К.Е. Якимова - Задачи по теоретической механике (1159490), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Пренебрегая трением в шарнире, определить скорость точки В как функцию расстояния 9 от точки В до пола. 60 Глава 2. Динамика 2.99. Однородный стержень АВ длины 2п' и массы ЛХ падает, скользя концом А по гладкому горизонтальному полу. В начальный момент стержень покоился. Найти: х)траекторию конца В; з) скорость центра масс С стержня как функцию высоты точки С над по- К задаче 2.99. лом, если в начальный момент центр масс стержня находился на высоте ус над полом, уе ( л; 3) реакцию пола в точке А в начальный момент, если в этот момент стержень составлял с полом угол я.
3' 2.100. Однородный стержень длины ) и массы ш может свободно вращагься в пространстве вокруг своего неподвижного конца. В начальный момент стержень расположен в горизонтальной плоскости, скорость его свободного конца равна пе и направлена горизонтально. Найти наименьшее значение угла, образуемого стержнем с вертикалью при движении. 2.101. По наклонной плоскости спускаются два одинаковых однородных цилиндра, причем первый скользит без трения, второй катится без проскальзывания. Найти отношение высот, на которые опустятся центры цилиндров эа одно и то же время, если они начинают движение из состояния покоя.
2.102. Физический маятник имеет массу ЛХ, расстояние от центра масс до оси вращения равно ), радиус инерции маятника относительно этой оси равен й. В начальный момент маятник отклонили на угол уе от положения равновесия и отпустили с нулевой угловой скоростью. Найти горизонтальную и вертикальную проекции реакции оси маятника. Найти также проекции этой реакции на прямую, соединяющую точку подвеса с центром масс маятника, и на перпедикуляр к этой прямой, лежащий в вертикальной плоскости. 2.103.
Маятник состоит из прямолинейного стержня и прикрепленного к его концу полого шара, массами которых можно иренебречь. Полость шара наполняют один раз жидкостью, а другой раз — твердым веществом той же плотности, что и жидкость. Предполагается, что между жидкостью и стенками полости нет трения, и что вещество, наполняющее полость во втором случае, 2ть Динамика системы точек 2.104. На барабан радиуса г однородного катка массы М и радиуса й, Й > г, лежащего на гоизонтзльном шероховатом полу, намотана невесомая нить, к которой приложена сила Я под углом о к горизонту.
Радиус инерции катка относительно оси симметрии равен р. Определить закон движения оси катка. В начальный момент каток покоился, затем катился без проскальзывания. В какую сторону катится каток? К задаче 2.104. 2.106. Однородный стержень АВ длины 1 н массы М под действием силы тяжести скользит без трения концами А и В по вертикальной стене и горизонтальному полу соответственно.
В начальный момент стержень был неподвижен и состанлял угол члл с горизонталью. Определить угловую К задаче 2.105. скорость стержня и давление, оказываемое им на стену и пол, как функции угла у между стержнем и плоскостью пола. При каком значении д стержень отойдет от стены? 2.106. В предыдущей задаче определить величину угловой скоро- сти стержня и скорость его нижнего конца в момент падения стержня на пол. 2.107.
Однородный стержень АВ массы М горизонтально подвешен к потолку посредством двух вертикальных нитей, прикрепленных к концам стержня. Найти натяжение одной из нитей в момент обрыва другой. А В К задаче 2.107. не может двигаться ннутри нее. Радиус инерции объема полости относительно ес диаметра равен й, а ее центр находится на расстоянии 1 от оси маятника. Найти периоды малых колебании маятников в обоих случаях. Глава 2. Динамика 2.108. Однородный стержень АВ мас- О сы М подвешен в точке О на двух нитях равной с ним длины. Определить натяжение одной из нитей в момент обрыва другой.
2.100. Тяжелый однородный цилиндр А В радиуса Вч получив ничтожно ме- К задаче 2.108. лую начальную скоростгч скатывается беэ проскальзывания с горизонтальной площадки АВ, край ко.горой В заострен и параллелен образу.г ющей цилиндра. Определить угловую ! С ~ скорость цилиндра в момент отделе- 1 В '. ' ния цилиндра о"г площадки. Опре- делить также угол между диаметром К задаче 2.109. цилиндра, проведенным в точку касания, н вертикалью в этот момент.
Трением качения пренебречь. 2.110. Два однородных круглых ци- 11 линдра г. массами М~ и Мз движутся по двум гладким наклонным плоскостям, образующим с горизонтом углы а и ф соответственно. Цилиндры соединены невесомой нерастяэкимой О нитью, намотанной на них как покавано на рисунке. Нить по цилиндрам не проскальзывает.
Найти ускорения Р центров цилиндров и натяжение нити. Р 2.111. Один конец нерастяжимой невесомой нити обмотан вокруг однородного круглого цилиндра радиуса Вч второй конец прикреплен к не- К задаче 2.П1. подвижной точке О. Цилиндр, разматывая вить, падает вниз, одновременно раскачиваясь вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса нити. Составить уравнения движения цилиндра, найти их первый интеграл.
2.112. Однородный стержень массы гд и длины 21 может свободно двигаться по гладкой горизонтальной плоскости. Каждый эле- 2.3. Динамика системы точек мент стержня притягивается неподвижной прямой этой плоскости с силой, прямо пропорциональной с коэффициентом й1 массе элемента и расстоянию до прямой Ои. Найти движение стержня.
2.113. По гладкой горизонтальной А плоскости может скользить треугольная призма ЛВС массы М. По ее грани АВ катится без проскальзывания а В однородный круглый цилиндр массы гп. Определить ускорение призмы. 2.114. Однородный стержень длины 1 вращается на горизонтальной плоскости вокруг своего конца и гонит перед собой материальную точку равной с ним массы. В начальный момент точка находилась в покое очень близко к неподвижному концу стержня, а стрежню сообщили некоторую угловую скорость. Найти угол между абсолютной скоростью точки и стержнем в момент, когда точка достигнет другого конца стержня. 2.115. На однородный цилиндр массы М и радиуса Н, ось которого вертикальна и служит осью вращения, накручена невесомая винтовая трубка с шагом Л, делающая и витков по поверхности цилиндра. В эту трубку опускают сверху шарик массы ш, который, скользя без трения по трубке, приводит ее н цилиндр во вращение.
Найти угловую скорость цилиндра и абсолютную скорость шарика в момент выхода из трубки. 2.116. Однородный диск массы М и радиуса Н лежит на гладкой горизонтальной плоскости. По диску вдоль обода движется материальная точка массы т с относительной скоростью в = а1. Найти закон движения диска, если в начальный момент он покоился. 2.117. Прямоугольный клин массы М н с углом о при вершине Л может скользить без трения по наклонной плоскости, образующее угол о с горизонтом.
По стороне АВ клина может катиться без проскальзывания однородный круглый цилиндр радиуса г и массы гп. Найти величину ускорения оси цилиндра относительно клина и реакцию наклонной плоскости. К задаче 2.117. Глава 2. Динамика 2.4. ДВИЖЕНИК ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИжной тОЧКОй И ЗАКРЕПЛЕННОЙ ОСЬЮ Уравнения движения твердого тела с неподвижной точкой можно получить с помощью теоремы об изменении кинетического момента — = ьо пКо 01 (2.1 Ц где Ко — момент количеств движения (кинетический момент) тела в его абсолютном движении и Ео — момент действующих сил относительно неподвижной точки О.
Аналогично, из этой же теоремы можно получить уравнения движения твердого тела с неподвижной осью. В скалярном виде уравнения движения можно получить, проектируя уравнение (2.11) на оги Ояув, связанныс с телом. Если эти оси являются главными осями инерции тела, получим динамические уравнения Эйлера АР+ (С вЂ” В)йг = 1в~ В0+ (А — С)».
= Вю Сг+ ( — А)дг = В„ где А, В и С вЂ” моменты инерции тела относительно главных осей для точки О; р, в и г — проекции мгновенной угловой скорости на те же оси, а В, Ь„и Ь, — суммы моментов действующих сил относительно этих осей. Кинематические формулы Эйлера — выражения для угловой скорости тела через углы Эйлера р = 1Ввш 0вш вэ+ 0 сов ~р, д = 0 в( и 0 сов 1в — 0 в1 и 1в, г = йсов0+ ф, где й, 0 и 1в — углы прецессии, нутации и собственного вращения.
Эти углы определяют положение трехгранника Олув в неподвижном пространстве. Кгли динамически симметричному телу с центром масс, лежащим на оси симметрии, сообщить большую угловую скорость ы 2УК Тело с неподвижной точкой 71 ап хСы=йз. ЗАДАчМИ 2.118. Однородный диск радиуса Я и массы М вращается вокруг неподвижной осн с угловой скоростью ы. Центр диска О лежит на оси вращения, а нормаль к плоскости диска образует с этой осью угол а. Найти кинетический момент диска относительно точки О. 2.119.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
