С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 53
Текст из файла (страница 53)
При этом, кзк легко убедиться простым дифференцировзнием под знаком интегрзлз, будет: д./~ д'» = — —, д» Ползгзя тоглз в (8.29) й=-2п и используя затем предыдущие рзвенствз, нзйдем: )» ໠— 1 (»» — 1) ' (໠— 1): Ззменим теперь в равенстве (8.28) й его вырзжением (8.27). Тогдз, принимзя во внимание обознзчения (8.29'), получим: Полстзвляя сюда знзчен!ш интегрллов пз (8.29"), будем окончательно иметь: "Р» (»» — 1) (8.30) '-е -' Обознзч1!»! угол, при котороз! й=/г„через р!.
Тогда из (8.27) и (8.30) нзйлел!, что :» соз м, =,—,„'— )»»+ ! (8. 30') Равенство (8.30') показывает, что точки экстремумз дзвления нзходятсн в той области, где соз й ) О, т. е. где шип рзсположен ближе к подшипнику. 32З течениг вязкой жидкости в смазочном слОе (Гл. ъ ш Перейдрлг теперь к определению закона изменения давления и напряжения снл трения на поверхности шипа. Заменяя в (8.25) Ь, )гг и е их значениями из (8.27), (8.30) н (8,26), получим: др бийгЦаг ) 2а(аг — 1) 1 8. 31) аг ( 2аг -(- ! (а — соа гг)г (а — соа гер) ' ('" Введен ооозначения аа(' )= д ,~ (а — соа т)г а угу) = ~ — ".— ,) (а — сре е)г а указанные интегралы можно вычислитьч дифференцируя по параметру и обе части равенства (8.29).
Тогда будем имат!и а'г (аг) = — —, .У (р) = — — — — ' дд! ~(!г) ! ддг (я) г 2 дг пли, после вычисления производных: ! Яапа /а(Р) =- —, агс!)гчгг -1- — „— (аг !)': аг — ! а — с~ . т' дгаг 3 а а!и т /г (ъ) =:, агс18 ф + — -„— „— — + (аг — 1) г 2 (аг — 1)г а — саг 1 зги т 2(сп — !!!» — соая)г ' где через ф обозначен аргумент арктангенса, входящий в (8.29).
Беря теперь от обеих частей равенства (8.31) определенные интегралы з пределах от О догу и используя полученные значения lг и,/„ найдем следующий закон распределения давления в смазочном слое; 6!Ж)Ц аг З1~ т а ) (~) ===да-,— ...—,, — — — — (1+,. (8.32) аг Еаг1)-1 а — сна та а — сох Еу ' Формула (8.32) дает значение р с точностью до постоянной ра, численно равной величине давления в сечении м = О. Из (8.32) видно, так как а' > 1, что на нижней половине шипа, где О =-. р ~ тг р))а„а на верхней половине наоборот, Рс. Ра.
Таким обРазом, здесь действительно имеет место избыточное давление, поддерживаю:нее пи!и. 2 22] хстлновившсзся плоско-илглллельноз тсчзния 822, Наконец, для нзпряжсши силы зрения нз поверхности шииз, как это следует из (8.24), будем име~ь: 'й!и 1 ! 1Л и, ~ Л!, )х „,.== 2те, Д,! Заменяя здесь й и †' пх значениями из (8.27) и (8.3!), получим окончательно: (8.33) ! + 2за (я — сов р)'-) ' Найдем теперь результирующук> Р всех спл давления и трения, действующих на шип. Заметим предварительно, по для любых двух точек на поверхности шипа, расположенных симметри шо относительно линии центров 0,0, бу; ег, как это в| дн ~ из (8.32) и (8,33). Р (+) Ре = (Р (2и — м) Ре) то (р) = то (2и — р), | Отсюда следует, что суммы проекций всех сил трения н давления на линию центров 0,0з будут равны нулю (фиг.
53!. Такин образ: и, оказываешься, что результирующая Р всех сил, действующих на шип, направлена перпендикулярно линии арпа центров 0,0з. Кроме того, так Фиг. 53. как велпчпнз 8, так же, как и Ь, считается очень малой по сравнению с Йо то при вы- ! числении Р можно силами трения, имеющими порядок —, по. ! сравнению с ашааш давления, порядок которых равен —..„, пренебречь. Тогда будем иметгн Р = И(т, ~ (Р— Рз) ейп р с(р = — НЙ, ! (Р— р,) а (соз е), где тт — длина шипа. 330 течение Вязкой жидкости В смлзОчном слОе (гл. Еш Отсюдз, интегрируя по чзстял! и принпмзя во внимание, что р (21!) =Р(0), найдем'. Р=Н(11) - соьъг(з= — НЛ! ~ — (а — созе)г(з. ,) йз <гй Заменяя здесь -- его знзчением (8.31) и используя фор.мулы (8.29') и (8.29"), получим окончзт!льно: бьУУ,Р, ' (8.
34) "Ей +2 з)1' 'з — ! тле 5= 2иЬ!Н вЂ” площадь поверхности шшю, Очевилно, что при устзновившемся движении нагрузки, действую!цзя нз шип, должна быть рзвнз величине Р, определяемой формулой (8.34). Кроче того, из полученного результата следует, что шип будет рзсползгаться а подшипнике тзк, что линия центров 010з будет перпендикулярна к нзпрзвлению дейс!ву!ошей нз !иип нагрузки, Понием в дальнейшем, что величины р, 5, Ц, )с!! и 8:.=!1)з — Й1, а тзкже нагрузке Р нзм заданы. Тогдз значение параметра а булет определяться из равенствз (8.34) и зздзча будет !.Лким образом решена до конца.
Определим, нзконец, момент сил трения, действун!щих на шип. 1(Ля этого умном<из! обе чисти рзвенстаз (8.33) нз НР!г(ж = Н(стгз и проинтегрируем по )э в пределзх от 0 ло 2п. В резульгзте, принимая во внимание формулы (8.29') и (8.29"), получим для моментз сил трения относительно оси .шипа значение д! Р(4 .р~~'Ь -""(2 ~'з) (8 38) З (! -)- Зэз) 4' !1 — 1 При этом вели чи нз Г имеет злесь тот гке смысл, что и в формулах (8.09) и (8.10). Фор11улз (8,35) нместе с (8,34) позволяет определить момент сил трения, действующих 1ю шпи, если пзрзметры подшнпникз и значения Р и Ц задзны. Заметим, что выражение (8.35) отличается от формулы (8.10) проф.
Н. П. Петрова лишь наличием числового з 22) УстАнОВПВшеесЯ плоско-ИАРАллельное течение ЗЗ! коэффициента, зависящего от величины параметра а и учитывающего эксцентричность шипа в подшипнике, Для дальнейшего будет удобно ввести в рассмотрение безразмерный парамеар: а Рза ЗРЗигР, ' (8.36) Из формулы (8,34) видно, что параметры ц и р связаны зависимостью: аа (8,36') (1+ага) 1' '-' — 1 „г За т!г (8. 37) Величггна ! окззывается функцией Р и 6го Входящих сюда через а. Приравнивая производную от у ио а нулю, легко которая для наглядности показана иа фиг.
54. Кзк нидно из (8.36) н графика нз фпг. 54, при очень малой нагрузке Р или, наоборот, при арезьы юйно большой скорости 6), величина !8 близка к нулго, а значение а близко к бесконеч- Е! ности. Ио прн а оо коэффициент в формуле (8.35), зависящий от а, стзновится равным емннце, и эта формулз полностью перехо- 7 дит в формулу (8.10). Одновременно, кзк видно из (8.26), при а оо эксцентриситет Р стремится 5 к нулнь Таким образом, мы убеж- з даемся, что рассмотренный в и. 1 случаи проф. И.
П. Петрова действительно предстазлнет собою аг предельный случай, соответстпующий пли нулевой нагрузке на цши, нли неограниченно большой скоро. Фнг. с4. стп вршцения шипа. Рассаютрим, какое значение дает пол)чинное р~шение для коэффициента трения /; определяемого формулой (8.01). Из ('8.35) и (8,34), беря отногиенис Р к Р, получим. 332 течение вязкой жидкости в смлзочиом слов (гл. ьии нейдем, что,т имеет минпнуьь прл а=)'2. При этом 2У2 ь 3 К ' 'ГТ' Из (8.34) сл.
уст, что в данном случае = 2,4. в3С/ьтсь (1+ 2ьь)!Гьь — ! Полученнзя формуле устзнзвливзет для данной нзгрузкп Р то значение скорости Ц, при которой трение в подшипнике будет нзименьшим. Выше было отмечено, что формула проф. Н, П, Петрова соответствует предельному случзю очень быстро врзщзющегося или слзбо нагруженного шипи. Рзссььотрьььь другой предельный случай, когдз и =..= 1. Из (8.38') и (8.38) видно, что при этом р=сс, з следовательно, или (уь = О или Р= оо. С другой стороны, формула (8.37) дает в этоьь случае ььлн,у постоянное знзчение: уь =,~ Этог результ;и ознзчзет, что в случзе о'ьень малых скььрогтей пли очень больших наги)зон па шпп ') ььзтьткеннпн теория дает для силы трения вырзжение, совпздающее с законом сухого трения (8.01).
Остзновпися в ззключение нз вопросе об облзстп применимости всех полученных выше результатов, который бы ь рзс- смотрен акад. Л, С. Лейбензоном'). Как видно пз схемы, покзззнной на фиг. 52, в облзсти, где 2п)м >и (верхння половина смззочного слоя), течение ькидкости происходит в распшряющейся полости, анзлогичиой плоскому диффузору. Следоазтельно, можно ожидзть, что где-то в этой области может произойти отрыв смазочного слоя от подшпиникз и возникнуть обратное течение жидкости. /де„) Условием тзкого отрыва будет ~ —" ) =О.
Повторяя здесь (,дт,г ь, 'ь ьузы употребляем всюду вырзженис ьбольшие, или кмалые» скорости (нлн кмзлыел «большие» нзгрузкн) в том смысле, что ири зтиь знзченннх (7 илн Р отзлеченныи параметр т очень ььал нлн очень велин.
ь] См. добзнление 3 в выше инт. сборнике ь Гидродинамнческая теория смазки,ь. 9 22) хстлновившевся плосьо-плглллальнов твчвнив 333 расчет, указанный в конце п. 2, придем к выводу, что и в данном случае отрыв наступит в том месте, где толщина слоя смазки равна величине !»', определяемой формулой (8.22). Переходя в (8.22) от л к углу р с помощью равенства (8.27), найдем, что угол р*, определяк»щий место отрыва, дается )равнением 3 сов '4»:= —, соя ю» — —,— Заме»ляя здесь соз й» его значением (8,30'), получим окончательно: »а — 4» (8.38) ! т 2»» ' Формула (8.38) дает при данном а два значения р", определи»оп!их область, где имеет место отрыв и возврзтное течение смазки.
В этой области вследствие прптекания воздуха извне смазочный слой разорвется и нарушится основное предположение о налп пш полной смазки. Таким образом, все выводы предыдущей теории можно считать справедливымн лишь для тех значений а, при которых отрыв вообще невозможен. Так как соа»уз не может быть болыие единицы, то условие безотрывности теченив будет аа — 4а)1+2а» пли дв — 2аа — 4а — 1) О. Мн»»сочлен, стоящий слева, имеет только один действительный корень па, ле.кащий, как легко видеть, л»ежду числа»ш 3 и 4 и равный приблизительно 3,303. Отсн»да находим окончательно, что все пространство между пишом и подшипником будет полностью зшюлнено смазкой прн условии а) 3,303.
(8.39) Это и будет установленное акад. Л. С. Лейбензоном условие, укззывзющее границы применимости приближенной гидродинамической теории смазки. Для параметра р условие (8.39) дает: , с 0,135. (8.39') 334 твчвнпв вязкой жидкости в смлзочно<| слов Нз фиг. 34 часть кривой, соответствующзн тем зн ченпям а п р, для которых излокеннзя теория по крптеоию акад. Л. С. Лейбеизонз неприменимо, покззз|ш пунктиром.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
