С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 65
Текст из файла (страница 65)
(9.82) Переходя к решению задачи, проинтегрируем урзвнение (9.79) по у и удовлетворим одновременно первым двум пз условий (9.81). Тогда получим: 8 (уа 28)г) В Удонлетворяя теперь последнему из условий (9.81), найдем отсюда, что 2 В=.— — а. (9.83) В результате, принимая во внимание (9.82), будем окончательно иметь; 0=2у, --у," (9.84) Прн интегрировании уравнения (9,78) нам придется при- нять во внимание зависимость э (или р, так как р = сопя() от температуры.
Выше ныло указано, что мы счптаем эту за- висимость заданной формулой (1.04), Переходя в (1.04) от Т к 0 н заменяя в свою очередь 8 выражением (9.84), найдйм, что значение э может быть представлено в виде: ~д у. 1 1 (9.85) г=э где И„ = 1, э, представляет собою значение кинематического коэффициента вязкости при у = О, т. е. при Т= Т,, а коэф- фициенты Ь, (7= 1,2,..., л) будут определены через р, Т„ Т, и коэффициенты аы входящие в (1.04). Интегрируя теперь уравне>ше (9,78) по у и улозлетворяя второму пз условий (9.80) для ох, получим: дц, у — 1 — '= — Л вЂ”, ду Подставляя сюда значение э из (9.85), вторично интег- рируя и удовлетворяя первому нз условий (9.80), найдем: г 1()+2 г+1) $26) твплоовман пни овтвклнии тонкой пластины 408 Используя, наконеи, последнее из условий (9.80), получим для величины А выражение "«7е (9.86) где (9.86') В результате вайдам окончательно: ф С.~Ь! ~Ф()-)-!) Ьа(! ( О~ (987) ья При атом в двух последних формулах, как было условлено, з Ь= —.
л Подставим теперь значение о„из (9.87) в уравнение неразрывности (9.76') и проинтегрируем это уравнение по у. Тогда, удовлетворяя условию (9.80) для о, получим: Чтобы определить Ь, обратимся к равенству (9.79'). Под- ставляя в левую часть этого равенства значение В из (9.83), а в правую часть выражения О, о„ и о, определяемые фор- мулами (9.84), (9.87) и (9.88), придем после соответствующих подсчетов к уравнению вл аФ Ь вЂ” = —, х и где обозначено; л й (т+!)! ! 'га(т+4)! Ьа(г+5)! ~ ' ~ =1 Интегрируя полученное уравнение и полагая, что прн х = 0 будет Ь = О, кайлам окончательно: (9,90) нвкотоиыв задачи о типлоовмвнв [гл.
|х 404 Наконец, для определения величины )г используем равенство (9.78'). Заменяя в нйм А, о, и о„ их значениями из (9.86), (9.87) и (9,88), придем после всех подсчетов к следующему алгебраическому уравнению: 2У У(,.Ь ~(2'+Т+")" ('+7+2)! а<+7«~ ( (7+3) | (7+/+ 5)! |=О 7 =-' которое н служит для определения и. Найдя из (9.9!) ь', мы определим параметры |1| и о, входящие в выражения 7|, О и о, и задача будет, таким образом, решенз до конца. Единственным затруднениеч чисто вычислительного характера явится решение при каждых данных значениях Т и Т, алгебраического уравнения (9,9!), содержащего неизвестное (г в очень высокой степени.
Ниже будет показано, что в каждом конкретном случае из чисто физических соображений можно найти те приближенные границы, в которых при данных Та и Т, будет лежать величина 4|, удовлетворяющая услон|тм задачи. После итого приближенное определение соответствующего корня уравнения (9.91) не прелставляет практически, как показали проделанные изми расчбты, никаких затруднений, Найдйм в заключение напряжение трения на пластине и коэффициент теплоотдачи.
Лля напряжения трения имеем вы- ражение где р. — величина козффициента вязкости при Т = Т . Подставляя сюда значения и„ и 7| из (9.87) и (9.99) и принимая во внимание, что („ = 1, найдем окончательно; (9.92) $ 26) теплоовашн пги овтвклнпи тонкой пллстины Коэффициент местной теплоотдачи и будет согласно (9.04) равен: чс )т,— т„', ' где д,— количество тепла, отдаваемое (поглощаемое) здание точке пластины единицей площади ее за единицу времени. Но по формуле (1.09), если перейтн к переменным О и ны будем иметь: ( ~Г(, г, — г, (,ьз; ~лу ~у= л (д~~г,=а или, заменяя здесь 0 ее знзчением из (9.84), 21 1 0 =- — ~~т — т, с л ~ » Подставляя эту величину д, в выражение длн и и заменяя одновременно Ь его значением (9.90), найдем окончательно: (9.931 Таким образом, оказывается, что величина а, так же как и т„ убывает с удалением от переднего края пластины обратно пропорционально корню квздратному нз расстояния х; с увеличением же скорости течения величина а возрастает пропорционально корню квадратному из Уе.
Изложенное приближенное решение было получено в предполоя<ении, что влиянием рассеяния энергии на изменение температуры жидкости можно пренебречь. Покажем в заключение, при каких условияк такое пренебрежение в рассматриваемой задаче допустимо. Для этого оценим порядок отношения количества тепла гу', выделяющегося в единице объйма жидкости за единицу времени вследствие рассеяния энерпш, к количеству тепла дп которое за то же время этот объем жидкости получает от пластины или отдайт ей. 11з формул (1.53) и (1А2) следует, что в рассматриваемом случае б „Улк ° 27 с. и. тчгг некОтОРые 3АдАчи о теплоовмеие (гл, ве Порядок втой величины будет: х (7 У Р С другой стороны, замечая, что Ь и 8 в величины одного и того же порядка, будем согласно (1.09) иметь: Но очевидно — = —, где Т' — приращение температуры Т' чч жидкости, вызванное рассеянием энерпш, а Т, — приращение температуры, вызванное теплоотлачей пластины.
В результате из сделанных выше оценок будет следовать, что Т' в счо Т, У1(Т вЂ” т ) (9.94) Таким образом, повышением температуры жидкости вследствие рассенния энерпп1 можно будет пренебречь в тех случаях, когда безразмерная величина, стоящая в правой части выражения (9.94), будет мала по сравнению с единицей. При данной разности температур указзнное условие определяет порядок скоростей течения, для которых пренебрежение влиянием рассеяния энергии допустимо. В частности, для рассматриваемого ниже примера (обтекание пластины водой) соответствующий подсчет дайт, что при Т,= 80 и Тз —— 20о порядок отношения Т",Т, будет меньше 0,01 при скорости течения Уе ~ 8 ж)сел, 2, Примеры расчйта пограничного слоя и теплоотдачи при обтекании пластины водою. Чтобы дать наглядное представление о характере полученных выше результатов, рассмотрим данные конкретных численных расчйтов для случая обтекания пластины водою. Допустим при этом, что зависимость (9.85) может быть представлена многочленом второй степени и имеет впл: — = — ( 1+5,.уг+пхрг ) .
(9.95) ч чч Представление э в виде (9.95) будет обычно давать вполнв достаточную для практики точность. й 26) тлплоовмвн пги овткклнии тонкой пллстш,ы 407 Г!ри расчете мы булем различать случаи, когла пластина нагревает зкидкость и когда, наоборот, жидкость нагревает пластину. а) Пластина нагревает жидкость (҄— 80о, Т, = 20о). Рассмотрим случай, когда температурз пластины равна 80о, а температура обтекающей еа жидкости 20о.
При этом согласно (9.7?) будет: 80 — Т 60 Подставляя это значение в (9.84), найдвьи у, =1 — 1'1 — 6 =1 — 1? — - . (9.961 - ?3' — "О У ьо Второй корень здесь лолжен быть отброшен, так как прн 8=0 у,=о. Подберем теперь в (9.95) коэффициенты й, и Ь, так, чтобы эта формула давала значения ж совпалающие с экспериментальными даннымп при значениях Т, равных соответственно 20~, боо и 80о, Лля этого подставим в (9,95) значение э и с значение ч прп Т=50~, взятые из таблицы 1 (стр. 22), и соответствующее значение у, пз формулы (9.96); затем проделаем то же самое при Т=20о.
Решая полученную таким образом систему уравнений, найдем: — =2,72 1О' сел/яг"", й, = — 1,38, л,=0,745. (9.97) Проверка показывает, что ири этих значениях (), и (гх формула (9.95) дает значение э на всем интервале 20о ( Т ( 80о с погрешностью, не превышающей 1,?е)е Срелнее значение коэффиииента температуропроводностп а в рассматриваемом интервале температур будем считзть равным 15,6 ° 1О з нях/с~к. Прежде чем перейти к определеншо значения й из уравнения (9.91), пронзвелйм следующую оценку, Если принять ч=т,=100,7 1О 'жх(сск (ъ, значение ч при Т= Т„=20о) и — 1ОО кг сека(лгх, то формула (4.31) ласт величину напряжения трения /,,з т' = 0,0331? х 408 )гл.
~х НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕИЛООБМЕНЕ Если же принять т= г,= 36„7 ° 10 ', то из той же формулы получим: Г с~', т" =. 0,020 $l к Естественно допустить, что знзчение т„ определяемое формулой (9.92), будет лежать где-то между значениями т' и т' илн по крзйней мере вблизи этих значений. Задзвзясь теперь кзкимп-нибудь произвольными значениями )г, подсчитаел~ т, по формуле (9.92), беря величвны Ь, и (Уз из (9.97).
Тогда прп (т = ! п (е = 3 найдйм соответственно: т, = 0,055 $г —, т, = 0,010 $7 Срзвнение со значениями т' и т" приводит к выводу, что искомый корень урзвнении (9.91) следует искать в интервзле 1 =й ~ 3. Соответствучощий рзсчет дает, что в укзззнном интервале уравнение (9.91) имеет только один действительный корень '). гг = 1,850. Пользуясь этим значением й и коэффициентами (9.97), нзйдем из формул (9.86') и (9.89): Ф = 0,287, о = 0,0159. Тогда формулы (9.90) и (9.82) дздут: 8=6,0'ф/ —, 8=11,1 1/ —, г Уэ' и, Для величин а и т, нейдем из (9.93) и (9.92) значения: а=О 33311/'э т ак' l (гт / (7з т.= 0,314 р., ~/ — ' = — 0,0290 )/ г) В случзе, когда зависимость т от уг представлена в виде (9.95), для определения Ф иолучзется уравнение восьмой степени.
Однако знзн, что искомый корейь лежит где-то между ! и 3 нлн вблизи этих знзченнй, можно его величину найти довольно быстро илн путем численного расчвтз или грзфическп. 9 26) твилоовмвн пни овтзкьнии тонкой пластины 100 В последнем равенстве предполагается, что (У„) = ж(еегг, И =м, [т)=лг)жз. Наконец, для закона распределения скоростей в пограничном слое получим из (9.87) (9.82) и (9.90) выражение: о =Газ(31,Фг — 5,03дз+О 434ат 0 0147лч) 10, (9.9ь) где обозначено (9.98 ) х= х б) Жидкость нагревает пластину (Т,=20ь, Т = 80ь), Рассмотрим теперь случай, когда ири той ~ке разности температур срелы и пластины процесс передачи теи.чз происхолит от лсидкост~ к пластине. Решения, получаемые в предположении, что р = соиз(, лают как в этом, так и в предыдущем случае для всех характеристик течения и теплообмена одни и те же 'значения.
Найдем, какое различие в основных результатах даат в ленном случае изложенное выше решение, учптынзющее зависимость )с от температуры. Г!римам опять, что сннэь мшкду э и у, дзется формулой (9.95). 1!з равенства (9.77) имеем в данном случае: à — гО 60 вследствие чего зависимость у, от Т вместо (9.96) прин шлет внд: 80 — Г н =(в ОО Подбирая теперь коэффициенты в формуле (9.95) так же, как и в предыдущем случае, найдем вместо (9.97): — = 0,993 1Оз геь'лгх, (ь = 3,17, ез —— — 1,43.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
