С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Заметны, по здесь величины ш и т) отличаются по своему смыслу от тех, которые были введены в и. 3 6 8, так кзк длина нижней пластины не равна а. а ло (8. 76) Перейдйм к определению силы трения. Для напряжения силы трения, используя (8.69), найде!! значение: Т,=НЯ =( ~ ! и — 3 —,',и~). .Подставляя шола 7 пз (8.73), будем тять: /4 Ь.
г!от ! Ь! Ла~' т=р ~ — — 3 — — ~и+3 — ' — „и. а! а!!) З! 11! й 23) нвкотогые задачи о нехстлновивц!емся течении 347 Дифференциальное уравнение лвиження пластины при прпнятых обозначениях будет: Ни а 1 — = — — — Р, (8.79) Ж гн гни Заменим здесь величину действующей на единицу ши- рины пластины силы трения Р ее значением из (8.77); одно- временно перейдем к переменному 8 п введем параметр и, определяемый равенством (8.53). Тогда получим: лоч г л — = — — — али — (р — а) ли, на «т (8.80) где временно обозначено а = — 1и (1+и) — —,— —, 8= — !п (1+ й). (8.80') 2'4-а' 1 о Дифференцируя обе части уравнения (8.80) по й и принимая во внимание выражение (8.74), получим: лги да — „= — ~8л — — 'и, (1 — а) ли, но Исключая теперь из этого равенства и нз (8.80') вели.
л чину и, придем окончательно к уравнению „-от+((г,+8гг) —,+(г,али=(г, —, (8.81) где в данном случае 'ь = )~ог — (гоал. (8.82') аналопшному (8.55). Легко видеть, принимая во внимание (8.53), что частным ало ело решением уравнения (8.81) будет и = ггноа оя Кроме того, пз (8.80) п (8.74) следует, что начальные условия для и сохраняют и в данном случае вид (8,57). Тогда решение уравнения (8.81), удовлетворяю~нее названным начальным условиям, будет ио аналогии с (8.58) иметь вид: '7"о 11 1+ а — он — (ь — юо х — ь+™о -оь+г) 41 (8 82) 'и 343 течение ВязкОЙ жидкости В смхзочном слое (Гл. Еи! Формула (8.82) определяет скорость движения нижней пластины.
Тем самым поставленная задача оказываетсн решенной до конца. Остановимся на анализе некоторых из полученных результатов. Прежде всего из (8.82) следуе~, что при ! Оо скорость нижней пластины стремится к предельному значению У, равному: (8.83) Далее, подставляя значение и из (8.82) в (8.74) и вычисляя интеграл, найдем: (Ь вЂ” 1)(1 +Ь вЂ” ел) ! — (! !) ! — е ь,ь[ г)Π— ь+ь,) и=и( [е — е +( + )( + ") [е — ь! е !Ее!!!]) (8 84) 21 (1-)- ь — ь!) Из (8.84) или непосредственно из (8.74) видно, что всегда л и'=-»О и что при ( оо и — О. Отсюда прежде всего следует, что формулы (8.76) и (8.77) в пределе переходят в формулы (8.16) и (8,20), определяющие силы давления и трения при установившемся движении. Кроме того, так л как и ) О, сравнение тех же формул приводит к следующим выводам: 1) полная сила трения, действующая на нижнюю пластину в момент, когда она имеет скорость и, больше на величину ьяа л (г -)- д) ьо чем та сила трения, которая действовала бы на пластину, если бы она, начиная с данного момента, совершала установившееся движение с той же скоростью и; 2) полнан сила давления, действующая на пластины в момент, когда нижняя пластина имеет данную скорость а, меньше на величину г!е „л ь — -:[ + .
'+ 1 $23) некОтОРЫЕ ЗАДАЧИ О НеУСТАНОВНВШЕМСЯ течкнии 349 чеч та сила, которая лействовала бы, если бы нижняя пластина совершала, начиная с данного момента, установцвшееся движение с той же скоростью и. В пояснение к последнему выводу заметим, что величина, стоящая в выражении ~АР в квадратной скобке, прц )з ) О всегда положительна. Отметим, наконец, егца олно интересное обстоятельство. Пз предыдуших рзссуждений следует, что по истечении достаточно большш о промежутяз времени дзвление з слое между пластинами станет больше внешнего и таким образом возиикне сила, поддержизшошая верхнкио пластину.
Так как при Г = О р=р„, то интересно определить, происходит ли указанный рост давления непосредственно с момента 1 =О. Рассмотрим для этого какой-нибудь момент времени очень близкий к Г = О. Условимся все величины, относягциеся к этому моменту, также снзбжзть индексом з. При этом будем считать 1, столь мзлым, что можно приближеяно принять: а-(а+хм 1 (Ь+1)В (8.85) и т. д. Заменяя такими рзэложениями зсе показательные функции, найдем из (8.82) и (8.84), что и, = и, = ()ап В,. Подставляя этя величины з (8.75), получим; биа( Г Ьз Й Из Р. Рз = — — 1п — + — — 11 апа, (1' Ьз д или, после замены Л и Ьх их значениами из (8.65) и (8.72'), р, — рз — — —, 1п ( ! + д — ~ Ф ( Ь вЂ” — Ф (д) ала,.
(886) ддз(а~~(а) з Ввеленнзя в (886) функция Ф(8] илгеет вил: (1+с)!и(!+П' Легко убедиться, что прн изменении . "от О до аа фуинция Ф (;, монотонно убыззет от 1 до О. Так как — . 1, то, следовательно, а кт, Ф ( д — ) > Ф(л) и выражение, стоящее в(8.86) в квадратной скобке, а ) положительно. Таким образом, полученное решение дает для начального пе- риодз, очень близкого к момевту 1 = О, веляшп|у давления в слое между плзстнязми меньшую, чем внешнее давление рз. 350 течение Вязкой жидкости В смА30чнОм слОе [Гл. чн1 Выше отмечалось, что рассмотренное приближенное решение должно быть тем более точным, чем меньше параметр гг. В нашем случае, как видно из (8,53) и (8,78), рл~ин М д ц (! е — ало) (8.88) где предельная скорость Ц опрелеляется формулоИ (8.83).
Далее пз (3.84) нли непосредственно иэ (8.7Ф) найдем с той же степенью точности: л д (е- ло е — ь,о) Ь1 (8. 89) ° а Подставляя эти значения и и и в (3.76) п (8.77), найдем непосредственно закон изменения Р и Р со временем. Рассмотрим в качестве конкретно~о примера случаИ, когда гг = 1. При установившемся течении это соответствует, как было показано в п. 2 З 22, наибольшему наклону пластины, при котором возможно безотрывное течение в смазочном слое.
Тогда из (8.72') и (8.80'), полагая гг = 1, найдем: (11 = 6,493, а = 0,773. (8.90) Принимая далее в (8.76) и (8.77) й=! и используя равенства (8.38) и (8.89), получим: Р, = 0,159~ —,, "о Рг -- 0,773.'— ло !1 — (1+0,25гг) е ""'+0,25ле гчо(, ( (8.91) 11 — (1 — 0,31л) е "ло — 0 31гге-ь;о) Таким образом, л равно отношению массы смазки, заключенной в слое высотою /г„к массе нижней пластины и, следовзтельно, л(< 1. Р(айдем тогда приближенные выражения для д, Р и Р, пренебрегая в них членами порядка л' и выше.
Из (8.82'), разлагая подкоренное выражение в ряд, будем иметь: 21= 51+(р — 2а)л. Тогда в (8.82) последним слагаемым по сравнению с предыдущими можно пренебречь и получить окончательно; $23) накотогыв злдлчи о нвтстлновпвшвмся течении 831. Время разгона в формуле (8.48), обозначение (8.53) миной формулой, в том смысле, который эта величина имеет будет и здесь, если принять во внимание для 0, прибоя!кенно определяться знало- а именно: !!о (! -4,6 —, тяп ' (8.93). При очень малых значениях !1ч величина 1! будет также достаточно малой.
Полученные результаты дают известное представление о характере изменения сил давленая и трения в смазочном. слое в период пуска. Последние члены в полученных формулах должны сохраняться только для достаточно палых значений К Все слеланные ранее общие выводы о характере изменения Р и Р' сохраняются и для приближенных выражений (8.91), Для моментов времени, не очень близких к начальному, слагаемые, содержа!цие множителямп л, когут быть в (8.91). отброшены, и эти формулы примут впд Р, — 0,159 — ", (1 — е '"'), Р! 0,773'— 11 — е '"!). (8.92) до !'п ГЛАВА 1Х. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛООБМЕНЕ ПРИ ДВИЖЕНИИ КАПЕЛЬНОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ.
й 24. Теплообмен при движении жидкости в круглой трубе. 1. Предварительные замечания. Настоящая глава посввцена рассмотрению течений вязкой жидкости, при изучении которых температура жидких частиц во всех точках потока не может считаться постоянной. Такого рода задачи возникают в тех случаях, когда течение происходит вблизи твердых стенок, темиерзтура которых заметно отличается от температу ры жидкости, а также тогда, когда производимые расчеты требуют учета изменения темпе.
ратуры жидкости вследствие рзссеяния знергии, При решении указанных задач представляет интерес исследование явления теплообмена между жидкосп '.о и обтекаемой стенкой, а также определение изменений в распределении температур, скоростей и давлений, которые вследствие тепло- обмена произойдут в самой движущейся жидкости. Как известно, процесс передачи тепла может происходить: 1) путем переноса тепла текущей жидкостью (конвекция), 2) посредством теплопроводностп и, наконец, 3) посредством излучения, Коивекция может быть в свою очередь подразделена на свободную и вынужденную.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
