С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Задаю, >оторая здесь став>пся, касается совсем иного вопроса. Речь изет об определенна той темперш уры, ло которой в тот или иной момент эремени окажется нагрешй жидкость, закл>очзнная между цилиндрами, если олин иэ ннх будет врашатьсж Очевидно, что в этом случае происхоляигнй с течением времени процесс нагрева жидкости о.,>словлен тольк,> наличием ряс >эяния =нср> ин.
При решении поставленной задачи сделаем следующие упрощающие допущения. Будем, во-первых, считать коэффициент вязкости й пос"оянным. Во-вторых, толщину вязкого слоя й=>г(э — Й, будем считать >юлой по сравненшо с ь>, и вместо полных уравнений в>спользуемся справедливычи в этом случае приблнжйнными уравнениями (9А1). Тот ш уравнение притока тепла, если заменить з нем -. его значением пз (9.41'), примет вид дт дг T, я 7>>э1э — =а —,+ — ~ — 1 дт дуг;гл>' > д>'/ (9,54) Уравнение движения жидкости прп р= сопя( интегрируется независимо от тепловою. Эта задача была нами рассмотрена в и.
1 й 23. Таким образом, значение а=(г, у) м >я,е> быть взято непосредственно из формулы (8.47'), Однако, как было показано там же, процесс развития движения совершается очень быстро и уже по истечении весьма небольшого промежутка времени течение жидкости в слое и вращение цилиндра можно считать практически установившимся, Явление же нагревания жидкости совершается, как мы увидгм, значительно медленнее. Поэтому практически вполне допустимо при интегрировании уравнении (9.54) заменить в нем ж тем значением, которое оно имеет при установившемся дниженщ>, т. е.
положить т>=(7 ! — — ), Г у л где (7 — предельная скорость точек, лежащих на поверхности дп 17 внутреннего цилиндра. То~да будет — = — — „. Это значение ду и будет изми подстззлено в (9.54). Примем, далее, что з начальный момент температура жидкости и стенок цилиндров всюду постоянна и ранна Тэ н некотогыв задачи о теплоовменв ЛГЯ. ГЯ введем безразмерные переменные: Т ' 1 ' ' 1 Л ' т — Т т, гр' Тогла уравнение (9.54) примет вид; дхз да — — — +к=о, ду2 д11 где, если заменить а его значением из (1.10), будет; (9.55) (9.56) яих к='— 12 Та (9 56') Перейдйм теперь к установленшо граничных условий.
Будем считать массу внутреннего цилпнлра очень большой по сравненшо с массой внешнего, а теплопроволность его по сравнению с теплопроводностшо жидкости очень высокой. Тогда изменением техшературы внутреннего шшиндра с течением времени можно будет пренебречь и счптатсч что на его поверхности все время Т= Т„или 8 =0. с!то касается внешнего цилиндра, то, считая его достаточно тонким, пренебрежам изменением температуры этого цилиндра влоль радиуса и причем, что количество тепла, получаемое пч в каз<ль:й ланный момент от жидкости, идет частью на нагревание самого шшшдра, а частью отдается вгешней среде, температуру которой будем считать постоянгп й и равной также Т„. Если обозначить переменную температуру внешнегп цплинлра через Т., а его массовую плотность и удельную теплоемкость соответственно через р, и с„то из формул (1.09), (1.08) и (9.05) следует, что указанное выше условие лает: — 2п)2 Л( — ~ б(= — 2пТа„НР г,йуа+ 2Юа(х'(Тх — Т„) ЬГ, lдТЛ гле К в коэффициент перелзчи тепла через стенку цилиндра во внешнюю среду, а И вЂ” толшпна стенки внешнего цилиндра, точнее отношение плошали поперечного сечения цилиндра к 2птха.
Разделив обе части зтого равенства на л), перейдем к пределу п одновременно введем безразмерные переменные (9.55). В результате, принимая во внимание слелапные выше предположения о состояшш внутреннего шшинлра, пр ~дем к '$25] теплоовмеи в вязком слое между цилиндглми 357 следующим начальным н граничным условиям; прп (!=0 6=0; ири у,= — 0 6=0; игз — „— рб= — м. 'гу1 Так как частное решение этого обыкновенного лифферен- х ииального уравнения есть Э! = —, то его общее решение р будет: 5 = С, с5 ()г'РУ!) )- Са в5 (УР У!)+ —. Гоаничные условия (9.57) после перехода в иих от оригиналов к изображениям примут вид: Ь=О, ,'1,"+ (р6+ Т)6 = О.
при у! =0 при у!=1 Удовлетворяя этим условиям, определим значения постоянных интегрирования С, и С, н вайдам окончательно; (г= — 1 — с)!(1 1)у!)+ Р1 ! ' ч ~ г ~ ~-~» — ~~ ь !гру )~ (95г! (р)+т)ап)гр+)'р сп1 р где, после замены а его значением из (1.10), обозначено (9.57') Таким образом, задача сводится к интегрированию уравнения [9.56) при условиях (9.57). Для решения воспользуемся, как мы это делали раньше, методами операционного исччслеиия. Перейдеа! в (9.56) от оригиналов к пх изобразсениям по Г!. Тогда, принимая во внимание, что ири !!:=; 0 Ь = 0 п воспользовзвшпсь формуламп (3.05') и (3.07'), получим: нвкотогыи злдлчи о тзплоовмснв [гл.
гх 888 По данному изобрахгению д можно определить оригинал этой функции, т. е. 8(умг,) и найти таким образом закон распределения температур в жидкости для любого момента времени. Мы не будем приводить здесь этот несколько громоздко выражающийся резулыат. Вместо э~ого дадим решение наиболее интересной с практической точки зрения задачи, а именно, определим, как будет изменяться с течением времени температура внешнего цилиндра. Обозначим эту температуру через 3х и примем, что опа будет равна температуре примыкающего к стенкам цилиндра слоя жидкости. Тогда, полагая в (9.58) у, = 1, получим для изобрзжения функции Ьз(г,) выражение 6 гнг Р ЛФ) (9 г () )' 1Т+ т )з11) и+с11г 15 1'Р ! Обозначим через 3х корни трансцендентного уравнения; с13'-== 3:- — — ' Е ' (9 59) определении этих корней рассмотрим ниже; что все они будут простыми и действительиз (9.58') видьо, что йа представляет собою (3.16), имеюгцукз простые полюсы в точ- Вопрос об заметим пока, ными ').
Тогда функцию вида ках, где Кроме того, так как точка р=О не являетси полюсом функции Э, то, раскрывая неопределенность, найдам: У Р~ 'И-)-т)' У (О) 1) См. Х. С. К ар слоу, Теория геплопроводностн, ОГИЗ, 1941, стр. 87 н 91. ф = А. Следовательно, функция 3з (г) определяется формулой (3.22). 11роизводя соответствующий расчдт, найдем из (9.58') для входнщих в формулу (3.22) иеличин значения: У, (Рх) = х (соз ',а — 1), р у (рх) = — „[(2~+ 1) с зШ с:,,+(~х„— 1 — т)соз Ц.
5 25] теплоознеи В Вязком слое междг шщпндгзми 339 Подстзвляя есе эти значе ия в (3.22) и од ювременно несколько преобразуя выражение р / (р ) при помощи раьенства (9.50), айдем окончатель. о: 2'! т 01 ' «1л(!)!', "— т)е+()+!)!Ез+т) (з мп,'-с (',!.00) Формула (9.60) и Определяет закон измененяя температуры внешнего цилиндра со Временем. Из (9.60) видно, что с возрастанием ! температура внешнего цилиндра стремится к предельному значению О„р, Полагая в (9.60) Г, = оо, найдйм: и 2(!+т) (9 6!) Заменяя здесь х и у их значениями из (9.56') и (9,5?') и переходя с почоисью (9.55) от бкр к Тнр, получим: яие 1")4 тн„— т,=э „+ .„.,—, +„.„,. (9.61') ') Л.
С. Л е й О е н з о н, Руководство по нефтеирнмы~ловой механике, ч. 1. Гедрзвлика, ГИТИ, 1931, стр. 236. 26 с. и танк Формулз (9,61') устанавливает интересную ззвиспмосз ь предельной температуры, ло которой нагревается внешний цилиндр, от размеров и угловой скорости внутреннего цилиндра, а также от вязкости п теплопроводиости жидкости и от коэффициента передачи тепла К. Полученный результат допускает известную экспериментальную проверку. Если изменением 1 и К с температурой пренебречь (величина Кй по сравнению с ! здесь вообще мало существенна), то для данного подшипника, согласно формуле (9,6!'), температура нагрева будет пропорциональна произведению Гжоз или рнх, где и — число оборотов н минуту внутреннего цилиндра.
В книге акад, Л. С. !ейбензона иривелены экспериментальные данные, которые в числе прочих содержат сведен ия об изменении температуры и вязкости с изменением числа оборотов щиты В подшипнике с жидкой смазкой '!. В частности, 1гл. гк и!жоторые 3 здл'и! о теплооименк 390 для произвольно в:ятых на»ш »шсел «турбинное» н «смесь» соответствующие зависимости даны в таблице !Х (данные об этик маслах в вышецпгнрованной книге идут под )зз!»гз 1Π— 1У и 105 — 110). Таблица !Х 1200 300 ( 500 ! л об,.иин 8,9/~, б тлз/ — РАБ/ 1,73~ 3,01 2,28 ;! 10»вЂ” кг сел' лр Турбинное масло 21,0~24,0 29,4 35,041,6 «г( тоц 52,6 58,2 кг сек р10»вЂ” жг 32 Смесь лысел /оц ~ э Значения Т прп разных ра-", определяемых даннымп тзб лицы !Х, покзззны на фпг.
61. Кзк видно, экспериментальные точки по жп точно ложатся на прямые линии, подтверждая тем самым лн- 2/ 7 би кее нейный хзрактер ззвпсп- 4 мости температуры от произведения )злз, устанавлпвземый формулой !9.61'). ВВ Экспериментальные лан- 4/ ные, приведенные е таблид l 7 В 4 з 6 7 В/глгай це 1Х, относятся к опытам сполуохватызаюшимподшипФиг.
61. никон. К сожалению, кс- пользоззнные нами таблицы из зышецитированной книги акад. Л. С. Лейбеизонз не содержат ленных о значениях/3! и 1 а поэтому ие позволяют полностью сравнить формулу 19.61') с эксперииеитои. Однако порядок величин т,р — тз, которые дает формула 19.6!'), если, например, принять 1=-3 10-з к как/мсек«)! и /7! = 5-.— !О с.и, оказывается тоже близким к экспернчеитальному.
Ргзссмотрим в заключение вопрос о времени, в течение которого происходит нагрев внешнего цилиндра. Для этого $25) теплоозмен В Бязком слОе между чплпнлелаш 391 оценим порядок вхоляшпх в формулу (9.60) величин еы т. е. корней уравнения (9.59). Значения ; 'можно опрелелить графически как точки пересечения кривых г1 — — с(п с, т. е. котангенсонд с гиперболой г1 — — 1х — —,—, т1 — — 0 п г1 — — ()е что 0(:-, (и, имеющей, как видно, аспмптотамп прямые (фпг. 62).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
