С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 58
Текст из файла (страница 58)
3. Теплообмен прн параболическом режиме течения. Рассмотрим решение предыдущей эддзчи с учетом изменения скорости течения и температуры не только вдоль оси трубы, но и в радиальном направлении. При этом основным упрощзющим допущением будет допущение о том, что все характеристики жидкости, в том числе и коэффициент вязкости, остаются для всех точек трубы постоянными. Заметим сразу, что это допущение можно сшызть в какой-либо мере приемлемым только при очень малых темперзтурных градиентах. При сделанном допущении (р = сопя() системз уравнений движения жидкости (1.45) принимзет вид (1.46) и иожет интегрироваться независимо от уравнения иритокз тепла.
Этим обстоятельством весь процесс решения значительно упрощзется, тзк кзк для определения закона течения можно сразу исиольэовзгь результаты, полученные ранее в Э 5 или в главе уг!. Сделаем ещв одно упрощение в постановке зздзчи и пренебрежем влиянием начального участка, нз котором происходит изменение профиля скоростей течения. Это допущение сирззеддизо, например, з том случае, если предположить, что стенки трубы нз длине нзчзльного участка сделаны из изтернзла, не проводящего тепло. В результате всех допущений придем к выволу, что профиль скоростей в каждом сечении труоы является парзболическим и определяется формулой (2.23).
Итак, будем считать, что в любом сечении (9.08) Последующее репгеиие сводится к определению эзконз распределения температур в трубе. Воспользуемся для нзхождения этого закона уравнением притока теплз в цилиндрических координзтзх (1.56). Счптзя процесс теплообменз установившимся н принимдя во внимзние осевую симметрию, отбросим в (1.56) члены, 9 24) теплоовмвн пги движении в кнкглой тггва содержащие производные по 7 и по р. Далее, полагая, что в радиальном направлении температура изменяется значительно сильнее, чем в направлении оси трубы, отбросим в правой ЖТ части (1.56) член — по сравнению с членамп, содержащими даа производные по г.
Наконец, сделаем еще одно упрощающее допущение и, полагая, что скорость течения не очень велика, пренебрежем изменением температуры жидкости вследствие рассеяния энергии, т. е. отбросим в (1.56) член, содержащий Е. В результате уравнение (1.56), если заменить в нвм о, выражением (9.08), примет вид: РТ ! дТ 2о" / га1дТ дг" г дг а ! Ач,)да' (9.09) Примем далее, что во входном сечении трубы жидкость имеет всюду одинаковую температуру Т, и что температура стенок трубы все время постоянна и равна Т,. Введйм, наконец, безразмерные переменные: с Т вЂ” Т г — ~ — !7 1 — а Тогда уравнение (9.07) примет вид: даа ! да !7 „да дгт г1 дг1 а1 х (/ да! ' 1 (9.11) а Ъ"я (9.11') Граннчные условия, если считать, что у стенок температура жидкости совпадает с температурой стенок, будут: прн г,=1 (а,)0) 0=0; (9.12) ири а,=0 (г,(1) 0=1, (9.12') Таким образом, задача сводится к интегрированшо уравнения (9.11) при граничных условиях (9.12).
Решение ея в такой постановке было получено сначала Грецем, а затем Нуссельтом '!. 1) !.. П г а е ! х, Апи. 4. Рпуа!К, т. !8, 1883, стр. 79 и т. 25, 1885, стр, 337. Ъ'. г) и з ее! 1, 7е!!аснг. Йеа Ч. О. 1., т. 54, 1910, стр. !154. ннкотогыг. задачи о таплоовмана (гл. га 360 Положим, исходя из особенностей задачи, что частное решение уравнения (9.11) может быть представлено в виде Я=у (г) е (9.1 3) где р — постоянный параметр, Подставляя это значение О в (9.11), найдем для определения ((г,) уравнение ~"з+-!дт+ 1:<1 — г0)(=О.
Решение этого уравнения, не имеющее особенностей при г,=О, может быть представлено в ниде ряда 1((г3~1) 1 г+ч ! (г 1 4 )г$+''' (9.! 4) Граничное условие (9.12) требует, чтобы при г,=1 правая часть ряда (9.14) обращалась в нуль. Это условие приводит к уравнению для определения р, имеющему бесчисленное множество корней, из которых первыми тремя являютсв ~, =2,705, 4а= 6,66, ~1,=10,6. Такил~ образом, оказывается, что уравнение (9.11) имеет бесчисленное множество частных решений вида (9.13). При этом, как следует иа (9.14), каждому корню р„будет соответствовать свое аначение функции",((г„~ь), которое мы обозначим у„(г,). Тогда общее решение уравнения (9.11) представится в виде ряда Я= ~ Аьт (г,) е аа"*, ь ==! Формула (9.!5) определяет зависимость безразмерной температуры О от координат г, и ги Используя реаультаты численных расчетов, можно эту зависимость представить более наглядно в виде соответствующей пространственной диаграммы.
Подобная диаграмма изображена на фиг. 55, где по направлениям осей координат отложены величины агам г и О. где Аь — постоянные интегрирования, аначения которых определяются так, чтобы было удовлетворено условие (9.12'). Сохраняя в (9.15) первые три члена, Нуссельт нашел, что А~=1 477 Аа= — 0 810 Аз=0 385. 24) тьплООБмен пРИ движении В кРУГВОЙ тРУБе 361' Заметим, что полученная картина распределения температур в некотором отношении аналогична картине распределения скоростей в начальном уяастке трубы.
Найдйм в заключение значение коэффициента теплоотдачи, определяемое пзложенньш решением. При этом будем рас- Фиг. Й5. сматривать местный коэффициент теплоотдачи, т. е. коэффициент теплоотдачи для данного элемента трубы. Согласно (9.04) будет: Ьу ц=(та — Т,) гз$ Количество тепла Ьд, передаваемое элементу ЬЬ' площади поверхности трубы, может быть определено формулой (1 09д и будет равно; (д )= некОтОРые задач!! О теплооамене [ГЛ, 1Х 362 Подставляя это значение в предыдущее равенство и переходя затем с помощью (9.10) к безразмерным величинам, получим: Величина 6* определяется формулой (9.03), если в ней подставить значение о и 6 из (9.08) и (9.15), В результате .получим: Об е ба= Я Взе Зла*, (9.16') 1 — — 1 где „— некоторые постоянные козффнцненты. По подсче.там Греберз ') В, ==-0,819, В =0,0926, В =0,01896. Точно тзк же пз (9.15) с.ледует, что — = — ~ч С е Зла'", ( в ",=- =- Ђ НГ/П=-1 З Ю Ф-.1 (9.16') 1где по подсчетам того же автора С, = 1,498, Са = 1,114, Сз = 0,503.
Приведенные формулы определяк1т аначение а для лк1бого сечения трубы. При изучении явления теплообмена часто вместо коэффициента а рассмзтрива1от Г>езразмерный параметр 2ЧТ М=х —, 1 1) Г. Г ребер н С. Эрк, Основы учения о теплообмене, ОНТИ, 1936, стр.
225. называемый числом Нуссельта. Из формул (9.16) следует, что в данном случае число 1( есть функция безразмерного аргумента а,х,. Впд зависимости М от а,х, показан на фпг. 56. Оказывается, что, начиная примерно .от значения а1х1 = О,1, можно считать Й = соиз( = 3,66. Вместе с М будет, конечно, постоянен и коэффициент тепло- отдачи а. $241 теплООБмен пРН движении В кРУГлОЙ тРУБе 3Я Зная а, можно по формуле (9.04) определить количество тепла, поглощаемое или отдаваемое стенкой; при этом в (9.04) температура Т должна быть заменена средней температурой Т*. Если принимается во внимание изменение значения и для разных сечений трубы (начальный тепловой участок), то передаваемое (поглощаемое) тепло определится формулой 1 О=2Н)сг) а(е) [То (е) — Т,) в1е, о где 1 — длина трубы.
Та же величина может в данном случае быть вычислена и по вытекающей из (1.09) формуле 1 ч = — 2Н)хуа ~ (~ — ) 41е. (9.18') 'о Значение — находится при этом из (9.15). дТ 0г Изложенное решение даат известное качественное представление о законе изменения температуры движущейся нашкости и коэффициента тепло- отдачи. Что касается количественных результатов, то онп значительно расходятся с данными эксперимента, иногда на 100о(о и более. Основная причина 00 07 00 04 00 00 х,г, Фнг. Еб. этих расхождений состоит в том, что при решении не прпнимзется во внимание изменение вязкости жидкости с температурой.
Результатои этого является то, что профиль скоростей в рассматриваемой задаче считается параболическим. Йуежду тем, как показывает опыт, при наличии теплообмена профиль скоростей значительно отличается от параболического; при этом характер течения существенно зависит от того, происходит ли во время движения отдача или поглощение тепла жидкостью. Этот результат наглядно иллюстрируется показанными . а фиг. 57 кривыми, изображающими некотогые зхдхчп О теплоогмьне (гл. !х аб4 профили скоростей в круглой трубе прп разных тепловых режимах' ).
Здесь пунктирная кривая — парабола, соответствующая случаю изотсрмического течения; кривая 7 дает профиль скоростей в случае, когда стенки холоднее жидкости, а кривая 77 — в случае, когда жидкость холоднее стенок. Расход жидкости во всех трйх случаях н— одинаков.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
