гля ''-' 2 1 (ьч) а=-1 где ~, = — )и — '. го Обозначим через х, наименьший из корней уравнения Л,(х)=0 (х,=3.832). Так как любой из корней р больше х,, то при пг.=-'х, левая часть равенства (7.91) будет всегда гприцателыш. Нп, как известно, при хч, 1, будет 3,(х)) О и )г(х) ) 0, так как 4, .я хп Таким образом, ирп ьч =. )ч правая часть (7.91) будет положительна или равна нулю. Отсюла слелует, что при хд --..
)и уравнение (7.91) не может быть удовлетворено ни при каком значении г,. Так как юг =2йд, то приходим к выводу, что при (ха = 7,34 (7.92) течение в коническом диффузоре будет бсзолу>ыанылп Г1ря 'гсд) 7,34 у стенок диффузора происходит отрыв. При зточ, как вилис из (7.90), течение жидкости направлено в сторону возрастания давления; место отрыва с увеличением Кд приближается к входному сечешпо.
В случае, котла величина (' 2)хп будет равна одному пз корней р» формула (7.91) теряет смысл и положение места отрыва долгкно определяться из уравнения а=1 г/, Рпг -- "-', которое полушпся если полставить в услочпе отрыва значсни. 'о из (7.87). л гх Для бо ~ьшсй наглялности зависимость отношения — от Кд, гя даваемая формулами (7.')1) и (7.93), представлена на фиг. 47. Прп зтпм гх= г,— гы Как и в случае плоского диффузора, оказывается, что с увеличением Гхд нес~о отрыва прпближтется к входному сс- 21) глзвип!е течения В коши!нском дижьузоге 300 чеюио. Однако ири одних и тех же значеш!ях гся отрыв в коническом диффузоре иракско.'и!т значительно ближе к входному сеченшо, чем в плоском (примерно в 2,5 раза). Напомним, что иэ расчетов, произведенных в гл.и!е )Ч с помощью методов теории пограничного слоя (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
