С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Кибел ь, Н. В. Розе, Теоретическая гидромеханнка, ч. П, 1948, стр. 37!. Рааеиство (7.21) подтверждает второе допущение теории пограничного слоя о возможности считать давление в пограничном слое равным лавлению во внешнем потенциальном потоке'. За!гетин в заклгочение, что во всех случаях, когда мы полагали значечие Й большйгц иолразумезалось, что при этом Й <. Й,р, т. е, что течение остается лаиииарным. Привелйнное выше решение было получено Гаггелем как частный случай более общей задачи, где рассиатриванотся течения, линиями тока которых являются логарифмические спирали г), Изложенные результаты представляют в большей степени интерес для теории движения вязкой жидкости. Изнестная их ограниченность с ирактической точки зрения состоит не столько в том, что они относятся к ламииариому течению, сколько в том, что в них не учитывается злинние входного сечения.
278 течение ВязкОЙ жидкости В дпФФузогхх (гл. нп 2. Течение в коническом днффузоре (конфузоре). Решение залачи об установившемся течении вязкой жплкости в круглом конусе было дано проф. Н. А. Слезкиным '). Рассмотрин, следуя Н. А. Слезкину, установпвп!ееся осесимметричное течение вязкой жидкости в крутлом конусе, полагая, что в вершине конуса расположен источник (диффузор) или сток (конфузор). Для изучения течения воспользуемся сферическими координатаяп!, начало которых будем счита гь совмешенным с вершиной конуса. Массовыми силами булеч пренебрегать. Тогла движение булет описываться уравнениями (1.48), в которых только валлу симметрии и стаиионарности течения будут отсутствонзть все члены, содержащие т!, и ироизволные по р и по 1; второе из уравнений (1.48) при этом выпадает совсем.
Введем функцию тока ф(г,б), полагая 1 д) (7. 22) га!насда' О гжиОдг' Легко проверить, что тем самым мь! удовлетворили уравиеншо неразрь!виостн. Переходя теперь в первом и третьем из уравнений (1,48) к ф и исключая из этих ураннеиий пу"гем перекрестного дифференцирования и почленного выч!панин давление 7!, получим для определения ф уравнение ('дй дП~ ддд)ЗН!') 1 2 7 д) я!Вбд!') гамп О!, дО дг дг сМ 7+ газ!В!0!, дг !.
дб ! — -( — — — — — )+,- „соз() — ' — — — ' ~7д5=~~!Тдф!, (7. 23) гле оператор Ая' имеет значение: Если здесь ввести ново' переменное т= соя !1, (7.24) то у равнение (7. 23) примет вид: — „~ л — д — ' — д- -«--)+ 2 (~ — тад— '+ — д — "~)сят!1 =Юг'ф, (7.25) тле О= да дгз ' гя дгз ' !) Н. А, Слезкин, Движение вязкой жидностя в конусе в между двумя конусами, Матем!. сборник, т. 42,№1, 1935,стр. 43 — О4. 9 19) устАнозизшееся течение В диФФузоРАх 279 !!ри этом из (?.22) будел! пметтс 1д ! дй гз д ' и" „:-,:д ' (7'25) Обозначим угол раствора конуса 2а и положим сова=!м Тогда, считая, что жидкость прилипает к стенкам и что секундный расхол Я через любое поперечное сечение конуса постоянен, придйы к следующим граничньш условияы: при т=те о,=О, о„=О; прп г= оо о,=О, оз =-О; 2п (ф (г, 1 ) — ф (г, та)1=(;1= сопя!. Таким образом, задача сводится к нзхожленпю решения уравнения (7.25), которое уловлетворяет условиям (7.27) п дзйт для о, и ом определяемых формулами (7,26), значения, регулярные во всей облзстп те(т=='1, г,(г~ оо, где гз) О.
Будем искать решение в виде бесконечного ряда: % )у',(г! (7.28) А=1 располозгенного по отрицательным степеням г, Подставляя это значение ф в (7.25) н приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях г, получим следующую бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка, которые служат для определения у„: > (й+1) (й+2)+(1 — 'гз)„—,1 > й(й — 1)уз+(1 — тх) =- — Х (т), (7,29) где З вЂ” 1 Хз (т) = ~ > п (п — 1) (п+ З)7„/,'„— л (л — 1) (ш — 1)7",,у'„+ + (и+ 3) (1 — тз)?'„?"„— (тп — 1) (1 — тз)7'„"'? 2л(л — !)(щ — !)т 1 (7.29') (и+л=й). 2ЗО ггченпв вязкой жидкости В диФФузогхх (гл.
чи Заметим, что Х (т) выражается через функции ,г» г (7= 1, 2,..., /с — 1), определенные в результате решения предыдущих (г — 1 уравнений системы; таким образом, Л'»(т) представляет собою известную функцию ог т. То~да решение (7.29) будет слагаться'из общего решении уравнения без правой части и частного решения неоднородного уравнения. Линейно независимыми решениями урзвнения (7.29) без правов части явлшотся функции; г» 7»»г Н» Н»+а которые связаны с обы шымп функшшмп Лежандра первого п второго рода зависимостями: И)» ЫИ» †.
=-Р, , (т), — = Я , (т), Так как производные от Н» и Н , по т, которые войдут в выражение т„ обращаются при т=- 1 в бесконечность, а скорость течения на оси должнз быть конечной, то Н и Н „а не могут войти в об,цее решение. Таким обрззо»н обпгее решение урзвнения (7.29) будет иметь вид: /» (т) = (»7» (т) + В»/»„х (т) + У» (т), (7.30) где Г»(т) — частное ре~иение уравнения с правой частью. Для определения постоянных интегрирования А и В» обратимся к условиям (7.27). Заметим, что второе из них уже удоалегв~рево в силу вида решения (7.28). Лалее, из (7.26) и (7.28) имеем: ы СО с,.=з г;=" Следовательно, первое из условий (7.27) примет впд. У»( ь)=-О((»=2 3,...), /д(т,)=0()г= — 1, 2,...). (7.32) Наконец, так как в сапу симметрии е»=-0 прп т=-1, то, следовательно, должно быть г»(1) = 0 (й =- 2, 3,...).
Поэтому последнее из условий (7.27) примет вид: (7.32') У (1) Л (то)=ах. 8 18) хстхнонпашхгся течении в дифехзонхх 28! ,,й .„)„ ,л — О л (л -1-1) (л 4-2) Р й, ы, .1 ! г 7~„., нй г) 1 1 (7.33) где Вл(а, т) =7а(а) Ц(т) — Н (а) I (т). При этом как само решение, так и его производная в рассматриваемой области регулярны и обращшотся в н> ль при т = 1.
Таким образом, разложение (7.28) вместе с (7,30) и (7.33) и дает решение поставленной задачи. Если ограничптьсн в (7.28) первыми двумя членами, то по подсчетам Н. А. Слезкина будем иметгн ф= +-С(1 — т)(тх+т+1 — Зт„')+ + = (1 — та) (т — т,)а ( —,, — ' +.— ~, ЗС а С Ь1 х 81 — '. 1Зт — — ) тх-1-(5та) — 8) т-' — От — — ' о и (7.34) где С=, ч) 2Г(1 — -.„)а(2т„-1- 1) ' (7.34') Прп этом в (7.34) верхний знак соответстнует расходящемуся потоку, а нижний — схолящемуся. Распределение давлений в текущей жидкости может быть найдено непосредс|ненно из уравнений движения (1.48).
Если искать В(г, т) в виде ряда: Условие (7.32') вместе с условием 71 (т,) = 0 служит для определения Л, и Вм а остальные условия (7.32) определя~от Аь иВ. с)то касается частного решения 1' (т), то оно, как показано в цитированной выше работе Н. А. Слезкина, имеет вил 282 тячдипя аязкой жидкости в диаскзоглх )гл. чи и ограничиться первым членом разложения, то будет; !1 11 Р— Ра — 2рС'(! — Зта) ( а а ) где Р, — давление в сечении г= г„а С имеет значение (7.34'). Исследование поведения линий тока, определяемых решением (7.43), показывает, что в сходнщемся потоке линии тока по мере удаления от входного сечения прижимаются к оси конуса и обращены к ней своею выпуклостью.
В расходящемся потоке линии тока с удалением от входного сечения отходят от стенок, приближаясь к оси. Из аида полученного решения следует, что оно содержит в качестве главного 'члена член, зависящий от вязкости, и .издается пригодным для течений сильно вязкой жидкости. По этой причине полученные результаты нельзя использовачь для определения условий и места отрыва потока от стенок в расходящемся течении. В саном деде. если здесь формально воспользоваться услозием 7с)к,'( отрыва ( — ') =О, то найдйм нз (7Л4) для коордкнагы местаот.(,бз )о= рыва значение О (1+ о)" Из этого результата следует, что с увеличением расхода (;), а следовательно, н иараиегра )Е, точка отрыва удаляется от входного сечения, з то время как в действительности будет ииеть место обратное явление.
Приведенное выше решение представляет собою очень интересный и, насколько нам известно, единственный пример интегрирования полных уравнений движения вязкой жидкости методом последовательных приближений, содержащий дочазательствз сходпмости проиесса и регулярности всех приближений. Указанные доказательства можно найти непосредственно з работе Н. А. СлЕзкина. Там ясе дано решение задачи о течении вязкой жидкости между двумя соосными конусами. В ааключение отметим, что изложенное решение, так же как н рассмотренное в п. 1 решение задачи о течении в плоском диффузоре, не позволяет учесть злиянис входного сечения, так кзк фоомулы (7.34) лают для сечения г = г вполне определенный профиль скоростей. 20) Развитие течения в плоском диееузогз й 20.
Развитие течения вязкой жидкости в пло=ком диффузоре. В зада гах, рзссьютренных в 2 19, изучалпсь течения, обусловленные наличием источника в вершине дпффузора. В реальных условиях жидкость поступает в диффузор через какое-то входное сечение, где при установившемся режиме имеет место вполне определенный начальныв профиль скоростей. Если при этом вход в диффузор будет достаточно плавным, то скорость течения во всех точках входного сечения 'почгп постоянна. Поэтому с практической точки зрения болыпой интерес будет представлять изучение развич ия течения жидкости в диффузоре при заданном профиле скоростей в начальном его сечеюш.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
