С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 61
Текст из файла (страница 61)
При этом т=2Нз,,=Н(<~~ г )=Н~йг(~) ' В результате, пренебрегая, как обычно, массовыми силами, вайдам, что системз (1.30) сведется к уравнению (9.39) или ди 1 д р — = — „— (Тат). дс г1 дг (9. 39') Далее, из (1.56) и (1.53) найдйм, что в данном случая уравнение притока тепла будет: (9.40) Уравнения (9.39) и (9.40) будут полными уравнениями движения жидкости и притока тепла для рассматриваемой задачи.
В случае, когда расстояние Ь = Б', — )с, между пилиндрами мало по сравнению с Яы можно, поаобио тол1у, как зто было сделано в п. 3 ф 22, вместо полных уравнений воспользоваться приближенными. Если вдоль окружноств, которая получается от пересечения поверхности внутреннего цилиндра плоскостью, перпеиликулярной к оси, отсчитывать координату х, а по нормали к ней — у, то, пренебрегая ввиду малости у кривизной координатных линий, придем к выводу, что в данном случае для решения задачи можно воспользоваться уравнениями (1.28) и (1.55). Так как при етом будут равны нулю и, и и все производные по х и по г, то, обозначая елину х ственную отличную от нуля компоненту напряжений т„через т в о, через о, придем окончательно к следующей системе уравнений: дТ даТ Ы дг дУа ' Всргд ' дз дт рде ду' (9.41) где ди т =Н.—, У (9.41') $25) теплообмзн в низком слов мзждт иилиндгами 37Т некотогыс зддлчп о тпплооеыене (Гл.
$х 878 Уравнения (9.41) являются приближенными уравнениями движения жидкости и притокз тепла в слое между вращающимися цилиндрами для случзя, когда толщина этого слоя мала '). Прп устзновпвшемся режиме левые части полученных уравнений обратятся в нули. В результаге полные уравнения (9.39) и (9.40) примут вид; сова %-1 г (9. 42) и гГГ Пт т=сопч1=т,, гтз Т вз )ьу —., + — = О. д1л ч (9.43) При интегрировании к системе (9.42) должно быть присоелинено уравнение (9.33), а к системе (9,43) — уравнение (9АГ). 2.
Теплообмен в слое между цилиндрами при установившемся режиме. Рассмотрим задачу о теплообмене в вязком слое между вращающимися цилиндрами, полагая, что течение жидкости и процесс теплообмена являются установившимися. Температуры обоих цилиндров будем при этом считать постоянными и равными Т, н Тз. Введем вместо Т безразмерную теипературу: (9А4) Т, — Т, То~да, считая, что у стенок температура и скорость частиц жидкости равны температуре и скорости стенок, будем ') Очевилно, что (9.41) представляют собою одновременно полные уравнения движения и притока тепла для вязкого слоя, заключенного между двумя перемещающимися неогранкчеинымн параллельными плоскостями.
где т, — постояннзя, рзннзя н.щряжению трения нз поверхности внутреннего цилиндра. Точно тзк же системз приближенных уравнений (9,41) при установившемся режиме приводится к виду: ~~ 25) теплоовчен в вязком слов мсждх цилиидглми 379 пм гь для рассматриваемой задачи граничные условия: при г=Я 0=0, п=мф,=((п при г=)~з 6=1, "=мх)тз=('з l (9.45) Задача сводится, таким образом, к интегрированию системы уравнений (9.42) и (9.38) при условиях (9.45). При произвольном виде зависимости И(Т) привести эти уравнения к квадратурам не удается. Мы ограничимся в дальнейшем рассмотрением двух частных случаен.
з) Те ил ооб и е н п р ч р= — сипай В этом случае распределение скоростей в слое не зависит от процесса теплооонена и определяется, как в свое время было показано, формулой (2.35). Заменяя в (9.33) всличину о выражением (2.35), найдем: 2Р(н. — р Р( Ф т= (Р-' ,— (г;) г-' Подставим теперь это значение т в последнее из уравнений (9 42) и одновременно перейдем от Т к д. Тогда получим: йг, (г) га где и — безразмерный коэффицнент, равный: иИ, (г, (н~ — н,р !и— Дважды интегрируя это уравнение по г и удовлетворяя условиям (9.45) для (), найдем окончательно: г Р1 гп !и— Ь = ог(1 — — ) + ~ 1 — ла( 1 — ) ~ — ~ .
(9.46) 3 !и — ~ Формула (9.46) и определяет закон распределения темперзтур в слое при р=сопч(. Отнесенные к единице плоитади количества тепла, которые за едпюгцу времени стенки одного яз цилиндров отдают при этом жидкости, а стенки другого некотогыв злллчи о твплоовмвнв [гл. ~х ззб поглощают, булут соответственно равны: Если изменением температуры вследствие рассеяния энергии можно пренебречь, то распределение температур в слое будет даваться формулой 1и— 1и = 17( (9.
46') Прелставим заданную нам зависимость р.(9) в виде: — = — с" (Ь), 1 1 (9г47) ио 1 где козффицнент — выделен с тем, чтобы функция те(0) че была безразмерной. которая получится из (9.46) ири лг=О. Заметим, что формула (9.46') булет справедлива и при любом виде зависимости р(7).
Погрешность в определении Т, которая получается в результате пренебрежения членом, зависящим от рассеяния знерпш, дается разностью значений 9, определяемых формулами (9.46) н (9.46'). Она будет тем меньше, чем меньше р. и разность м,— мт. б) Теплообмен в тонком слое. Если толщина вязкого слоя, заключенного межлу цилиндрами, мала по сравнению с их радиусами, то вместо полных можно воспользов:ыься приближенныаш уравнениями (9.43) и (9.41').
Решение задачи сводится при зтом к квадратурам для любого вила зависимости р (7). Обозначая толщину слоя 16 введем безразмерную координату у, = †. Тогда, переходя в уравнении (9.43) к у, й =у л' безразмерной температуре 6, определяемой равенством (9.44), получим: 2 25] твплоовмвн в вязком слов мажах цилиндглми 881 Тогда предыдущее уравнение примет вид: , да' ат О Ъ+ 2Г(0) О где 2агт~ 7г' = ).Г ( та — 79 иа а дитрихи означают производные по уы Интегрируя полученное уравнение по О, вайдам: О'=-(-йф'ф,ь(О) (9 48) где ф(О)=~ Р(О) а8, (9. 48') а фа — подлежащая определению постоянная интегрирования. Знак перед радикалом в (9.48) определяется знаком производной (плюс, если О в направлении у возрастает, мннус— если убывзег).
Интегрируя (9.48) вторично по у, и удовлетворяя условию О=О при ус=О, получим: а 1 (" на у, О Условие О = 1 при у, = 1 даат соотношение 1 иа — у 40 — 488 о (9. 49') которое служит лля определения ф,. Перейдем теперь к определению о. Из уравнения (9.41') имеем: г"а н.гЧ Р Заменяя здесь р выражением (9.47) и переходя от переменного у, к О, получим: О~ 4~ л а иа НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛООБМЕРЕ (гл. [х 382 Подставляя вместо !!' еб знзчение из (9.48) и интегрируя, найдем окончательно; О ЛОО !" б'(б! ав «""! — )"~~ — 4 4( ) О (9.50) При атом в (9.50) удовлетворено граничное условие о=(У! при 0 =О. Дру~ое условие, о= (/д при О = 1, приводит к урзннению ЛТО Г ~(б) сд! иа — и, =,— О~ (9.50') ДР4 =4ӄ—,-',(б!' — = — (1+ аай).
! ! Р РО Расчет здесь удобнее пролзвести, пнтегряруя непосредственно > равнение (9.43), которое з данном случае примет вид'): ПОб ОРУ Г вЂ” О + пдаай = — п-", (9.51) где из= /рт -' О туя ( т. — т!) ' (9.51'] Интегрируя уравнение (9.51) и уловлетворяя граничным условиям й = 0 при у! = 0 и О = 1 при у! = 1, найдем сле,дующий закон изменения температуры в слое: — „и(л з!О(пат,) ) соз(лау!)-11 (959) ! Г ! + а' — соз (пк), ') Как нам любезно сообшнт проф.
И. А. Слезкин, аналогичный расчбт быд произведбн работавшим иод его руководством аспврантом А, К. Паздиным а !949 г. которое служит для опрелеленин та. Таким образом, задача оказывается решенной до копил. Прп атом распределения температур и скоростей в слое даются формулами (9.49) и (9.50). Рассмотрим в качестве конкретного примера случай, котла зависимость р(О) может быть прелставлена в зиле, соответствующем формуле (1.06), а именно: $251 ткплоовиян в вязком слов мяждь цилиндгьми ззз, Для определения о обрзтиися к уравнению (9.41'), при-- ннмзкицему вид: '~" 7"ц (! пзч ич !)удем при ятом считэть один из цилиндров неподвижным.
Тогда граничные условия для о будут: о= О при у, = 0 и о=(7 при у,=!. Ззменяя в предыдущем урввнении 0 его значением из (9.52), интегрируя и удовлетворяя первому из грзничных условий, нзйдвм: ЛЧд 1 ~+ч — чиж (нч) о = —" ~ — — (1 — сов(ляу,))+з!п(пау,) ~ пчи„~ ми (ры! Подставляя сюда значение те из (9.51') и требуя, чтобы при у, = 1 было о= У, получим уравнение для определения и. В результэте найдем окончательно закон рзспределения скоростей в виде: ! . ~!/(7; — 7',) (!+аь — соз(па)(1 юз(лду )) ( зщ(лпу )( (9.53) где л определяется из равенства (9.53') Напряжение силы трении те находится в данном случае нз равенстве (9.51'), гзв л дается формулой (9.53'). Чтобы дать примерное представление о том, как влииет на величину напряжения силы трения учет явления теплообмена, рассмотрим произвольный пример. Пусть будет Т, = 20о, 'Т, = 40о, У= 5 ж гель lг = !О з ж (от значения й вычисляемые ниже относительные погрешности не зависят).
Возьмем в качестве жидкости смазочное млело, хзрактеристики которого даны в таблице 1 (стр. 22]. Тогда в данном интервале температур можно приближенно принш ь — = 40 (1 + 2,35 5), что ивет яз = 2,35 и а = 1,53. Далее имеем ! = 30,7 ° 10 в (размерности всех величин указзны в таблице). Подсчет по формуле (9.53') дает а 0,65. Тогда из формулы (9.51') нзходим т 52 ьг)лгз. .Зг4 някотогыг злдьчи о теплоовмене [Гл. !х Если вести подсчет по формуле (8.10), не учитывающей изменения р с температурой и взять при этом значение р = 1,45 ° 1О ', соответствующее средней арифметической температуре Тгр —— 30ч, то получим т, 72 ! з).нз с ошибкой почти в 40з.'м Если же взЯть Р пРи сРедней темпеРатУРе Та = 33,3о, вычисленной по формуле (9.03) в предположении, что и скорость и температура изменяются в слое линейно, то будем иметь т, 60 мг!!л' с погрешностью примерно в !5з(ю В других частных случаях порядок величин может оказзться, конечно, другим, однако и этот пример указывает, ао-перзых, на то, что при наличии геплообмена подсчйт сопротивления трении по формулам, полученным для изотермического течения, может привести к значительным погрешностям, н, во-вторых, что величина погрешности будет меньше.
если в этих формулах брзть значение ц, соответствующее температуре Тч, которая дается равенством (9.03). Наиболее назйжные результаты прн определении всех характеристик течения, в том числе и напряжения трения, будут давать, конечно, формулы, полученные с учетом зависимости р от температуры. Результаты, приведенные здесь в конечном виде, относятся только к случаю, когда функция с ('!) в зависимости (9,47) является линейной. Такое представление Г (Ь) удаатся не всегдз и обычно лишь на небольшом интервале изменения температур. В тех случаях, когда гч(1)) будет представляться многочленом выше первой степени, уравнения движения н притока тепла, как видно из (9.48') и (9 49), в элементарных функциях не интегрируются. Прн необходимости соответствующие расчеты могут быть произведены численно или графически.
8. Теплообмен прн неу танозившемся режхме в случае, когда температура внутреннего цилиндра неизменна (смазочный слой). Рассмотрим слой вязкой жидкости, заключйнный между двумя соосными цилиндрами с радиусами )с! и !см Пусть в некоторый мгмент времени внутренний цилиндр начинает вращаться под действием приложенной к нему пары .сил, момент которой постоянен. Найдем, как будет с течением ,времени изменяться температура жидкости и цилиндров вслед*стане рассеяния энергии. й 25) тзплоозмкн в вязком слоя мгждя цилиндрами Зяб Выше отмечалось, что г ряде случаев, котла процесс тепло>бмена является установизшимся, влиянием рассеяния энергия на распре>г'ение температур в лэнж>шойся жидкости моя>но пренебречь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
