С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Чтобы дать более наглядное представление о харзктере течения прп больших значениях пзраметра (ха, нами был произведен расчет профилей радиальных скоростей по формулЕ (7.56) для сечений, нзходацихся на разных рзсстоянпях от входа; при ятом было положено Йа= 92,5. Результаты рзсчзтов дали кзртину изменения профилей скоростей, знзлогичную той, которая покзззна ниже нз фиг. 48 для случая конического диффузора. Полученные результаты явно укззывают из рзспадение потока нз течение в ялре, где имеет место линейный профиль рзспрелеления скоростей, и из течение в иогрзничном слое близ стенок диффузорз, где скорость быстро падает до нуля.
Зз точкой отрыва у стенок образуется обратное течение. Кзк вилно, все эти результаты ирекрзсно совпздзют с общепринятымп в гилромехзнике предстзвлсниями о хзрзктере течение маловязкой жидкости. Остановимся отдельно нз законе изменения скорости в ядре течения, которую мы обозначим пр. График ззвпспяости вели- чины — от отношения —, рзссчитзнный по формуле (7ю6) уо г йз га при Ма=92,5, показан нз фиг. 46. Для сравнения на той же сз фигуре показана ззвпсимость — в потенциальном потоке. Как из течение Вязкой жидкости В диесузоглх [гл.
Чн 296 видим, скорость в ядре течения, даваеман решением (7.56), падает медленнее, чем в потенциальном потоке, что наход!пся в полном согласии с приведенными выше рассуждения!и! и указывает нэ то, что решение (7Е56) действительно у пгтывает в известной мере обратное влияние пограничного слоя на внешний поток. Рассмотрим в заключение, каков будет характер течения при малых значениях параметра гса, Выше было показано, что 47 т(а губ !Щ (д (7 ЕД (д л Фнг. Еб, при (ха = ие течение н плоском дпффузоре явлчется безотрынным.
Так как длн люоого из корней '(„будет У,'-„',ь 2и-', то при достаточно больших г можно в (7.56) о!бросить все член!,1, входящие в бесконечную сумму по сравнению с первым членом. Следовательно, прп без!!Трын!!оу! течении закон распределения скоростей н диффузоре на достаточно большом расстоянии от входного сечения будет определяться формулой о, гн (сее т!Р! — гое 1л) ге 0 З1И !Л вЂ” Л1 СОЕ Ш Г Расстояние, начиная с которого закон распределения скоросте(! (7.65) имеет место с точностью, например, до (л)е, ф 20) Развития течения В плоском дисяузогз 297 можно при заданном )ха определить по первому члену отброшенной в (7.56) суммы. Если учесть обозначения, принятые для лб л и (;), то окажется, что формула (7.65) полностью совпадает с найденной выше формулой (7.16), полученной пз точного решения в случае больших значений параметра )х.
Дальнейшее упрощение в выражение т!, можно внести при )са(! нлп ья (1. Разложим в этом случае первый член выражения (7.56) в ряд по степеням ш и отбросим члены высшего порядка малости. Дзлее в бесконечной сумме, входящей в (7.56), пренебреясем величиной шз по срзвнению с 7"-. Тогда получим следующий приближенный зш.он распределения скоростей в дпффузорг, пригодный для (ха(1: ( ч ! Прп этом наибольший из членов, отброшенных в коэффициенте гри а, который может служить для оценки порядкз прпблиг ' женпч, равен: (у' ча !ЬО ' Из (7.66) находим, что на достаточно большом удалении ог входа закон течения определяется формулой и, 3 7 ч! ') га (7. 66') совпадающей с формулой (7.17), котооую дадт для Ка(! точное решение. Назовем в данном случае, по знзлопш с трубой, длиной из шльного участка в плоском дпффузоре то расстояние от входного сечения, на котороч осевая скорость, вычисленная ио формуле (7.66), отличается от осевой скорости, определяемой формулой (7.66'), не более чем на !а! .
Полагая тогда в (7.66) р = 0 и сохраняя в бесконечной сумме лишь одно первое слагаемое, найдем, заменяя ; 'ее значением из (7А1), следующее приближенное ныряя<ение для 298 твчсипв вязкой жидкости в дифвтзоглх (гл. чи осевой скорости: 3 га ~ 4 (' 1 ) (га'~(-„,—,' — )~ Зт, Требуя теперь, чтобы величина в квадратной скобке равнялзсь (1,99 и учитывая, что 7,=4,493, а )хп(1 найдем дла ллины начального участкз, отсчитываемой от входного сечения, значение 7ч =:га(еа" н" — 1).
(7.67) Так как в данном случае гсп(1, то, пренебрегая величиною (0,18)ха)а, получим из (7.67) следующее приближенное выражение: 7., = О,!8га)7и. (7. 67') Формулы (7.67) и определяют длину начального участка в плоском диффузоре при малых значениях параметра )са. Отметим в заключение, что в изложенном решении рассматривалась зздачз о развитии в плоском диффузоре линейного профиля скоростей. Однако полученные результаты мог) т быть легко рзспрострзнены на случай развития произвольного начального профиля скоростей, если произвести расчйт, аналогичный тому, который был пролелан в п. 3 9 18 для случая течения в круглой трубе.
3. Течение в илосхой трубе. Покзжем, что полученное выше решение задачи о течении н плоском диффузоре дает при прелелышм переходе решение задачи о течении в плоской трубе (см. и. 2 9 18). Для этого найдем предельные значения тб и р, которые дадут формулы (7.56) и (7.57), если в ппх устремить г и г к бесконечности, з а — к пулю, ио так, что при этом в пределе будет: !пп (га) = !пп !гаа) = 16 1!ш (гр) =-!пп (г„'8) =у, !ш1 -'-') = 1, !ип (г — г„) =з, (7.68) ~г) где 28 — высота трубы (расстояние между плоскостями), и— расстояние любой жидкой часппгы от плоскости симметрии трубы, — расстояние любой частииы от входного сечения тртбы. $ 20) ехзвитив течения в плоском див ьхзоие .( Д Заметим прежде всего, что при указанных условиях формула (7.37) лайт для параметра )х значение, сивиадакицее со значен ием (6.84) для плоской трубы.
Будем в дальнейшем предельное значение и, обозначать через и . Так как н пределе а, а следовательно, и г(п стремятся к нулю, то при определении и, можно вместо (7.56) рассматривзть полученную из нее для малых (хп приближенную формулу (7.66). Выражения, стоящие в (7.66) в показателях степени, предс швим, принимая во внимание (7.41), в виде: 2 х „г ть, ть 7, г — ге~ ть(г — га] /, г — га пй" % (, гч ) й гав (, зг„ Переходя здесь к пределу ири условиях (7.68), получим: ~ ",1.') тьа ° сир 7 й Л У Кроме того, очевидно будет йш — ' = —. В результате (7.66), а Л а следовательно, и (7.56) примет в пределе вид иериои из формул (6.59).
Найдем ~еперь предельное значение р из (7.57). Так иах значения и, и (/а конечны, то первый член в (7.57) дает в пределе нуль. Г!ервые три слагаел~ых в фигурной скобке, если заменить (йт его разлогкением в ряд и принять во вн.мшиие обозначение (7.41) и условия (7.68), дадуг в ирен .;.'.
Наконец, преобразовывая иокззатели степеней в бесконечной сумме так же, как это было сделано для правой части (7.66), найдем окончзтельно, что (7.57) примет н пределе вид второй из формул (6.59). Заметим, что решения (6.59) для плоской трубы, прпвеленные в и. 2 8 18, мегино получить и непосредственным интегрированием соответствуюигих прпближйнных уравнений движения. Збо твчвнив вязкой жидкости в диззтзогхх (гл. чц 9 21. Развитие течения вязкой жидкости в коническом диффузоре.
дгэ 1 др т Гдэв„~ ! дн ) дг э дг ' гэ Г,даэ ' 0 д07' дгэ ! 2!э до, д0 ' г да (7.69) (7.69') до, о, 1 д(ан) — '+2 — '+ — — ' =О, дг г га дз (7.69") тле Г7, как и н (7,36), некоторая хзракгернзя для лзнного сечения скорость. Члены, содержащие о и ироизводные по р, в системе (7.69) отсутствуют ввиду осевой симметрии течения. Примем, как было условлено в 9 20, что У есть скорость, входящая в выражение параметра (т, если его выбрать '! !'нстема ~7.09) может бы и иронитегрнрозанз и Гез эамспы с!8 0 нз ! 0. Г!ри этом решение вескою,ко усложнншя: соответствую. шне бесконечные ряды станут двойньшн и вместо цилиндрических функций будут содержать сферические. Так как практически интересны лишь случаи малых углов раствора, то мы от юих усложнений решения отказались. 1. Приближенные уравнения движения н нх интегрирование.
1эассмотрим, подобно тому, как это было сделано в иредыдунтем параграфе, задачу о развитии течения вязкой жидкости в коническом диффузоре. Пусть фиг. 28 (стр. 170) представляет осевое сечение диффузора с углом раствора 2н. Примем, как и в предыдущем слу же, что но входном сечении диффузорз гага скорости всех жидких частиц направлены ралиально и имеют одну и ту же величину Бд. Найдем, как будет ири этом развиваться те ~ение в диффузоре, ползг:ш, что оно является осесимметричпын и устзноаиншимся. Действием массовых сил, как всегда, будем пренебрегать. Длн ресненпя задачи обратимся к уравнениям движения жидкости в сферических коордшштзх (1.48).
Произведем в этих уравнениях частичный учет инерционных членов и членов, зависящих от вязкости, аналогично тому, как это было сделаю> в начале 9 20. Кроме того, счит,ш угол я мзлым, положим 1 приближенно с120 = -„— '). В результате получим вместо (!.48) следующую систему нриближенных урзвнений движения: 5 211 Рлзнитие течения В коническом диФФУзоге 301 так, чтобы он сохранял для всех сечений лиффузора постоянное значение. В случае конического диффузора характерным рззмероы для сечения, определяемого коорлинзтой г, естественно опять принять величину га. Тогда будем иметь; и ° г Отсюда следует, что если ири ланном режиме сохранить лля Я одно н то же значение во всех сеченинх, то и для конического диффузорз (7 будет величиною, убывзющей обратно пропорционально г.
Принимая, что во входном сечении )т' имеет значение (7.37), получим; (7 !?Ргг Эго значение (7 и будет полставлено в урзвнение (7.69). Далее, как видим, уравнение (7.69') совпадает с уравнением (?.35') предыдущего параграфа и, следовательно, лает лля )г выражение, совпадающее с (7.39).
Тогда при приближениях, принятых в (7.69), будем иметь: г!?г ду! ) дг иг и уравнение (7.69) примет окончательно вид: г„(?гдгв 1 д/ ! г Гдги, ! ! дщт (7.70) г дг риг гг(,даг ' 0 да Перейдем теперь к новым безразмерным переменным, полагая с =!п —, 6, =.- —, и= — ' ", пг=- —. (7.71) Крохге тото, введем переменное Р, определяемое равенством (?А!'). Тогдз урзвнения (7,70) и (7.69") примут вид; дгц ! г!гг ?дгг дР, — + — — = !(а ( —.-' — —.) дат Ог да, г,д! ' и-;) (7.72) —. + 2 (и + 1) + — — = О. ди ! ды а,да, 302 тгчвние ВязкОЙ жидкости В дпФФузогхх [Гл. Уп 'г(!!Конем, по знало!пи с (7.43), будем иметь лля рассматриваемой задачи следуктспе граничные условия: и=О, Р=О; ю=-0; (7,73) и= — 1, ш=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
