К.Е. Якимова - Задачи по теоретической механике (1159490), страница 9
Текст из файла (страница 9)
2.64. Пусть Я(Е) — площадь, эа- К задаче 2.63. ключенная внутри замкнутой фазовой кривой, соответствующей уровню энергии Е. Доказать, что период движения Т по этой кривой ранен Т = аччс. ЫЯ 2.66. Потенциальная энергия точки задана функцией Цх), имеющей минимум в точке хе. Найти период малых колебаний в окрестности точки хе. 2.66. Найти время движения фазовой точки (чз; ч)) математического маятника по сепаратрисе из положения у1 в положение ~рз. Останется ли время конечным при Чзз — ~ х? 2.67.
Доказать, что время движения вдоль фазовой траектории от точки х1 до точки хз (в одну сторону) равно и'х 2п — 1 ь)) 2.68. На плоскости (х, х) изобразить фазовые кривые, описыва- ющие а) равноускоренное движение; 6) колебания гармонического осцилятора; в) колебания линейного осцилятора с сухим трением; г) движение точки по горизонтальной прямой с вязким трением; л) вертикальное падение точки под действием силы тюкести с вязким трением. 2,2.
Геометрия масс 2.69. Шарик движется без трения по вращающейся трубке, имеющей форму окружности радиуса В. Трубка вращается с постоянной угловой скоростью ы вокруг неподвижной вертикальной осн, проходящей через точку О окружности. а) Пусть окружность горизонтальна. Найти уравнения малых колебаний шарика. и) Определить период этих малых колебаний.
в) Пусть окружность вертикальна н ось вращения содержит ее центр. Найти положения покоя шарика относительно трубки. г) Построить фазовый портрет прн ыз < а и при ыз ) Г. Л) Как изменятся фазовые портреты, если ось вращения не проходит через центр окружности? 2.2. ГЕОМЕТРИЯ МАСС Моментом инерции системы материальных точек относительно данной точки, илн полюса, называется сумма произведений масс точек на квадраты расстояний от них до полюса. Если полюс О совпадает с началом координат,то )и ~~, п~.г„,~ т.(*.
+ у. + з,). 3 =1 и=1 Для масс, распределенных непрерывным образом, сумма в этом выражении заменяется интегралом по области й, занимаемой массами, ,)о = / таппь и Момент инерции системы материальных точек относительно произвольной оси Ои, заданной единичным вектором и = ае, +Дел+те„ где а, Д и Т -- направляющие косинусы этой оси, выражается следующей формулой: и я ,)„= ~ ~о„Ь„= ~ п~„(г„х н) г =3 и=1 — ))з ) / ~з 2,~ )у) — 2у )о 2,) о)) где Л~ — расстояние от и-й точки до осн Ои. Глава 2. Динамика Величины =~~', тП»1Уи+~и), 1рр — — ~ ти(Х~+Х~) И 1, =~ ~т (и~+У~) »=1 »=1 представляют собой моменты инерции относительно осей Ох, Оу и Ою Величины и П » ур! = Х~~ и!! уих» 'бил = Х~~ тихих и 7»р = Х~~ т!ихиуи »=1 »=1 и=1 носят название произведений инерции или центробежных моментов инерции относительно осей у и з, х и х, х и у соответственно.
В случае непрерывно распределенных масс все суммы заменяются соответствующими интегралами. Тензор инерции Л тела в системе координат Охух определяется матрицей 1 р У вЂ” / р — 1р, Центром масс системы материальных точек называется точКа С, радиус-вектор которой определяется равенством !ти! и В »=1 т и=! Сумма 2 ' т является массой системы точек и далее обознача»=1 ется буквой М. Теорема Гюйгенса — Штейнера. Момент инерции 4 системы материальных точек относительно некоторой оси 1 равен сумме Момента инерции А1П сИстЕмы относительно оси 1с, параллельной ! и проходящей через центр масс, и произведения массы М системы на квадрат расстояния !! между осями ! и 1с.' 41 =,У!с + Мо~.
2.2. Геометрия масс ЗАДАЧИ 2.70. Ноказать, что в любом твердом теле можно найти такие пары параллельных осей и и в, ни одна из которых не проходит через центр масс, что моменты инерции относительно зтих осей будут связаны равенством Штайнера 7 7 +М12 где Ы вЂ” расстояние между осями.
2.71. Найти момент инерции массы М, распределенной равномерно по дуге окружности радиуса г с центральным углом а, относительно диаметра, проведенного через середину дуги. 2.72. Найти момент инерции массы М, однородно распределенной по периметру квадрата со стороной а, относительно оси, перпендикулярной плоскости квадрата и проходящей через его центр. 2.72.
Найти момент инерции однородной треугольной пластинки массы М со сторонами а, 6 и с относительно оси, перпендикулярной пластинке и проходящей через вершину, противоположную стороне а. 2.74. Найти момент инерции однородной тонкой треугольной пластинки массы М со сторонами а, Ь и с относительно оси, перпендикулярной пластинке и проходящей через ее центр тяжести. 2.75. Найти момент инерции однородной тонкой пластинки массы М, имеющей форму кругового кольца с радиусами а и 6, относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр. 2.76. Найти момент инерции полого шара радиуса Л и массы М имеющего сферическую концентрическую полость радиуса г, относительно диаметра.
2.77. Вычислить главные центральные моменты инерции однородного тора массы М, получаемого вращением окружности радиуса г вокруг оси, лежащей в плоскости окружности и удаленной от ее центра на расстояние Н, причем В ) г. Глава 2. Динамика 56 2.79. Пусть.1ы .1з и )з -- главные центральные моменты инерции тела массы т. Найти тензор инерции тела для точки О(аы аз, аз) в осях Осзсзсз, параллельных главным центральным осям. 2.80. Доказать, что для любой плоской фигуры в системе Окуз, оси Оз и Оу которой лежат в плоскости фигуры, тенэор инерции имеет вид —,1 „ 0 1л 0 0 0 1 +4„ Как изменится соотношение между диагональными элементами этого тензора, если учитывать толщину фигуры? 2.81.
Найти компоненты тенэора инерции в главных централь- ных осях для следующих однородных тел массы М: з) куба с ребром 2а; з) прямоугольного параллелепипеда с ребрами 2а, 2Ь и 2с; з) тонкой прямоугольной пластинки со сторонами 2а и 2Ь; 4) тонкого диска радиуса Л; б) прямого кругового цилиндра радиуса В и высоты Н; б) полого цилиндра с внешним радиусом Лз и внутренним йь 7) шара радиуса Л; В) кругового конуса с высотой 6 и радиусом основания Л. 2.82. Однородный круглый диск массы М и радиуса г насажен на ось з, проходящую через его центр масс С.
Ось з образует угол о с нормалью к плоскости диска. Найти центробежные моменты инерции диска эь„,,)я„ .) „ (оси координат показаны на рисунке). У К задаче 2 82. 2.78. Доказать, что для однородной пластинки, имеющей форму эллипса с полуосями а и Ь, моменты инерции равны: езЬ2 з) относительно одного иэ диаметров эллипса 1 = чМ вЂ” ч-, где 2г à — длина этого диаметра; г) относительно касательной к эллипсу 1 = -Мр, где р — длина 5 2 перпендикуляра, опущенного на касательную иэ центра эллипса.
2.3. Динамика системы точек 57 2.83. Однородный круглый диск массы М и радиуса г насажен на ось з, проходящую через некоторую точку О диска, находящуюся на расстоянии о от цеятра масс С диска. Ось з образует угол о с нормалью к плоскости диска. Найти центробежные моменты инерции диска 1з„ /а,, Уел (оси координат показаны на рисунке) . 2.84.
Однородная прямоугольнаяпластннка массы М со сторонами а и 6 прикреплена к оси з,проходящей через одну из ее диагоналей. Нанти центробежный момент инерции за, пластинки. Ось у лежит в плоскости пластинки и перпендикулярна оси з. К задаче 2.83. К задаче 2.84. 2.3. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК Рассмотрим систему Ж материальных точек, на которые наложены двусторонние (удерживающие) связи, задаваемые независимыми уравнениями У„(Р,из,...,г„)=0, о=1,...,1, Р<ЗФ. Эти уравнения в ЗЖ-мерном пространстве в каждый момент времени задают поверхность размерности ЗФ вЂ” Ь Число и = ЗФ вЂ” 1 называется числом степеней свободы системы.
Основные теоремы динамики системы материальных точек Дадим определения основных динамических величин, используемых при описании движения механических систем. Количеством движения (импульсом) системы материальных точек называется вектор ф= ~~ зп„о„ и=1 где т, — масса точки с номером и, о — ее скорость, а К количество точек системы. Глава 2. Динамика 58 Главным моментом количеств движения (импульсов) системы материальных точек (или кинетическим моментом) относительно неподвижной точки О называется вектор Кс = ~~1 (ге х тени) а=1 где г„— радиус вектор точки с номером и относительно центра О, Проекция вектора Кс на ось, проходящую через центр О, называется елавным моментом количепвв движения системы (кинетическим моментом) относительно этой осн.
Кинетической энереией системы материальных точек называется скалярная величина Ж Т 1~, 2 =1 Введем систему отсчета с началом в центре масс С системы, движущуюся поступательно. е Такую систему называют осями Кенига. Вектор кинетического момента относительно центра О и кинетическая энергия в абсолютном движении выражаются формулами Кенига Ко =- ОС х Мис + Кс, где Кс =- 2„(р, х 1н„р„), М"с 2 Ф Т= — +Тс, где Тс= 2 2 т„(р ), 1 2 2 в=1 где р — радиус-вектор о-й точки относительно центра масс С, Ю а М = С т„-- масса системы.
е=1 В случае плоскопараллельного движения твердого тела можно записать Кс* = 1сы и 2с = 2 где 1с — — момен"г инерции тела относительно оси Се, перпендикулярной к плоскости движения, и1 — - его мгновенная угловая скорость. Теорема об изменении количества движения системы. Производная по времени от количества движения системы равна сумме 2.3. Динамика системы точек Ю главного вектора Р = ~~ Р( ) заданных внешних сил, действ=1 и вующих на точки системы, и главного вектора В = ~~ В( реакций внешних связей, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
