С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 43
Текст из файла (страница 43)
П .'!4) и фн'. 4- (сч> =- пса!. з Все эги результаты наводят на мысль о том, нельзя лв предпол! жить, что формула (6.93) определяет одновременно предельный пс>раболичссьий режим в случае лзминзриого течения, если в ней считать а ближнм к нулю й предельный режим турбулентного течешш прн больших знзченпял з, если прп этом в (6.93) под и.. понпмзть среднее:>з достаточно большой промежуток времени значение ') Эта кривая взята с графика, привеленного в кн)ц'е Л. Пр а ил т >! >,-О.
Т и т ь е и с, Гидро- и аэромеханнка, ч. П, стр. 63. Таким образом, при > чень малых значениях з, что соответствует тесьма мзлым 1>з илн малым Р, предельный режим течения приближается к параг>олпческому н совпадает с нпм в точности, когда з = О. Наоборот, прп з . 1 профиль скоростей, апрелеляемый форт!улой (6.93), значительно отклоняется от пзрзболнческого и очень напомпнае! профили средних продольных скоростей, которые экспериментальные исследования дают для турбулентного режима.
Прп э!он интересно, что с увеличением а, что соответствует увеличению й>, скороств все более н более выравнвваютси, и при )1> ->-чэ формула(6 93) лает н пределе о ., = — (/з. Такой же результат, как известно, лают и экспериментальные исслелования для профиля средних продольных скоростей ири т>рбтлентноч режиме (см. графики нз фиг. 41, построенные п> опытам Нпкурадэе лля нруглой грубы). Нз фнг. 42 нюбражены профили скоростей, рассчитанные по формуле (6.93) прп некоторых знзчеипих а. Там же лля сравнения показан профиль слоростей в плоской трубе при турбулентном режиме по измерениям Доила ').
Прн сравнении соответствуюших грзфнков и следует иметь в нилу, что на фиг. 41 отложень! значения . —, а на 'г>псж ф 18) изкчсипв течения с сптчощьнт пипилпжкинык и иий йбй продольной скоросин т. е. считать ! отта и сгс тте 3аметитн что приближенные уравнения 16.001 в силу вз линейности созранят свой вид и лля названныз сроднил по времени ско- 05 и ад йг йу йа йу йЮ йг йу аЮ 1О Фиг. 41. ростей, чего нельзя сказать иро уравнения, в которьсх ннерпиоиные. члены учитываизтся полностью 1сьт,, например, 1равнения (б.ббй. Результаты, аналогичные поаучеппыьс вы~не, могут быть найдены и для предельного режима течения в круглой ийлиидр~ ческий.
трубе радиуса тс. .266 глзвишш тзчзнпя вязкой жидкости в тетядх [гл. ч! По аналогии с (6.90) воспользуемся в данном случае вместо(6.37) приблвженным уравнением до, дп, ! 'др Удго 1 до Т (7 «+ Ею д= — — +ъ~ — *+ — — »~. (6.96) а д» юдг Р д» [,дгз г дг~ 'Тогда, применяя алесь опять теорему А.
Н. Тихонова, будем искать предельное решение и ет е = и из обыкновен- Ц ного дифференциального .(5 уравнения: ди 1 др (гю — = — — + дг ю д» Введя обозначении гз —— —, (6.96) — )7 = е, )гю (ую найден, интегрируя предыдущее уравнение: ди )7 — = —,х игз р(7юаа др С,еиь — 1 — зг, у л'»з г, (О 6 Уловлетворяя здесь усю(и ловию — =О при гз —— О дг, О а~ Фнг.
42. и=-Π— - — [Е(аг,— Е! а+а(! — г,) — (пгз), (6.97) (7 Ир Р ю'з д»з жле » Г е» Е! (.т) = 1 — й». » (6.97') убедимся, что лолжио быть Ст= 1. Тогда, пптегрирун вторично и чзолагая и = О при г, = 1, получим: ф 18) изкчиник ткчвнпя с помощью пэивлнжкнных кщний 267 прнчбм при х ) 0 булет г) ла Е! х = С+ )п х -(- ~ '" ь'за Л! а=! (С= 0,5772... — постоянная Эйлера). Уравнение постоянства расхода дает в данном случае: 1 2 ~ нггПг, = ()з. з Заменяя здесь и его знзчением нз (6.97) и интегрируя, найдем: (7 Лр — эз г()эзэ Лзг л (э — 1)+ 1 — — зт — — эа 3 Подставляя, наконец, это выражение в (6.971, найдйм окончательно следующее значение предельной скорости течения в круглой трубе: =и= У~ аз [Е(з — Е1 зг, + 1п г~ — э(1 — гД (6 93) 1 1+Из(т — 1) — — за — —, аз 2 3 Формула (6.98) пает для круглой трубы результаты, аналогичные тем, которые в случае плоской трубы следуют из (6.93).
В частности, при з=О из (6.98) находим: от„— 2и, (! г-",), т, е. получаем, кзк и следовало ощипать, параболический режим. Большие значения з лают опять профили скоростей, напоминающие распределение срелних продольньп скоростей при турбулентном течении, всб более спрямляющиеся с увеличением з. При э= оэ формула (6.98) дабт о. =()з. В заключение заметим, что формулы (6.93) и (6.93) не дают пока возможности построить предельный профиль скоростей в плоской нлн круглой трубе для заданного значения й, так как мы не можем указать, чему при этом следует считать равной величину (тз.
Мы полагаем, что величина (та будет по всей вероятности как-то зависеть от возмущений, которые имеет поток при входе в трубу, и от значений самого параметра т(. Поэтому полученные выше результаты могут рассматриваться как лающие только некоторую качественную картнйу предельных режимов течения. т) Таблицы см. в цит. выше кни~е Е. Янке и Ф. Энде, стр.
102. ГЛАВА У11. ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ДИФФУЗОРАХ. Ь 19. Установившееся течение вязкой жидкости в плоском и коническом диффузорах. 1. Радиальное течение в плоском диффузоре (конфузоре). Изучение течею>я ьязкой жидкости в диффузорах п).еде г;шляет собо>о зпдачу, пиеющую большое значение как для пракгики, так и для тео, ' >> рии движения вязкой кпдкастп вообще. Случай чисто радиального течения в плоском диффузоре плп конфузоре, рассмотренный л Гамелем '), особенно ин>ересен а г в теоретическом отношении как один пз немногих примеров течений, для которых удается получить точное ре>пение соответствующих уравнений двпя<ения вязкой жидкости. Фиг.
43. Рассыотрпм установившееся плоско-параллельное течещю вязкой жпдкосгп между двумя нео>'раиичеиньмш илоскостямп, наклоненными друг к дру~у под углом ря >фиг. 43). Прп этом будем считать, что течение является чисто радиальным, а в точке О находится источник )диффузор) или сток >>конфузор); массовыми силами, как обычно, будем пренебрегать. Для изучения течения жидкости обратимся к уравнениям движения в цилиндрических координатах (1,47), полагая в них ') С>. Н а гп е1. )аигезЬег.
ф Оеа1ьс1>. Ма>П. Уег., т. 25, 1916, стр. 34 — 60. 19] Устлнонизшееся течение В диФФУзоглх 269 соглзсно принятым условиям о, = о(г,з), и, = ть = 0 и 7-'= О. Тогда системз (1,47) примет вид: ! др 7дзн ! дго ! до ФД вЂ” — --+ ' —:+-з — + — — — 2! ! ° й дг (дгз г:"дте г дг г!)' ! (701) ! др ! 2ндо д(ге) — г дт+ге д,— дг де дг В дзльнейшем будем рзссмзтрпвать поток или только рзсходящийся во всей облзсти течения, т. е. такой, что нсюду о) О, илп только сходящийся, т. е. тзкой, что всюду о< О. В обоих случаях течение будет симметрично относительно плоскости р = О. Введем тогда в рзссмотренпе величину Я =.
г! ] т дл ! = — г я! ом, (, Р (7.02) предстзвляюи!ую собою численное знзченпе полцринного рзсходз жидкости через любое сечение диффузорз, причем ввиду неразрывности течения 1,! = сопя!, Кроме тото, примем в качестве пзрзметрз Рейноль.зсз длн рзссмзтрпвземото течения величину г" ] еср] г М (7.03) о= —, И (т! г (7.04) где постоянный множитель !д введен с тем, чтобы сделать 7 величиною безразмерной. Подстзвляя зто знзчение о во взорое из урзннений (7.01) и интегрируя по Ф, нзй.чеьс р = —, у ( й) + (л) Ф ( г), гид (7.05) где Ф (г) — некоторзя, подлежзитзя определению функция от г.
Перейдем теперь к ивгетрироззнщо системы (7.01). Последнее из этих урз вненпй укззынзет, <то произведение го является! функцией тольло угла о и что, следовательно; течения вязкой жидкости в диввязогьх [гл. чи 270 Наконец, заменяя в первом из уравнений (7.01) о н р выражениями (7.04) и (7.05), будем пмегги У" (р)+ 41(р)+ ЙР(р) = — „Ф'(г), где гс имеет значение (7.03). Так как левая часть полученного равенства зависит только от м, а правая только от г, то каждая из этих частей должна быть постоянной.
Следовательно, будет: ~с (7.06) /" (р) + 47'Ор) + Яу'а (м) + С = О. (7.06') Определяя из (7.06) значение Ф(г) и подставляя его в (?.05), найдем для распределения давлений выражение р= — „~ У(р)+---~ +сопэС (7.07) Интегрируя уравнение (7,06') один раз по у, получим: у-а=-." ;Й(7(~), (7.08) где И()) = уа — — ~"" — 3 — 1+ И, (7.08') при ~ем й — постоянная интегрирования. Уравнение (7.08) интегрируется, как легко видеть, в эллиптических функциях и определяет зависимость 7 от р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
