С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1159537), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Отсюда, интегрируя еще раз по г, найдем окончательно: (9.29) г г, =-- 71 Из условия прплипаипя следует, что О=О при г, = !. Следовательно, будет: СГ )о(й) + С. = О. (9 30) Введем вашего С, средню:о скорость о'"', определяемую формулой (9.02). В данном случае эта формула, если перейти к переменному ГГ, примет вид: 1 О*= 2 ~ ог, ГМГО о Подставляя сюда вместо О его значение пз (9.29), ннтегриоуя и используя зависимость между цилиндрическими функциямп (0,45], будем пметги 'и = С [1„(/Г) — 1 (/Г)1+ С . Решая это уравнение совместно с (9.30), получим: в (в(Л) С,= — —, Ст=о* —.
1,(Л)' 1я(6) ' В результате найдем из (9.29) следующий закон изменения скорости вдоль радиуса трубы: Ов О=1 Л 1)о(гт) )в(йГРГ)1. ф 2() теплоовмен ПРИ движении В кРуГлОЙ тРубе 371 Профиль скоростей оказывается в данном случае отличным от параболы и уклоняется от ней все более с увеличением гт.
На фиг. 59 показан вид профиля скоростей, определяемого формулой (9.31), прп /г =2; пунктиром показана парабола, соответству!Ощая рассмотренному выше случаю !!=О. г й ! Р йу ! (у 7 Ю. Фнг. 59. Перейдем теперь к определеник! давления, Из формулы (9,19), так как мы полагаем, что р = р (-), будем пист!К Ваз!ения здесь о его значениеч из (9.31) и используя после дифференцирования формулу (6.45), найдем окончательно: др ьа Л! гга 27г! 1! (гн — р )а(й Введем здесь вместо 7! его среднее по сечению значение р*, определяемое формулой (9.26). Для этого умногким обе части полученного равенства на 2Г!!ТГ! и проинтегрируем по г, в пределах от 0 до !.
В итоге получим; Лг!Р ! 'Л!! (Л) (9.32) Ла '" ГС 1(Л) . С другой стороны, заменяя в (9.28) Ь ей значением из (9.23), будем иметь: Р = Ра (АР"' +(1 — А) е-"- '1, Подставляя это значение р в равенство (9.32), проинтегрируем его по е. Тогда, полагая, что при е= 0 р* =ра, 26 с, ы, тарг некотогые злдйчи О теплоовмене (гл. гх згй а при е=( (1 — длина трубы) р*=рп найдем окончательно: Ро — Рг Роп 1' (") ~ Д~ — 4 (е — 1) — (1 — А) (е — 1) 1 — —. 11г(И] ! (9.33) Лги Иг — + — „р = О.
Каг ог Решением этого уравнения будет: (г = —. 51п (Иаг + е), (9,34) где ро и е — постоянные интегрирования, причйм ро даЕт одновременно значение р при Т= Т„. Так как по физическому смыслу задачи при изменении е от О до ( величина р должна или только возрастать (труба охлаждает жидкость) или ~олько убывзть (труба нагревает жидкость), причем не может быть р ( О, то, следовательно, всегда будет: Вообще, как легко видеть, в том, например, случае, когда труба охлаждает жидкость, постоянные г и И будут связаны одним яз сле- дующих соотношении 2 < г С ~~ 2 + —,1 ).
— И вЂ” '1 (и+1) 1г (г <: ~ И+ — ~ к — И— гг зд д!' нлн де л=б, 1, 2..., г Тзк как обычно 1)))с, то, следовательно, в рассматриваемом случае постоянная Ь будет величиного малой. Формула (9.33) устанавливает связь между перепад~он давлении и средней скоростью течения в случае, когда зависимость вязкости от температуры определяетсн законом (9.28). Остановимся, наконец, на последнем случае, когда в (9.21) постоянная Иг отрицательна. Заменяя в этом случае йгг на — И', получим из (9.21) для определения р(е) уравнение р = —:' з1 п ~ — )п ~ — „, ~ -(- е ] . (9.35) Как и з предыдущих случаях, значения входящих сюда постоянных Ь и е должны быть подобраны так, чтобы в заданном интервале температур зависимость р(0), даваемая формулой (9.35), практически совпадала с соответствующей зкспериментальной завнсииостью для данной жидкости.
Таким образом, величины А и е можно в дальнейшем считать нзвестнычи. Выражение для профиля скоростей найдем в данном случае, если заменим в (9.31) величину Л нэ,Л. Тогда получим: ов — (3з(! ~) — Лз(Д)!. !а (л) (9.35) При малых й этот профиль близок к параболическому, но несколько более вытянут (фиг. 59). Для определения закона изиенения давления вдоль оси трубы обратимся к формуле (9.о2). Заменяя здесь й на (!г, нийдам, что в данном случае ддч оч щй) Ка = Р !а(Л) Подставляя в правую часть значение р из (9.34), проинтегрируем по я и удовлетворим условиям р*=ра при я= 0 и ри =р! прн з = !. В результате получим: Рз Р~ Вао~ ( ! ') ~ лг(л) д' ! Р'( = — ~соз з — соз ('Ь вЂ” + з')1 —..
(9.3У) !З у) ! (Л)!з1и= ' Эта формула устанавливает зависимость между перепадои давления и средней скоростью течения в случае, когда зависимость вязкости от температуры определяется законом (9.35). Изложенное здесь решение позволяет по формулам (9.2Т), (9.33) или (9.37) определить перепад давлений в трубопроводе, необходимы)! для перекачки подогретой вязкой жидкости 9 24) тзплоовивн пзи дзнжзнии в кггглой тгтвз 373 Заменяя в (9.34) з, ей значением из (9.23'), найдйм: 3?4 (гл.
гх некотогыг злллчп о теплоовиене с заданным секундным расходом или, наоборот, определить секундный расхол при заданном перепаде давлений. При этом зависимость й(Т ) для перекачнваемой жидкости должна быть в рассматриваемом интервале температур (от Т; до Т;) представлена в виде (9,24), (9.28) илп (9.35). Чтобы уяснить различие между этими тремя законамп изменения вязкости, на фиг. 60, а и 60, б показаны примерные графики зависимости Фиг. 60. р(6), а также закон изменения вязкости вдоль трубы, т. е. р(г), построенные во всех трех случаях для одних и тех же о О значений Та н Т,.
Входящий во все расчетные формулы параметр р определяе~ся равенстном (9.06'). При этою обычно значение коэффициента К передачи тепла через стенки нужно брать из данных опыта. Полученное решение укззывает одновременно на известную зависимость профиля скоростей в трубе от закона изменения коэффициентз вязкости жидкости с температурой (фиг. 59).
Однако вызванное этим оостоятельством изменение профиля скоростей буде~ при малых значениях коэффициента й весьма незначительным. Существенное изменение вада профиля скоростей в труое получается вследствие изменения температуры жидкости в радиальном направлении (фиг. 57), однзко это обстоятельство изложенным решением не учитывается. По этой же причине 24( теплооБмен пРИ ЛВ1!жГГнии в КРуглой тРуБе 37Б данное решение не огра кает тех изменений в виде профиля скоростей и в значении коэффициента теплоотдачи, которые обуслозл~Гнаютса изменением энзкз температурного градиента в ншщавлснии ралиусз трубы. !5се изложенное выше решение построено в предположении, что закон изменения Гемисратуры в трубе определяется формулой (9.06), ие учптынзюнГей изменении температуры в радизльном направлении.
Считая эту формулу первым приближением, мо.кно произвести уточнение результатоз, относящихся к закону распределения температуры в трубе. Лля э~ого следует п дставить какое нибудь из определенных выше значений р(х) н соответствующее ему значение п(Г) в ураннение (9.20) и тем илп иным методом проинтегрировать это уравнение. В результате будет найлен более точный закон изменения температуры в осевом направлении, а также и закон изменении ей нполь радиуса, что позволит опрелелить коэффициент теплоотдачи ').
Однако практически в рассматриваемой задаче изменением температуры жидкости вследствие рассеяния энерпГБ можно вполне пренебречь. Тогда в уравнении (9.20) член, содержащий р, выпздает и решение соответствующей задачи будет мало чем отличаться от решения рассмотренного в и. 3 настоящего параграфа, а в слу.чае, когда я(г) определяется формулой (9.08) полностью совиалат с ним. Поэтому такого рода уточнения задачи о распределении температуры в движущейся жидкости нами здесь не рассматриваются.
В заключение считаем нужным подчеркнуть, что изложенное ыше решение, принадлежащее акад. Л. С. Лейбензону н опубликованное им в 1922 — 1924 гг., является первым в мир ~вой литературе примером приближенного решения задачи о движении капельной вязкой жидкости с учйтом зависимости коэффициента вязкости от температуры. Насколько нзм известно, Б зарубежной литературе до сих пор вообще не появлялось нн одной рзботы, содержапГей хоть какую-нибудь попытку дать аналитическое решение этой весьма сложной, практически важной задачи.
') В зывГецнтированной работе акад. Л. С. Лейбеизоиа лается решение уравнения (9.20) для случая, когда Р (а) и я(г)опрелеляются формулами (9.24) и (9.08) соответственно. 376 нгкотогые зьдлчц о теплоовмене (гл. ]х 2 25. Теплообмен в вязком слое, ваключенном между двумя врап1ающимися цилиндрами. 1. Уравнения движения и притока тепла. В настоящем параграфе рассматриваются некоторые задачи о тепло- обмене в слое вязкой жидкости, заключенном между двумя соосными вращающимися цилиндрами неограниченной длины. Полученные здесь результаты дают одновременно решение задачи о теплообмене в смазочном слое для случаи, соответствующего рассмотренному проф. Н. П. Петровым (см.
и. 1 й 22), но без учета потери тепла вследствие утечки масла с торцов подшипника. Пример, рассмотренный в п. 4, даат известное представление о предельной температуре вращающегося ротора, заключенного в цилиндрический кожух. рассмотрим два круглых соосных цилиндра; внутренн~й— радиуса 77, н внешний — радиуса )7„вращающихся вокруг их общей оси с угловыми скоростями м, и и,.
Пространство между цилиндрами считаем сплошь заполненным вязкой жидкостью. Выберем цилиндрическую систему координат, ось Оз которой совпадает с осью цилинлров, п составии уравнения движения жидкости в слое между цилиндрами и уравнение притока тепла, принимая во внимание, что коэффициент вязкости жидкости есть некоторая функция ея температуры, и считая все остальные физические параметры жидкости постоянными.
Тзк как длина цилиндров неограничена, то течение между ними будет плоско-параллельным. Принимая еще во внимание осевую симметрию, будем иметь, что производные от всех величин по а и по р равны нулю и что о,=О, о,= О и оч = о; зтим одновременно удовлетворяется уравнение неразрывности (последнее в системе (1.47)).
Так как в рассматриваемом случае д ~ сопя(., воспользуемся для описания движения уравнениями в компонентах напряжений (1.30). Левые части зтих уравнений представлены в развернутом виде в системе (1.47). В рассматриваемом случае будем иметь: те,=О, ш,=О, Да дг Из компонент напряжений, значения которых даются формуламп (1.43), будет отлична от нуля только одна тмм которую в дальнейшем будем обозяачать просто т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
